一、單選題
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．B．C．D．
3．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是（ ）
A．B．3C．D．
4．已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（ ）
A．B．C．D．
5．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第三天走的路程為（ ）
A．12里B．24里C．48里D．96里
6．直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（ ）
A．B．C．D．
7．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點．若曲線C上存在一點P，使，則稱曲線C為“合作曲線”，給出下列曲線：①；②；③．其中“合作曲線”是（ ）
A．①②B．②③C．①D．②
10．若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或3
二、填空題
11．雙曲線的離心率是 ．
12．如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則 ．

13．設(shè)，則 ；當(dāng)時， ．
14．若對任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時，都有，則函數(shù)的一個解析式是 ．
15．如圖，在棱長為1的正方體中，點P是對角線上的動點（點P與點A，不重合）．給出下列結(jié)論：
①存在點P，使得平面平面；
②對任意點P，都有；
③面積的最小值為；
④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題
16．如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．

(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
17．在中，，且．
(1)求的大??；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．
條件①：為銳角；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分．
18．《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)等級標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：
在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級能達(dá)到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，
(1)估計甲在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望；
(3)在跳遠(yuǎn)考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：
若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）
19．已知橢圓的離心率為，左焦點為，過的直線交橢圓于、兩點，點為弦的中點，是坐標(biāo)原點，且由于不與，重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)若是延長線上一點，且的長度為，求四邊形面積的取值范圍．
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，求函數(shù)的極大值；
(3)若，求函數(shù)的零點個數(shù)．
21．已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)列的通項公式為寫出集合A與集合B；
(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時，證明：；
(3)若滿足，證明：．
項目
國際級運動健將
運動健將
一級運動員
二級運動員
三級運動員
男子跳遠(yuǎn)
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳遠(yuǎn)
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)補集的定義即可得解.
【詳解】因為全集，集合，
所以.
故選：B.
2．C
【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】由題知，拋物線方程為，
則其準(zhǔn)線方程為.
故選：C
3．C
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.
【詳解】，
因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，
所以，解得.
故選：C.
4．D
【分析】由題意可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可得解.
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，
所以，
因為把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，
所以，
所以.
故選：D.
5．C
【分析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式求解即可.
【詳解】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，
設(shè)這個數(shù)列為，前項和為，
則，解得，
所以，
即該人第三天走的路程為48里.
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線距離即可計算作答.
【詳解】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，
令劣弧的兩個端點為，則為等邊三角形，
故圓心到直線的距離等于，
即，解得.
故選：B.
7．A
【分析】先求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由可得：，
解得：，
所以“”能推出“”，
但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
8．D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以，故A結(jié)論正確；
對于B，當(dāng)時，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；
對于C，因為，所以，
而函數(shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；
對于D，，
因為，所以，
所以，所以，故D結(jié)論錯誤.
故選：D.
9．A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)點，由“合作曲線”的定義可知，曲線上存在點，使得，然后逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)點，則，
由可得，即，
即曲線上存在點，使得，即為“合作曲線”，
對于①，由雙曲線可得，
則雙曲線上存在點滿足，故①為“合作曲線”；
對于②，由橢圓可得，
則橢圓上存在點滿足，故②為“合作曲線”；
對于③，因為圓心到直線的結(jié)論，
故直線上不存在一點滿足，故③不為“合作曲線”；
故選：A
10．A
【分析】令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】，
令，則，
則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，
令，
當(dāng)時，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
又當(dāng)時，當(dāng)時，，
作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，
由圖可知函數(shù)的圖象有且僅有一個交點，
所以函數(shù)零點的個數(shù)為個.
故選：A.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
11．
【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】由雙曲線可得：，
所以雙曲線的離心率是.
故答案為：.
12．
【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】依題意，
，
所以
.
故答案為：
13．
【分析】令可求出；先求出的通項，令和，求出，再由，即可求出的值.
【詳解】令可得：，
的通項為：，
令可得，
令可得，
所以由可得，所以.
故答案為：；.
14．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】由題意，可取，
函數(shù)是減函數(shù)，滿足時，都有，
因為，
所以函數(shù)滿足題意.
故答案為：.（答案不唯一）
15．①②③
【分析】①可通過線面垂直的判定定理找到點P；②③④都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系解決，其中通過向量的長度可以對②進行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個面的法向量，并求出和，即可對④進行判斷.
【詳解】①因為，在上取點使，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，故①正確；
②以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
，，，，則，，
設(shè)，則，,
從而，，所以，故②正確；
③由②，，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為，故③正確；
④平面的法向量，平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，
由即得，
令得，
則，，
令得或，而，故，
從而對存在點P，使得，而不大于直角，
故，故④錯誤；
故答案為：①②③.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；
（2）分別取的中點。連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）因為平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）如圖，分別取的中點，連接，

則，
因為是正三角形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
因為平面，
所以即為平面的一條法向量，
則，
所以二面角的余弦值為．
17．(1)；
(2)①，；③，.
【分析】（1）根據(jù)得為銳角，從而根據(jù)的值得到的大小；
（2）②由正弦定理得，根據(jù)為銳角得，則存在且唯一確定，進而得到，由得到的面積；
③由正弦定理得邊，再根據(jù)得到，由得到的面積.
【詳解】（1）因為，所以，所以，由得，.
（2）選條件①：為銳角；
由正弦定理即知，
因為為銳角，所以，所以存在且唯一確定.
，
從而.
選條件②：，由得，從而可能是銳角，也可能是鈍角，則不唯一，故不能選②；
選條件③：，
由，得，所以，，
由正弦定理即得，
，
.
18．(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計算頻率，用頻率估計概率；
（2）由X的取值，計算相應(yīng)的概率，由公式計算數(shù)學(xué)期望；
（3）當(dāng)兩人成績滿足的模型，方差相等.
【詳解】（1）甲以往的10次比賽成績中，有4次達(dá)到國家二級及二級以上運動員標(biāo)準(zhǔn)，
用頻率估計概率，估計甲在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的概率為；
（2）設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員分別為事件，
以往的比賽成績中，用頻率估計概率，有，，，
X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，
則X可能的取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
估計X的數(shù)學(xué)期望；
（3）甲的6次試跳成績從小到大排列為：，
設(shè)這6次試跳成績依次從小到大為，
丙的5次試跳成績從小到大排列為：，
設(shè)丙的6次試跳成績從小到大排列依次為，
當(dāng)時，滿足，成立；
當(dāng)時，滿足，成立.
所以或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率以及焦點坐標(biāo)，直接求出、，再根據(jù)確定即可求出橢圓方程；
（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定確定，，利用中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，得到直線的方程，求出點、到直線的距離，結(jié)合已知條件可以表示出四邊形面積為，根據(jù)的取值范圍，即可求解四邊形面積的取值范圍．
【詳解】（1）
因為，得；又，所以，所以；
所以，所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)過的直線為，與橢圓兩交點坐標(biāo)分別為，，
由于不與，重合，可知直線的斜率存在且不為，
根據(jù)已知條件設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，
整理有；
，即，整理有：恒成立；
根據(jù)韋達(dá)定理：，；
因為為弦的中點，所以；
因為在直線上，所以，解得，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為，
化為一般式為：；
設(shè)到直線的距離為，點到直線的距離也為，
因為為弦的中點，由點到直線距離公式有：
，因為、位于兩側(cè)，
所以，
所以，
又因為，
所以，
設(shè)四邊形面積為，
根據(jù)題意有：，
因為，所以.
所以，所以.
所以四邊形面積的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：直曲聯(lián)立利用韋達(dá)定理確定，，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為求兩個三角形、面積之和，利用點到直線距離化簡即可將表示成，最后結(jié)合的范圍求的范圍.
20．(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得解；
（3）令，則，再分的正負(fù)討論，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
（2），則，
則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)無極值；
當(dāng)時，令，則或，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為；
當(dāng)時，令，則或，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而函數(shù)的定義域為，
所以此時函數(shù)無極值.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極大值；
當(dāng)時，的極大值為；
（3）令，則，
當(dāng)時，，
所以時，函數(shù)無零點；
當(dāng)時，由，得，所以，
則時，函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又當(dāng)時，且，當(dāng)時，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖象，

又，由圖可知，所以函數(shù)的圖象只有個交點，
即當(dāng)時，函數(shù)只有個零點；
綜上所述，若，函數(shù)有個零點．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
21．(1)，
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）定義，可知，結(jié)合題中通項公式分析求解；
（2）根據(jù)題意可知，可得，即可分析證明；
（3）由題意可知：，可知集合在均不在元素，分類討論集合是否為空集，結(jié)合題意利用數(shù)學(xué)歸納法分析證明.
【詳解】（1）定義，由題意可知，
若數(shù)列的通項公式為，可知，
所以，
因為2只能寫成，不合題意，即；
，符合題意，即；
，符合題意，即；
，符合題意，即；
，符合題意，即；
，符合題意，即；
所以.
（2）因為，由題意可知：，且，
即，
因為，即存在不相同的項，使得
可知，所以.
（3）因為，
令，可得，則，即，
即集合在內(nèi)均不存在元素，此時我們認(rèn)為集合在內(nèi)的元素相同；
（i）若集合A是空集，則B是空集，滿足；
（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素為t，可知，
由（2）可知：集合B存在的最小元素為s，且，
設(shè)存在，使得，
可知集合在內(nèi)的元素相同,
可知，則，
因為，即，則，
可知，
且，
即集合在內(nèi)的元素相同，可知集合在內(nèi)的元素相同，
現(xiàn)證對任意，集合在內(nèi)的元素相同，
當(dāng)，可知集合在內(nèi)的元素相同，成立；
假設(shè)，集合在內(nèi)的元素相同，
可知集合在內(nèi)的元素相同；
對于，因為，則，
若，則，可知，
可以認(rèn)為集合在內(nèi)的元素相同；
若，則，
若存在元素不屬于集合C，
則元素屬于集合A，且，可知元素屬于集合B，
即數(shù)列中存在不相同的項，使得，
則，可知，
可知，
即集合在內(nèi)的元素相同；
綜上所述：對任意，集合在內(nèi)的元素相同，
所以集合在內(nèi)的元素相同，結(jié)合n的任意性，可知；
綜上所述：.
【點睛】方法點睛：對于新定義問題，要充分理解定義，并把新定義問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識，常常利用數(shù)學(xué)歸納法分析證明.

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這是一份2023屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題含解析，共16頁。試卷主要包含了單選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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2023年北京市東城區(qū)高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案解析）：

這是一份2023年北京市東城區(qū)高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案解析），共11頁。

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