1．本試卷共三大題，24小題，滿分120分，考試時量90分鐘；
2．本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，所有答案都必須填涂或填寫在答題卡上規(guī)定的答題區(qū)域內(nèi)；
3，考試結束后，考生不得將試題卷、答題卡、草稿紙帶出考場．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分．在每小題給出的四個選項中，選出符合要求的一項）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)只有符號不同兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．
【詳解】解：的相反數(shù)是，
故選：B．
【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．
2. 下列運算結果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項法則，完全平方公式，進行計算即可求解．
【詳解】解：A、 ，故該選項正確，符合題意；
B、 ，故該選項不正確，不符合題意；
C、 ，故該選項不正確，不符合題意；
D、，故該選項不正確，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，完全平方公式，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項法則，完全平方公式是解題的關鍵．
3. 下列幾何體的主視圖是圓的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)主視圖的概念找出各種幾何體的主視圖即可．
【詳解】解：A、主視圖為圓，符合題意；
B、主視圖為正方形，不符合題意；
C、主視圖為三角形，不符合題意；
D、主視圖為并排的兩個長方形，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，解題的關鍵是能夠理解主視圖的概念以及對常見的幾何體的主視圖有一定的空間想象能力．
4. 已知，點在直線上，點在直線上，于點，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余分析計算求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及直角三角形兩銳角互余是解題關鍵．
5. 在5月份跳繩訓練中，妍妍同學一周成績記錄如下：（單位：次/分鐘），這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義即可得到答案．
【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為，出現(xiàn)次數(shù)最多的是，共出現(xiàn)2次，眾數(shù)是，中位數(shù)為．
故選：D
【點睛】此題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，處在中間位置或中間兩個數(shù)的平均數(shù)叫做中位數(shù)，熟練掌握定義是解題的關鍵．
6. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 同位角相等B. 菱形的四條邊相等
C. 正五邊形是中心對稱圖形D. 單項式次數(shù)是4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正五邊形定義，中心對稱圖形的定義，單項式次數(shù)的定義求解．
【詳解】A. 兩平行線被第三條直線所截，同位角相等，故此命題為假命題；
B. 根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的四條邊相等，故此命題為真命題；
C. 正五邊形不符合中心對稱圖形的定義，不是中心對稱圖形，故此命題為假命題；
D. 單項式的次數(shù)是3，故此命題是假命題；
故選：B．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正五邊形定義，中心對稱圖形的定義，單項式次數(shù)的定義，熟練掌握上述知識是關鍵．
7. 我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一道題：“今有圓材，徑二尺五寸．欲為方版，令厚七寸，問廣幾何？”結合右圖，其大意是：今有圓形材質(zhì)，直徑為25寸，要做成方形板材，使其厚度達到7寸．則的長是（ ）

A. 寸B. 25寸C. 24寸D. 7寸
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求解．
【詳解】由題意知，四邊形是矩形，
在中，
故選：C．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理；由矩形的性質(zhì)得出直角三角形是解題的關鍵．
8. 若一個點的坐標滿足，我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個不同的倍值點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用“倍值點”的定義得到方程，則方程的，可得，利用對于任意的實數(shù)總成立，可得不等式的判別式小于0，解不等式可得出的取值范圍．
【詳解】解：由“倍值點”的定義可得：，
整理得，
∵關于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個不同的倍值點，
∴
∵對于任意實數(shù)總成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
當時，解得，
當時，此不等式組無解，
∴，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式的關系，理解新定義并能熟練運用是解答本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）
9. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【詳解】解：由題意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案x≠2．
10. 近年來，岳陽扛牢“守護好一江碧水”責任，水在變清，岸在變綠，洞庭湖真正成為鳥類的天堂．2022年冬季，洞庭湖區(qū)越冬水鳥數(shù)量達萬只，數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為_________．
【答案】
【解析】
【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關鍵．
11. 有兩個女生小合唱隊，各由6名隊員組成，甲隊與乙隊的平均身高均為，甲隊身高方差，乙隊身高方差，兩隊身高比較整齊的是_________隊．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根據(jù)方差越小，波動越小，越穩(wěn)定判斷即可．
【詳解】∵，，且
∴甲隊穩(wěn)定，
故答案為：甲．
【點睛】本題考查了方差的決策性，熟練掌握方差的意義是解題的關鍵．
12. 如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)兩弧交于點；③作射線．若，則_________．

【答案】
【解析】
【分析】由作圖可知是的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可得到答案．
【詳解】解：由題意可知，是的角平分線，
∴．
故答案為：
【點睛】此題考查角平分線的作圖、角平分線相關計算，熟練掌握角平分線的作圖是解題的關鍵．
13. 觀察下列式子：
；；；；；…
依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個等式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個數(shù)，等式的右邊為這個數(shù)乘以這個數(shù)減1，即可求解．
【詳解】解：∵；；；；；…
∴第（為正整數(shù)）個等式是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．
14. 已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)_________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合題意，舍去），
∴
故答案為：3
【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關系的內(nèi)容是解題的關鍵．
15. 2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學興趣小組在處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是_________米（結果精確到0.1米，）．

【答案】9.5
【解析】
【分析】通過解直角三角形，求出，再根據(jù)求出結論即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，四邊形是矩形，
∴
在中，
∴,
∴
故答案為：9.5
【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵．
16. 如圖，在中，為直徑，為弦，點為的中點，以點為切點的切線與的延長線交于點．

（1）若，則的長是_________（結果保留）；
（2）若，則_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)點為的中點，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長公式即可求解；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設，則，勾股定理求得,J進而即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點為的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖，連接，

∵點為的中點，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
設，則，，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長公式，平行線分線段成比例定理等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，滿分24分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)冪的運算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運算，絕對值的化簡計算即可．
【詳解】
．
【點睛】本題考查了冪的運算，特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪的運算，絕對值的化簡，熟練掌握運算的法則是解題的關鍵．
18. 解不等式組：
【答案】
【解析】
【分析】按照解不等式組的基本步驟求解即可．
【詳解】∵，
解①的解集為；
解②的解集為，
∴原不等式組的解集為．
【點睛】本題考查了不等式組的解法，熟練掌握解不等式組的基本步驟是解題的關鍵．
19. 如圖，反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點．

（1）求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的表達式；
（2）若y軸上有一點的面積為4，求點的坐標．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）把分別代入函數(shù)的解析式，計算即可．
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的中對稱性質(zhì)，得到，設，根據(jù)，列式計算即可．
【小問1詳解】
∵反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點，
∴，
解得，
故反比例函數(shù)的表達式為，正比例函數(shù)的表達式．
【小問2詳解】
∵反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像交于兩點，
根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對稱性質(zhì)，
∴，設，
根據(jù)題意，得，
∴，
解得或，
故點C的坐標為或．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對稱性，三角形面積的特殊坐標表示法，熟練掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，反比例函數(shù)的中心對稱性是解題的關鍵．
20. 為落實中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)的《關于實施中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化傳承發(fā)展工程意見》，深入開展“我們的節(jié)日”主題活動，某校七年級在端午節(jié)來臨之際，成立了四個社團：A包粽子，B腌咸蛋，C釀甜酒，D摘艾葉．每人只參加一個社團的情況下，隨機調(diào)查了部分學生，根據(jù)調(diào)查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

（1）本次共調(diào)查了_________名學生；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）學校計劃從四個社團中任選兩個社團進行成果展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中A和C兩個社團的概率．
【答案】（1）100 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)樣本容量=頻數(shù)÷所占百分數(shù)，計算即可．
（2）先計算B的人數(shù)，再完善統(tǒng)計圖即可．
（3）利用畫樹狀圖計算即可．
【小問1詳解】
∵(人)，
故答案為：100．
【小問2詳解】
B的人數(shù)：（人），
補全統(tǒng)計圖如下：
．
【小問3詳解】
根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

一共有12種等可能性，選中A，C等可能性有2種，
故同時選中A和C兩個社團的概率為．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，畫樹狀圖求概率，熟練掌握統(tǒng)計圖的意義，準確畫樹狀圖是解題的關鍵．
21. 如圖，點在的邊上，，請從以下三個選項中①；②；③，選擇一個合適的選項作為已知條件，使為矩形．

（1）你添加的條件是_________（填序號）；
（2）添加條件后，請證明為矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行選取；
（2）通過證明可得，然后結合平行線的性質(zhì)求得，從而得出為矩形．
【小問1詳解】
解：①或②
【小問2詳解】
添加條件①，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴為矩形；
添加條件②，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴為矩形
【點睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關鍵．
22. 水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【解析】
【分析】設今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，根據(jù)去年與今年的養(yǎng)殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗即可．
【詳解】解：設今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解且符合題意，
答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．
【點睛】此題考查了分式方程的實際應用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵．
23. 如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關系是_________，與的位置關系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，當點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數(shù)；
（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉，得到，連接，．當旋轉角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1），點分別為邊的中點，則是的中位線，即可得出結論；
（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當點在同一直線上時，且點在上時，設，則，得出，則在同一個圓上，進而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當在上時，可得在同一個圓上，設，則，設，則，則，表示與，即可求解．
【詳解】初步嘗試：（1）∵，點分別為邊的中點，
∴是的中位線，
∴；；
故答案是：；
（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，
∴，
∴
∵將繞點順時針旋轉（為銳角），得到，
∴；
∵點在同一直線上時，
∴
又∵在中，是斜邊的中點，
∴
∴
∴是等邊三角形，
∴，即旋轉角
∴
∴是等邊三角形，
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
（2）如圖所示，連接，
∵，，
∴，,

∵,
∴,
∴,
設，則，
在中，，則，
在中，,
∴,
解得：或（舍去）
∴,
（3）如圖所示，當點在同一直線上時，且點在上時，

∵，
∴，
設，則，
∵是的中位線，
∴
∴，
∵將繞點順時針旋轉，得到，
∴，，
∴
∴，
∵點在同一直線上，
∴
∴，
∴在同一個圓上，

∴
∴
∵，
∴；
如圖所示，當在上時，

∵
∴在同一個圓上，
設，則，
將繞點順時針旋轉，得到，
設，則，則，
∴，
∵,
∴，
∵
∴
∴
綜上所述，或
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
24. 已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

（1）請求出拋物線的表達式．
（2）如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）；
（3）點的坐標為或
【解析】
【分析】（1）把代入，求出即可；
（2）假設存在這樣的正方形，過點E作于點R，過點F作軸于點I，證明可得故可得，；
（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過點作軸于點，連接，設交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進而可求得點的坐標．
【小問1詳解】
∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，
∴把代入，得，
解得，
∴解析式為：；
【小問2詳解】
假設存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，

∴
∵四邊形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可證明：
∴
∴
∴；
【小問3詳解】
解：拋物線上存在點，使得．
，
拋物線的頂點坐標為，
將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，
拋物線的解析式為，
拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，
，，
設直線的解析式為，把，代入得，
解得：，
直線的解析式為，
過點作軸于點，連接，設交直線于或，如圖2，過點作軸交于點，交拋物線于點，連接，
則，，，

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即點與點重合時，，
；
，，
，
，
點與點關于直線對稱，
；
綜上所述，拋物線上存在點，使得，點的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結合思想解決問題是解題的關鍵．

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