一、選擇題
1．某興趣小組研究光照時(shí)長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉后，下列說法正確的是( )
A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)變小
C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則( )
A.150B.160C.170D.180
3．已知隨機(jī)變量服X從正態(tài)分布，且，則( )
A.B.C.D.
4．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是( )
A.B.C.D.
5．一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1，2，3，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n，則二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )
A.B.60C.120D.240
6．某校得到北京大學(xué)給的10個(gè)推薦名額現(xiàn)準(zhǔn)備將這10個(gè)推薦名額分配給高三年級(jí)的6個(gè)班級(jí)（每班至少一個(gè)名額），則高三（1）班恰好分到3個(gè)名額的概率為( )
A.B.C.D.
7．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：
若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為，則以下判斷正確的是( )
A.x增加1個(gè)單位長度，則y一定增加0.7個(gè)單位長度
B.x減少1個(gè)單位長度，則y必減少0.7個(gè)單位長度
C.當(dāng)時(shí)，y的預(yù)測值為8.1萬盒
D.線性回歸直線，經(jīng)過點(diǎn)
8．已知，，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則下列選項(xiàng)中正確的為( )
A.B.C.D.
10．若，，則下列結(jié)論中正確的有( )
A.
B.
C.
D.
11．2023年，某省繼續(xù)招募高校畢業(yè)生到基層從事支教，支農(nóng)，支醫(yī)和幫助鄉(xiāng)村振興的服務(wù)工作（簡稱“三支一扶”），此省某師范院校某畢業(yè)班的6名畢業(yè)生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班長）被分配到甲乙丙三地進(jìn)行支教，且每地至少有一名畢業(yè)生.則下列正確的是( )
A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，則共有種分配方法
B.6名畢業(yè)生平均分配到甲乙丙三地，則共有種分配方法
C.男班長必須到甲地，則共有180種分配方法
D.班長必須到甲地，某女生必須到乙地，則共有65種分配方法
12．已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是( )
A.點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)；
B.，，使
C.若關(guān)于x的方程有一個(gè)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
D.函數(shù)的值域?yàn)?br>三、填空題
13．某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組的平均數(shù)為__________.
14．函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則a的取值范圍是__________.
15．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)口袋，其中甲口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球.第一次從甲口袋中任取1個(gè)球，將取出的球放入乙口袋中，第二次從乙口袋中任取一個(gè)球，則第二次取到2號(hào)球的概率為__________.
16．若數(shù)列，，，，滿足，則稱此數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)列”.現(xiàn)從1，2，…，9，10這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成“準(zhǔn)等差數(shù)列”的概率是__________.
四、解答題
17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,．正項(xiàng)等比數(shù)列中,,．
（1）求與的通項(xiàng)公式;
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．2023年山東淄博成立了燒烤協(xié)會(huì)，發(fā)布燒烤地圖，舉辦燒烤節(jié)慶活動(dòng)．淄博燒烤是淄博飲食文化的重要組成部分．淄博燒烤保留有獨(dú)立小爐純炭有煙燒烤．五一前后舉辦了淄博燒烤節(jié)，集中展示燒烤名店、特色品種，輔以演出、啤酒展銷等多種方式，為市民提供優(yōu)質(zhì)燒烤產(chǎn)品．打通“吃住行游購?qiáng)省备饕丨h(huán)節(jié)，推出一批“淄博燒烤+特色文旅”主題產(chǎn)品．燒烤協(xié)會(huì)為了解游客五月一日至3日的消費(fèi)情況，對(duì)這期間的100位游客消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表：
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額是否少于600元與性別有關(guān)，
（2）為吸引游客，該市推出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每滿200元減40元．
方案二：消費(fèi)金額不少于600元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為，中獎(jiǎng)1次減100元，中獎(jiǎng)2次減150元，中獎(jiǎng)3次減200元．
若某游客計(jì)劃消費(fèi)600元，依據(jù)優(yōu)惠金額的期望的大小，此游客應(yīng)選擇方案一還是方案二？請(qǐng)說明理由．
附：參考公式和數(shù)據(jù)：，．
附表：
19．在今山西懷仁縣，故名．明《大明一統(tǒng)志》有“錦屏山在懷仁縣西南二十五里，山舊有磁窯”記載．懷仁陶瓷歷史已逾千年，始于春秋，興于遼金，盛于明清．目前懷仁有53家陶瓷企業(yè)，某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格概率依次為0.6、0.5、0.75．
（1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，記合格工藝品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．
20．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
21．某市舉行招聘考試,共有4000人參加,分為初試和復(fù)試,初試通過后參加復(fù)試.為了解考生的考試情況,隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績,并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖,如圖所示.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖,試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值;
（2）若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布,其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,,試估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù);
（3）復(fù)試共三道題,第一題考生答對(duì)得5分,答錯(cuò)得0分,后兩題考生每答對(duì)一道題得10分,答錯(cuò)得0分,答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績.已知某考生進(jìn)入復(fù)試,他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為,后兩題答對(duì)的概率均為,且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅,求Y的分布列及均值.
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則:,,.
22．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上，恒成立.
參考答案
1．答案：D
解析：從圖中可以看出較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉后，回歸效果更好，
對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若去掉后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確.
故選：D.
2．答案：B
解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，
因?yàn)椋裕?br>.
故選：B.
3．答案：A
解析：隨機(jī)變量服X從正態(tài)分布，且，
所以.
故選：A.
4．答案：C
解析：X服從超幾何分布，，故，
故選：C.
5．答案：B
解析：因?yàn)椋?br>所以，
所以展開式的通項(xiàng)為：
，
令得：，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
故選：B.
6．答案：B
解析：將10個(gè)名額分給6個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，
即從9個(gè)分段中選擇5個(gè)段分開，共有種方法，
若三（1）班恰好分到3個(gè)名額，則只需將剩下的7個(gè)名額分給5個(gè)班，共有方法，
從而概率為.
故選：B.
7．答案：C
解析：，，
代入線性回歸方程中得，，
故線性回歸方程為，
對(duì)于A：回歸直線方程是點(diǎn)分布在直線附近或在直線上，x增加1個(gè)單位長度，則y可能增加0.7個(gè)單位長度，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：回歸直線方程是點(diǎn)分布在直線附近或在直線上，x減少1個(gè)單位長度，則y可能減少0.7個(gè)單位長度，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對(duì)于D：線性回歸直線必經(jīng)過點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．答案：B
解析：由題意可知，，，
于是構(gòu)造函數(shù)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，，
又，，故，
故選：B.
9．答案：BD
解析：根據(jù)概率和為1，可得，解得.
對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，故D正確.
故選：BD.
10．答案：AD
解析：，
對(duì)于A，令，則，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，則，則，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，得，又，
，故D正確.
故選：AD.
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，
3個(gè)男生中選1個(gè)到甲地，方法有種；在剩下的2個(gè)男生中選1個(gè)到乙地，
方法有種；最后1個(gè)男生放在丙地；再安排女生，方法有種.所以共有種分配方法，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，6名畢業(yè)生平均分配到甲乙丙三地，方法數(shù)有種分配方法，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，男班長必須到甲地，方法數(shù)有:
種分配方法，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，班長必須到甲地，某女生必須到乙地，方法數(shù)有:
種分配方法，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
12．答案：BD
解析：令，可得，是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)是實(shí)數(shù)0，不是點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的極小值為和，且，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的圖像，
觀察圖像可知，，，使，所以B正確；
函數(shù)的值域?yàn)?，D正確；
對(duì)于C，由，得，因?yàn)椋瑒t，
令，得或或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況，如下表
如圖，
當(dāng)或或時(shí)，關(guān)于x的方程有一個(gè)根，所以a的取值范圍是，C不正確.
故選：BD.
13．答案：7.8
解析：這組數(shù)據(jù)共5個(gè)數(shù)，中位數(shù)為8，則從小到大排列時(shí)，8的前面有兩個(gè)數(shù)，
后面也有兩個(gè)數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9，則有兩個(gè)9，
其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為9，
又極差為3，所以最小數(shù)字為6，
所以這組數(shù)據(jù)為6，7，8，9，9，
則平均數(shù)為.
故答案為：7.8.
14．答案：
解析：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故函數(shù)在處有極大值，在處有極小值，
即，解得，
故答案為：.
15．答案：
解析：記事件，分別表示第一次、第二次取到i號(hào)球，，2，3，
依題意，，兩兩互斥，其和為，
并且，，，
所以，，，
應(yīng)用全概率公式，有.
故答案為：.
16．答案：
解析：和為5有2種組合，和為6有2種組合，
和為7有3種組合，和為8有3種組合，
和為9有4種組合，和為10有4種組合，
和為11有5種組合，
和為12有4種組合，和為13有4種組合，
和為14有3種組合，和為15有3種組合，
和為16有2種組合，和為17有2種組合，
所以.
故答案為：.
17．答案：（1）,
（2）
解析：（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,設(shè)公差為d,
所以,解得,
所以,
正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,設(shè)公比為q,
所以,所以,
解得,或（舍去）,
所以.
（2）由（1）知：,
所以,
,
兩式相減得：,
,
.
18．答案：（1）表格見解析，有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額是否少于600元與性別有關(guān)
（2）選擇方案一，理由見解析
解析：（1）列聯(lián)表如下：
，
因此有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額是否少于600元與性別有關(guān)．
（2）按方案一：某游客可優(yōu)惠120元．
按方案二：設(shè)優(yōu)惠金額為X元，X可能取值為0，100，150，200．
，，
，，
所以X的分布列為
．
所以選擇方案一．
19．答案：（1）0.38
（2）分布列見解析，0.9
解析：（1）第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為：.
（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為：
，，.
所以，
故隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，且.
故；；
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
20．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，
，，
所以切線方程為：，即.
（2）因?yàn)椋?
所以.
①當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減；
令，得，所以在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，令，得.所以在上單調(diào)遞減；
令，得或.所以在和上單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，所以在R單調(diào)遞增.
④當(dāng)時(shí)，令，得.所以在上單調(diào)遞減；
令，得或.所以在和上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
21．答案：（1）62
（2）91
（3）見解析
解析：（1）樣本平均數(shù)的估計(jì)值為.
（2）因?yàn)閷W(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布,其中,,
則,
所以,
所以估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)為人.
（3）Y的取值分別為0,5,10,15,20,25,
則,
,
,
,
,
,
故Y的分布列為:
所以數(shù)學(xué)期望為.
22．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由已知可得，，
由可得，.
令，則，
當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞減.
又，
所以在上的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，有，所以，所以在上單調(diào)遞增.
又，所以在上的值域?yàn)?
作出函數(shù)在的圖象如下圖所示，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有兩解，
設(shè)為，且，.
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，有，即；
當(dāng)時(shí)，有，即；
當(dāng)時(shí)，有，即.
所以，在處取得極大值，在處取得極小值.
綜上所述，a的取值范圍為.
（2）構(gòu)造函數(shù)，，則，
令，則在時(shí)恒成立，
所以，，即在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)椋试谏希?
令，則，
令，，
故，即為增函數(shù)，所以，
所以為增函數(shù)，所以，
即，即，
所以，.
又，
所以，當(dāng)時(shí)，有；
在上，
因?yàn)?，?br>所以.
令，在上恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，有，所以.
又，所以.
綜上所述，在上，恒成立.
x（月份）
1
2
3
4
5
y（萬盒）
5
6
5
6
8
0
1
2
3
P
消費(fèi)金額（元）
人數(shù)
15
20
25
20
10
10
不少于600元
少于600元
合計(jì)
男
25
女
40
合計(jì)
2.072
2.706
3.841
6.635
0.150
0.100
0.050
0.010
x
0
1
2
＋
0
－
0
＋
－
0
＋
遞增
遞減
0
遞增
遞減
遞增
不少于600元
少于600元
合計(jì)
男
25
20
45
女
15
40
55
合計(jì)
40
60
100
X
0
100
150
200
P
0
1
2
3
P
Y
0
5
10
15
20
25
P

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