（新高考II卷專用）
黃金卷
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1．已知集合則（ ）
A．B．C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．已知向量，的夾角為，，且向量與垂直，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．C．D．2
5．2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國(guó)，吸引了國(guó)內(nèi)眾多業(yè)余球隊(duì)參賽．現(xiàn)有六個(gè)參賽隊(duì)伍代表站成一排照相，如果貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)必須相鄰，同時(shí)南昌拌粉隊(duì)與溫江烤肉隊(duì)不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144B．72C．36D．24
6．在三棱錐 中，側(cè)棱，則其外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
7．已知 則 （ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．的取值范圍是
C．是的極大值點(diǎn)D．，，使
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的最大值為2
C．直線是圖象的一個(gè)對(duì)稱軸
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．已知F為拋物線C：焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線L與拋物線C交于不與原點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．直線L的方程為
C．F關(guān)于L對(duì)稱點(diǎn)為D．M為線段AB中點(diǎn).
11．已知直三棱柱內(nèi)接于球，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)A到平面的距離為
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．過(guò)點(diǎn)作球的截面，截面的面積最小為
D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為
12．實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 用數(shù)字作答
14．已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 .
15．若，分別是函數(shù)與圓上的點(diǎn)，則的最小值為 ．
16．已知橢圓內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線，分別與橢圓交于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D，且滿足，，若變化時(shí)，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.
17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．
(1)證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
18．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大小，
(2)若的角平分線交邊于點(diǎn)，且，求邊.
19．黨的二十大以來(lái)，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過(guò)不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對(duì)2023 年1 ~5月份該企業(yè)的利潤(rùn)y(單位：百萬(wàn))的統(tǒng)計(jì).
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，求該企業(yè)的利潤(rùn)y與月份編號(hào)x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；
(2)該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.
附：相關(guān)系數(shù)
20．如圖，在多面體中，四邊形和四邊形是全等的直角梯形，且這兩個(gè)梯形所在的平面相互垂直，其中，.

(1)證明：平面；
(2)若，求點(diǎn)F到平面的距離.
21．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求的方程；
(2)記C的右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線與C的左支交于兩點(diǎn)，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
22．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
月份編號(hào)x
1
2
3
4
5
利潤(rùn)y(百萬(wàn))
7
12
13
19
24
參考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A，再利用交集的定義求解即得.
【詳解】集合，而，
所以.
故選：D
2．D
【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而得到其共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限．
【詳解】令，
則，
則的共軛復(fù)數(shù)為，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．
故選：D．
3．A
【分析】根據(jù)題意表示出次操作后去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和，然后列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題知，每次操作后剩下區(qū)間長(zhǎng)度之和是操作前區(qū)間長(zhǎng)度的，
故次操作后剩下區(qū)間長(zhǎng)度之和為，
所以，次操作后去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和為，
由得，
所以，的最小值為6.
故選：A
4．D
【分析】
根據(jù)垂直向量的數(shù)量積建立方程，結(jié)合題意，可解得答案.
【詳解】
由，則，
即，
解得.
故選：D.
5．A
【分析】利用相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法求解即可.
【詳解】先將不相鄰的兩隊(duì)排除，將貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)看成一個(gè)整體，與余下兩隊(duì)先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊(duì)插入他們的空隙中，有種方法，最后落實(shí)貴陽(yáng)折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)的具體排法有種方法，故不同的站法有種.
故選：A.
6．B
【分析】根據(jù)可得到點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的外心，從而判斷三棱錐的外接球球心在上，分別求得和,設(shè)出外接球半徑，借助于直角三角形即可求得.
【詳解】
如圖，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理：，解得：，
過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，
分別連接，因，故，即點(diǎn)是的外心，
則
依題，三棱錐 的外接球球心必在直線上，連接,不妨設(shè)外接球半徑為，
則,
在中，由勾股定理，，解得：
故外接球的表面積為
故選：B.
7．C
【分析】
根據(jù)給定的條件，利用輔助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，
所以.
故選：C
8．D
【分析】由導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)圖象，A選項(xiàng)，根據(jù)得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，或，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故有1個(gè)非零實(shí)根，數(shù)形結(jié)合得到答案；C選項(xiàng)，由圖象得到不是的極大值點(diǎn)；對(duì)于D選項(xiàng)，求出，，得到D正確.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
且，，且恒成立，
畫(huà)出函數(shù)的圖象如下：
對(duì)A，由可得0是函數(shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，方程等價(jià)于或，
由圖可得有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根
等價(jià)于有1個(gè)非零實(shí)根，則由圖可得或，
解得或，故B錯(cuò)誤.
對(duì)C，由圖可得是的極大值點(diǎn)，不是的極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由圖可得，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，故?br>故結(jié)合圖象可得時(shí)，，
故，，使，故D正確；
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理思路：
①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；
②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；
③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
9．ABD
【分析】由三角函數(shù)圖象判斷函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，一般是先結(jié)合圖像分別求出，周期確定，關(guān)鍵點(diǎn)確定，接著根據(jù)要求，結(jié)合正弦型（余弦型）函數(shù)性質(zhì)分別判斷即得.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，
由圖象可知，解得故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，所以，解得，?將代入解析式得，
因?yàn)?，則，所以得，故.
又因?yàn)閳D象與軸的交點(diǎn)為，所以，得，故的最大值為2，選項(xiàng)B正確；
由上述分析知，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心，即直線不是其對(duì)稱軸，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因當(dāng)時(shí)，取，而在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
10．AB
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出直線的方程，再逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，即，
由消去x并整理得：，，
則，由，得，
顯然，則，即，解得，
因此，直線的方程為，即，AB正確；
線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，而點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，D錯(cuò)誤；
顯然，點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，在方程中，當(dāng)時(shí)，，
因此點(diǎn)不在直線上，即F關(guān)于L對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)不是，C錯(cuò)誤.
故選：AB
11．ACD
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，由等體積法求出點(diǎn)A到平面的距離；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，根據(jù)故與法向量不平行，得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)與過(guò)點(diǎn)的截面垂直時(shí)，截面的面積最小，求出截面半徑的最小值，得到答案；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)的軌跡，求出軌跡長(zhǎng)度.
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)椋?br>所以，
取的中點(diǎn)，連接，
由勾股定理得，，故，
由三線合一可得⊥，由勾股定理得，
，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為，A正確；
B選項(xiàng)，以A為原點(diǎn)，所在直線為軸建系，
則，設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，故，
設(shè)，，即，故，無(wú)解，
故與法向量不平行，
所以不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，三棱柱的外接球即為以為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，
當(dāng)與過(guò)點(diǎn)的截面垂直時(shí)，截面的面積最小，
球心，則過(guò)點(diǎn)作球的截面，
截面半徑的最小值為，
所以截面的面積最小為，C正確；
D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作于，則，
又⊥平面，平面，所以⊥，
因?yàn)?，平面，所以⊥平面?br>因?yàn)槠矫?，所以⊥?br>故，又，
則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，
其圓心角為，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)即為，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問(wèn)題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對(duì)棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來(lái)進(jìn)行求解.
12．ACD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用基本不等式即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，利用參數(shù)方程即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)，利用B選項(xiàng)即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)，令即可求解,
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，令且，則，
其中，，
又，所以的最大值為1，
所以的最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由B中的分析知，，
其中，，
又，所以，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，令，
則，
且，所以當(dāng)時(shí)，取最大，
故D正確.
故選：ACD.
13．
【分析】直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)求出即可.
【詳解】在的展開(kāi)式中通項(xiàng)為，
所以，解得，
所以的系數(shù)為，
故答案為：
14．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件得在上是偶函數(shù)，然后根據(jù)其單調(diào)性從而可求解.
【詳解】令，所以，
因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，
所以在上是偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br>因?yàn)楫?dāng)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所有在上單調(diào)遞減，
由，得，又因?yàn)?，所以?br>所以，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)求出函數(shù)為偶函數(shù)和其單調(diào)性，從而求解.
15．##
【分析】設(shè)圓的圓心為，半徑為，當(dāng)垂直于拋物線在點(diǎn)處的切線時(shí)，取得最小值，為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直的條件，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算的值，即可．
【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)垂直于拋物線在點(diǎn)處的切線時(shí)，取得最小值，為，如圖所示，

設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為，且，
由知，，
所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，
因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，所以，
所以，即，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即?br>此時(shí)，
所以，即的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到函數(shù)上的點(diǎn)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得解.
16．##
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的倍數(shù)關(guān)系得出點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，再利用“點(diǎn)差法”得出，結(jié)合直線的斜率關(guān)系推出，即可得之間的關(guān)系，即可求得答案.
【詳解】由題意可設(shè)，，，，且，，
因?yàn)?，且，所以，即?br>同理有，
將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得，
，即，
同理，，
由于，，則，所以，
即，
即，
①＋②得，，
即，所以，
所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于找到之間的關(guān)系，解答時(shí)要結(jié)合向量的數(shù)乘得出點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上以及直線的斜率關(guān)系化簡(jiǎn)得出之間的關(guān)系，計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜.
17．(1)證明見(jiàn)解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)可推出，即得，即可證明為等比數(shù)列，由此可求得的表達(dá)式，繼而求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，即可得答案.
【詳解】（1）∵ ∴，
∴，
∴為等比數(shù)列；
∵，故的首項(xiàng)為，公比為2，
∴，則，
當(dāng)時(shí)，，則，也滿足此式，
∴；
（2）由（1）可得，則，
故，
兩式相減得：，
故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和公式的逆用可求得，結(jié)合其范圍可得；
（2）在中利用正弦定理以及可求得，可知是等腰三角形，所以可求出.
【詳解】（1）由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，可?
又，故.
（2）如下圖所示：

在中，，
所以，
結(jié)合，所以，
所以，
可得，
所以是等腰三角形，且，
所以.
19．(1)；具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性
(2)分布列見(jiàn)解析；
【分析】
（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)的值，即可判斷；
（2）根據(jù)題意可知可取的為，然后計(jì)算列出分布列，求出期望即可求解.
【詳解】（1）由統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)可得:

所以


所以相關(guān)系數(shù) ，
因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
（2）由題意知，的可能取值為
因?yàn)?，
，
所以 的分布列為：
所以
20．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理即可得解；
（2）利用等體積法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>又，即，且平面，所以平面.
又平面，故.
又，即，且，平面，
所以平面.
（2）因?yàn)?，，?br>所以.
因?yàn)樗倪呅蜛BCE與四邊形CDEF是全等的直角梯形，
所以.
設(shè)點(diǎn)F到平面的距離為h，
因?yàn)?，所以，所?
由（1）得，平面BCD，又平面BCD，所以.
由（1）得平面CDEF，又平面CDEF，
所以，所以.
所以，，，
所以，所以點(diǎn)F到平面BDE的距離為.
21．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由已知求出雙曲線參數(shù)，即可得方程；
（2）法1：討論直線MN的斜率存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及垂直關(guān)系列方程求所設(shè)直線中的參數(shù)關(guān)系，代入直線方程確定定點(diǎn)即可；法2：設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立雙曲線得到，結(jié)合直線垂直關(guān)系、韋達(dá)定理求參數(shù)m，進(jìn)而確定定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意，所以雙曲線方程；
（2）法1：由（1）知，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN方程為，
聯(lián)立方程組，，即，
設(shè)，由韋達(dá)定理可得
因?yàn)?，所以?br>，
，
，
或，
將代入直線，此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)，不合題意；
將代入直線，此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，
因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以（舍）或，此時(shí)MN過(guò)定點(diǎn)，
綜上可知，直線MN恒過(guò)定點(diǎn).
因?yàn)?，此時(shí)存在以AP為斜邊的直角三角形，
所以存在定點(diǎn)Q為AP中點(diǎn)滿足，此時(shí)．
法2：由（1）知，設(shè)直線MN方程為，
聯(lián)立方程組，
，
，
兩邊同時(shí)除以，得，
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>，，即，
由韋達(dá)定理得，
代入直線，
直線過(guò)定點(diǎn)．
因?yàn)椋藭r(shí)存在以AP為斜邊的直角三角形，
所以存在定點(diǎn)Q為AP中點(diǎn)滿足，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)含參的直線MN方程，聯(lián)立雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知垂直關(guān)系求得直線方程中參數(shù)關(guān)系或參數(shù)值為關(guān)鍵.
22．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）分別求出，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）利用作差法并構(gòu)造函數(shù)，并利用二次導(dǎo)數(shù)求出恒成立，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則
所以，又因?yàn)椋?br>故所求切線方程為，即.
（2）因?yàn)榈亩x域是，
所以當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則，
設(shè)則在上恒成立，
所以在上是增函數(shù)，則，
又因?yàn)?，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>所以在上存在唯一零點(diǎn)，也是在上的唯一零點(diǎn)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以
由于，所以，，，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（2）問(wèn)中通過(guò)作差法后構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)的二次求導(dǎo)求出其最小值大于零，從而求證.

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