題組一 電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題
1．如圖甲所示，兩固定平行且光滑金屬軌道MN、PQ與水平面的夾角θ＝37°，M、P之間接電阻箱R，電阻箱的阻值范圍為0～9.9 Ω，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝0.5 T。質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，其接入電路的阻值為r?，F(xiàn)從靜止釋放桿ab，測得最大速度為vmax。改變電阻箱的阻值R，得到vmax 與R的關(guān)系如圖乙所示。已知軌道間距L＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，軌道足夠長且電阻不計(jì)，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。則( C )
A．金屬桿滑動時回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向是abMPa
B．金屬桿的質(zhì)量m＝0.5 kg
C．金屬桿接入電路的阻值r＝2 Ω
D．當(dāng)R＝2 Ω時，桿ab勻速下滑過程中R兩端的電壓為8 V
[解析] 金屬桿滑動時，穿過閉合回路的磁通量增加，根據(jù)楞次定律知回路中感應(yīng)電流的方向是aPMba，故A錯誤；桿運(yùn)動的最大速度為vmax時，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E＝BLvmax，由閉合電路的歐姆定律得I＝eq \f(E,R＋r)，桿達(dá)到最大速度時受力平衡，滿足mgsin θ－BIL＝0，解得vmax＝eq \f(mgsin θ,B2L2)R＋eq \f(mgsin θ,B2L2)r，結(jié)合題圖乙可知eq \f(mgsin θ,B2L2)＝2 m·s－1·Ω－1，eq \f(mgsin θ,B2L2)r＝4 m/s，解得m＝eq \f(1,3) kg，r＝2 Ω，故B錯誤，C正確；當(dāng)R＝2 Ω時，金屬桿ab勻速下滑過程中有mgsin θ－BI′L＝0，解得通過R的電流I′＝2 A，所以R兩端的電壓U＝I′R＝2×2 V＝4 V，故D錯誤。
2．如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，水平U形導(dǎo)體框左端接一阻值為R的電阻，導(dǎo)體棒ab質(zhì)量為m、電阻為r，垂直導(dǎo)軌置于導(dǎo)體框上，導(dǎo)體框?qū)挾葹長，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好。不計(jì)導(dǎo)體框的電阻和導(dǎo)體棒與導(dǎo)體框間的摩擦。ab棒以水平向右的初速度v0開始運(yùn)動，最終停在導(dǎo)體框上。此過程中說法正確的是( D )
A．導(dǎo)體棒做勻減速直線運(yùn)動
B．導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向?yàn)閎→a，所以b點(diǎn)電勢高于a點(diǎn)電勢
C．剛開始運(yùn)動時，ab兩端電壓為BLv0
D．電阻R消耗的總電能為eq \f(mv\\al(2,0)R,2?R＋r?)
[解析] 導(dǎo)體棒在安培力的作用下做減速運(yùn)動，根據(jù)E＝BLv，I＝eq \f(E,R＋r)，F(xiàn)安＝BIL，整理得F安＝eq \f(B2L2v,R＋r)。根據(jù)牛頓第二定律可得F安＝eq \f(B2L2v,R＋r)＝ma可知，導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運(yùn)動，A錯誤；導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，相當(dāng)于電源，電源內(nèi)部電流由低電勢流向高電勢，根據(jù)楞次定律可知，導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向?yàn)閎→a，所以b點(diǎn)電勢低于a點(diǎn)電勢，B錯誤；ab兩端電壓為路端電壓，剛開始運(yùn)動時，ab兩端電壓為Uab＝eq \f(E,R＋r)R＝eq \f(BLv0,R＋r)R，C錯誤；根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒可知，導(dǎo)體棒的動能轉(zhuǎn)化為電阻R與導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱，即消耗的電能，ER＋Er＝QR＋Qr＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，電阻R與導(dǎo)體棒串聯(lián)，產(chǎn)生的焦耳熱與阻值成正比，則電阻R消耗的總電能為ER＝QR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)×eq \f(R,R＋r)＝eq \f(mv\\al(2,0)R,2?R＋r?)，D正確。
3.(2023·陜西咸陽市模擬)如圖，矩形閉合導(dǎo)體線框在勻強(qiáng)磁場上方，由不同高度靜止釋放，用t1、t2分別表示線框ab邊和cd邊剛進(jìn)入磁場的時刻。線框下落過程形狀不變，ab邊始終保持與磁場水平邊界線OO′平行，線框平面與磁場方向垂直。設(shè)OO′下方磁場區(qū)域足夠大，不計(jì)空氣阻力影響，則下列圖像不可能反映線框下落過程中速度v隨時間t變化的規(guī)律的是( A )
[解析] 線框先做自由落體運(yùn)動，t1時刻ab邊進(jìn)入磁場做減速運(yùn)動，加速度逐漸減小，而A圖像中的加速度逐漸增大，故A符合題意；線框先做自由落體運(yùn)動，若進(jìn)入磁場時重力小于安培力，ab邊進(jìn)入磁場后做減速運(yùn)動，當(dāng)加速度減小到零時做勻速直線運(yùn)動，cd邊進(jìn)入磁場后線框做自由落體運(yùn)動，加速度為g，故B不符合題意；線框先做自由落體運(yùn)動，ab邊進(jìn)入磁場時若重力大于安培力，做加速度減小的加速運(yùn)動，cd邊進(jìn)入磁場后線框做自由落體運(yùn)動，加速度為g，故C不符合題意；線框先做自由落體運(yùn)動，ab邊進(jìn)入磁場時若重力等于安培力，做勻速直線運(yùn)動，cd邊進(jìn)入磁場后，線框繼續(xù)做自由落體運(yùn)動，加速度為g，故D不符合題意。
題組二 電磁感應(yīng)中的能量問題
4．兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌上垂直放置兩根導(dǎo)體棒a和b，俯視圖如圖所示。在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好且均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行，若給a棒一初速度的同時釋放b棒，在一段時間內(nèi)a棒動能的減小量為Eka，b棒動能的增加量為Ekb，a棒克服磁場做功為Wa，a、b棒上產(chǎn)生總熱量為Q(不計(jì)a棒與b棒間相互作用)，則( B )
A．Wa＝Eka＋Q B．Wa＝Q＋Ekb
C．Wa＝Q D．Ekb＝Q
[解析] 設(shè)導(dǎo)體棒a的初動能為Eka1、末動能為Eka2，由題意可知導(dǎo)體棒b的初動能為0，設(shè)導(dǎo)體棒b的末動能為Ekb2，對a、b棒組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律可得Eka1＝Eka2＋Ekb2＋Q，由題意可知Eka＝Eka1－Eka2，Ekb＝Ekb2，因此可得Eka＝Ekb＋Q，由于導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間無摩擦，對導(dǎo)體棒a，根據(jù)動能定理可得Wa＝Eka1－Eka2＝Eka，聯(lián)合可得Wa＝Ekb＋Q，故A、C、D錯誤，B正確。
5．(多選)如圖所示，MN和PQ是電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌，其間距為L，導(dǎo)軌彎曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑連接。右端接一個阻值為R的定值電阻。平直部分導(dǎo)軌左邊區(qū)域有寬度為d、方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。質(zhì)量為m、電阻也為R的金屬棒從高度為h處靜止釋放，到達(dá)磁場右邊界處恰好停止。已知金屬棒與平直部分導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，金屬棒與導(dǎo)軌間接觸良好。則金屬棒穿過磁場區(qū)域的過程中( BD )
A．流過定值電阻的電流方向是N→Q
B．通過金屬棒的電荷量為eq \f(BdL,2R)
C．金屬棒在磁場中運(yùn)動的加速度不變
D．金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱為eq \f(1,2)(mgh－μmgd)
[解析] 金屬棒下滑到最低端時速度向右，而且磁場豎直向上，根據(jù)右手定則可以知道流過定值電阻的電流方向?yàn)镼→N，故A錯誤；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，通過金屬棒的電荷量為q＝eq \f(E,2R)Δt＝eq \f(ΔΦ,Δt2R)Δt＝eq \f(BLd,2R)，故B正確；由于金屬棒做切割磁感線運(yùn)動，使得金屬棒中有電流通過，根據(jù)左手定則可知，金屬棒所受安培力水平向左，所以金屬棒做減速運(yùn)動，據(jù)牛頓第二定律a＝eq \f(FA＋Ff,m)＝eq \f(BIL＋μmg,m)＝eq \f(BLE,2mR)＋μg＝eq \f(BL·BLv,2mR)＋μg＝eq \f(B2L2v,2mR)＋μg，所以由于v在不斷的變小，所以加速度也在不斷變小，故C錯誤；根據(jù)能量守恒可知mgh＝μmgd＋Q，由于電阻R和金屬棒的電阻值相等，所以有QR＝eq \f(1,2)Q，所以產(chǎn)生的焦耳熱QR＝eq \f(1,2)(mgh－μmgd)，故D正確。
6．如圖所示，AB、CD為兩個平行的、不計(jì)電阻的水平光滑金屬導(dǎo)軌，置于方向垂直導(dǎo)軌平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中。AB、CD的間距為L，左右兩端均接有阻值為R的電阻。質(zhì)量為m、長為L且電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒MN放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好，并與輕質(zhì)彈簧組成彈簧振動系統(tǒng)。開始時，彈簧處于自然長度，導(dǎo)體棒MN具有水平向左的初速度v0，經(jīng)過一段時間，導(dǎo)體棒MN第一次運(yùn)動到最右端，這一過程中AC間的電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則( D )
A．導(dǎo)體棒水平方向做簡諧運(yùn)動
B．初始時刻導(dǎo)體棒所受的安培力大小為eq \f(B2L2v0,R)
C．當(dāng)導(dǎo)體棒第一次到達(dá)最右端時，彈簧具有的彈性勢能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－Q
D．當(dāng)導(dǎo)體棒再次回到初始位置時，AC間的電阻R的熱功率小于eq \f(B2L2v\\al(2,0),R)
[解析] 導(dǎo)體棒運(yùn)動過程中，安培力做負(fù)功，電阻產(chǎn)生焦耳熱，則棒和彈簧的機(jī)械能有損失，則當(dāng)棒再次回到初始位置時速度小于v0，導(dǎo)體棒水平方向做的不是簡諧運(yùn)動，導(dǎo)體棒回到初始位置時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E1

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