一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．5
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．5C．7D．8
4．若某圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則它的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圓，若雙曲線的一條漸近線與圓C相切，則（ ）
A．B．C．D．8
7．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（ ）
A．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
8．已知A，B是的內(nèi)角，“為銳角三角形"是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
9．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
10．已知A，B，C是單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
第二部分（非選擇題110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11．在的展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）
12．已知點(diǎn)，直線，則過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程是__________．
13．若函數(shù)，則__________，的值域?yàn)開_________．
14．在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40米，碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為__________米．
15．已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的最小正周期是；
②的一條對(duì)稱軸方程為；
③若函數(shù)在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，從小到大依次記為，則；
④存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意，都存在且，滿足．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．在四邊形ABCD中，，再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解決下列問題．
(1)求BD的長(zhǎng)；
(2)求四邊形ABCD的面積．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
17．如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點(diǎn)共面，，．
(1)求證：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)過點(diǎn)與垂直的平面交直線于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．
18．某地區(qū)教育研究部門為了解當(dāng)前本地區(qū)中小學(xué)教師在教育教學(xué)中運(yùn)用人工智能的態(tài)度、經(jīng)驗(yàn)、困難等情況，從該地區(qū)2000名中小學(xué)教師中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了訪談．在整理訪談結(jié)果的過程中，統(tǒng)計(jì)他們對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每位教師對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒有幫助”的人數(shù)；
(2)現(xiàn)按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率；
(3)對(duì)受訪教師關(guān)于“人工智能助力教學(xué)”的觀點(diǎn)進(jìn)行賦分：“沒有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分．統(tǒng)計(jì)受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，請(qǐng)直接寫出的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
19．已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程和離心率；
(2)設(shè)P，Q為橢圓C上不同的兩個(gè)點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)E，直線AQ與y軸交于點(diǎn)F，若點(diǎn)滿足，求證：P，O，Q三點(diǎn)共線．
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(3)證明：有最小值，且最小值小于．
21．已知等比數(shù)列的公比為q（），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，等差數(shù)列的公差為d（），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合B．令，集合C中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列．
(1)若集合，寫出一組符合題意的數(shù)列和；
(2)若，數(shù)列為無窮數(shù)列，，且數(shù)列的前5項(xiàng)成公比為p的等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，求p的值；
(3)若數(shù)列是首項(xiàng)為1的無窮數(shù)列，求證：“存在無窮數(shù)列，使”的充要條件是“d是正有理數(shù)”．
豐臺(tái)區(qū)2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（二）
高三數(shù)學(xué)答案解析
1．B
【分析】
根據(jù)交集概念進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】
.
故選：B
2．C
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>則.
故選：C
3．B
【分析】
根據(jù)計(jì)算可得.
【詳解】
因?yàn)?，所?
故選：B
4．A
【分析】
根據(jù)軸截面求出圓錐的底面半徑和高，求出體積.
【詳解】
因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，
故體積為.
故選：A
5．D
【分析】
根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】
.
故選：D
6．C
【分析】
求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線，由相切關(guān)系列出方程，求出答案.
【詳解】
變形為，故圓心為，半徑為1，
的漸近線方程為，
不妨取，由點(diǎn)到直線距離公式可得，解得，負(fù)值舍去.
故選：C
7．D
【分析】
按照左加右減，上加下減，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，得到答案.
【詳解】
A選項(xiàng)，向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，正確.
故選：D
8．A
【分析】
先根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)單調(diào)性得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立.
【詳解】
因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，所以，
其中，
因?yàn)樵谏蠁为?dú)遞增，所以，充分性成立，
若，不妨設(shè)，滿足，但為直角三角形，故必要性不成立.
故選：A
9．D
【分析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值域判斷B，利用特例法排除選項(xiàng)C，利用指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，易知，，
所以，所以，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>由知，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
雖然，但是，
故對(duì)，不恒成立，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)，
則，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以，
所以，
即，
所以，正確.
故選：D
10．B
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，表達(dá)出，結(jié)合，求出最小值.
【詳解】
以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，
故，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
由于，故當(dāng)時(shí)，最小，故最小值為，
此時(shí)，滿足要求，
故選：B
【點(diǎn)睛】
平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
11．24
【分析】
寫出展開式的通項(xiàng)公式，求出的系數(shù).
【詳解】
的展開式通項(xiàng)公式為，
令，得，故的系數(shù)為24.
故答案為：24.
12．(答案不唯一)
【分析】
求出過且與不平行的方程即可.
【詳解】
直線的斜率為，故只需所求直線方程斜率不是即可，
可設(shè)過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程為.
故答案為：(答案不唯一).
13．
【分析】
根據(jù)特殊角計(jì)算得函數(shù)值，換元可得 ,,再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得值域.
【詳解】
,
設(shè),,
單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增,
的值域?yàn)?
故答案為: ;.
14．80
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求出拋物線方程，得到答案.
【詳解】
以拋物線最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于地面為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為，
由題意得，將其代入拋物線方程得，
解得，故安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線方程為80米.
故答案為：80
15．②③
【分析】
畫出函數(shù)圖像，可判斷①②，對(duì)于③，轉(zhuǎn)化為與在上交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到5個(gè)根的對(duì)稱性，從而得到答案；對(duì)于④，時(shí)，單調(diào)遞增，且，從而判斷出存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意，只有一個(gè)，滿足要求.
【詳解】
的圖象如下：
對(duì)于①，的最小正周期是，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，的一條對(duì)稱軸方程為，②正確；
對(duì)于③，畫出圖象，與在上有5個(gè)交點(diǎn)，這5個(gè)交點(diǎn)即為函數(shù)在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，
從小到大依次記為，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，
則，
故，③正確；
對(duì)于④，時(shí)，單調(diào)遞增，且，
對(duì)任意，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
故，
由單調(diào)性可知存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意，只有一個(gè)，滿足，④錯(cuò)誤.
故答案為：②③
【點(diǎn)睛】
函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.
16．(1)選①，；選②，
(2)選①，；選②，
【分析】
（1）選①，利用余弦定理得到；選②，利用互補(bǔ)得到，結(jié)合余弦定理列出方程，求出答案；
（2）選①，在（1）的基礎(chǔ)上，得到⊥，結(jié)合三角形面積公式求出和的面積，相加即可；選②，在（1）的基礎(chǔ)上求出和，利用三角形面積公式求出和的面積，相加得到答案.
【詳解】
（1）選①，由余弦定理得，
解得，
選②，在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>即，解得.
（2）選①，，，
故，
在中，，所以⊥，故，
所以四邊形ABCD的面積為；
選②，，故，故，
因?yàn)?，所以?br>故，
，
故四邊形ABCD的面積為.
17．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】
（1）由面面平行的性質(zhì)證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；
（3）依題意可得，設(shè)，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，求出的值，即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，，，四點(diǎn)共面，
且平面平面，平面平面，
所以.
（2）因?yàn)槠矫?，是正方形?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
所以點(diǎn)到平面的距離.
（3）因?yàn)檫^點(diǎn)與垂直的平面交直線于點(diǎn)，所以，
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>，
所以，
所以，解得，
所以.
18．(1)140
(2)
(3)
【分析】
（1）完善表格，并得到認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒有幫助”的頻率，從而估計(jì)出該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒有幫助”的人數(shù)；
（2）根據(jù)分層抽樣定義得到抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，再結(jié)合該地區(qū)中小學(xué)教師中男教師和女教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率，分兩種情況求出這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率；
（3）計(jì)算平均值，并比較出大小即可.
【詳解】
（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，完善表格，
可以得到100名教師中，認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒有幫助”的頻率為，
用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒有幫助”的人數(shù)為；
（2）男女比例為，故抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，
用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中男教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，
女教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，
抽取的5名教師中，恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”，
則1名男教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，
1名女教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，
故這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為；
（3），，
，
因?yàn)?，所?
19．(1)，
(2)證明過程見解析
【分析】
（1）待定系數(shù)法求出橢圓方程，并求出，得到離心率；
（2）先根據(jù)得到兩三角形相似，得到，從而設(shè)直線方程為，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立后，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，得到兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，證明出結(jié)論.
【詳解】
（1）將代入橢圓方程，，
解得，故，，
所以橢圓C的方程為，離心率為；
（2）
法1：設(shè)點(diǎn)，，
所以直線PA的方程為：，直線AQ的方程為：，
所以點(diǎn)，．
，
因?yàn)?，所?br>即①
當(dāng)直線PQ無斜率時(shí)，設(shè)，
則，
代入①得：，解得：，
所以P，O，Q三點(diǎn)共線．
當(dāng)直線PQ有斜率時(shí)，設(shè)，
由y=kx+nx24+y2=1得：
所以
，
代入（1）得：，
解得：或.
當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程：，不符合題意．
故，所以P，O，Q三點(diǎn)共線．
綜上，P，O，Q三點(diǎn)共線．
法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，直線PA的方程為：，
所以點(diǎn)．
，，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以直線AF的方程為：，
要證P，O，Q三點(diǎn)共線，由橢圓的對(duì)稱性，只需證在直線AF上．
又因?yàn)?，所以?br>所以，所以在直線AF上，
所以P，O，Q三點(diǎn)共線．
法3：由題意得，不妨令E點(diǎn)在x軸上方，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>所以Rt∽R(shí)t，故，即，
設(shè)，則，
則直線方程為，與聯(lián)立得，
設(shè)，則，解得，則，
直線方程為，與聯(lián)立得，
設(shè)，則，解得，則，
故，，
所以P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P，O，Q三點(diǎn)共線.
【點(diǎn)睛】
定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
20．(1)
(2)
(3)證明過程見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)得到，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）先求定義域，求導(dǎo)后，即恒成立，即，求出的最小值，從而得到參數(shù)的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上得到分與兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到極值和最值情況，證明出結(jié)論.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
，故，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）定義域?yàn)椋?br>，
若是增函數(shù)，則恒成立，故，
即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故，解得，
a的取值范圍是
（3）定義域?yàn)椋?br>，
結(jié)合（1）可知，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故在處取得最小值，且最小值小于，
當(dāng)時(shí)，令得，，
該方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，設(shè)為，由韋達(dá)定理得，即，
令得，，或，令得，，
隨著的變化，的變化情況如下：
所以的極小值為，故的最小值為，記為，
當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)與矛盾，舍去，
所以，則或，
故，所以肯定小于，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，，
，即，故此時(shí)，
綜上，有最小值，且最小值小于
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法基本步驟為：
第一步：首先對(duì)待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，
第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.
第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.
21．(1)取為；為.
(2).
(3)證明見解析.
【分析】
（1）取為；為，可驗(yàn)證它們符合題設(shè)要求.
（2）可證明，設(shè)的前5項(xiàng)為：，就或分類討論后可求p的值．
（3）可證，利用二項(xiàng)式定理可證明充分性，利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)可證明必要性.
【詳解】
（1）取為；為，
則滿足：，故為等比數(shù)列.
而，故為等差數(shù)列，
故此時(shí)，符合題意.
（2）因?yàn)榧螩中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列，
故中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以中的各項(xiàng)均為正數(shù)，
而為無窮等差數(shù)列，故.
設(shè)的前5項(xiàng)為：，
因?yàn)?，，，所以?br>此時(shí)必有，事實(shí)上，若，則的前5項(xiàng)即是的前5項(xiàng)，
與矛盾．
所以或．
若，則，所以，此時(shí)的前5項(xiàng)為1，，2，，4，
即，，所以數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以符合題意；
若，則或
①時(shí)，有p，，成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾；
②時(shí)，有，所以，所以的前5項(xiàng)為1，，，2，，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，故，與為等差數(shù)列矛盾．
所以不可能．
綜上，p的值為．
（3）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1的無窮數(shù)列，由（2）知，數(shù)列是遞增的數(shù)列；
對(duì)于公比不為1的無窮數(shù)列，必有，．
否則，若q為負(fù)，則相鄰兩項(xiàng)必有一項(xiàng)為負(fù)，
這與中的最小項(xiàng)為矛盾；
若，則當(dāng)時(shí)，，
即，這與中的最小項(xiàng)為矛盾．
先證明充分性：
當(dāng)d是正有理數(shù)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以，
設(shè)（s，，s，t互質(zhì)），則，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，
所以數(shù)列的第n項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，
所以數(shù)列中的項(xiàng)都是數(shù)列的項(xiàng)，即．
再證明必要性：
假設(shè)d是正無理數(shù)，因?yàn)?，即?shù)列中的項(xiàng)都是數(shù)列的項(xiàng)，故.
令，，（i，j，），則，，，
且，因?yàn)椋矗?br>整理得：，約去d有，
因?yàn)閕，j，，且d是無理數(shù)，所以，消去j并整理得，
故，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即d是有理數(shù)．
綜上所述，“存在數(shù)列，使”的充要條件是“d是正有理數(shù)”
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：兩類數(shù)列的交叉問題，往往需要從基本量來處理，注意合理的分類討論，另外等比數(shù)列與等差數(shù)列的交叉問題，注意結(jié)合二項(xiàng)式定理來溝通兩者的關(guān)系，而整數(shù)性問題注意結(jié)合整數(shù)的性質(zhì)來處理.
+
0
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0
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單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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