江蘇省蘇州市張家港市沙洲中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 式子（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解.
【詳解】解：，
，
.
故選：B
2. 已知向量，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列式解出，即可得出的坐標(biāo)，即可根據(jù)向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算得出答案.
【詳解】若，
則，解得，
則，
則，
故選：C.
3. 已知非零向量的夾角余弦值為，且，則（）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的公式求解可得，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由題意，，即，，
因?yàn)楣剩瑒t.
故選：A
4. 在中，設(shè)，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解.
【詳解】由題意
.
故選：D.
5. 已知，則
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】，解得，故，其中，故.
點(diǎn)睛：本題駐澳考查三角恒等變換，考查兩角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解齊次方程.首先先根據(jù)兩角和的正切公式求得，然后利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)要求解的式子，再利用齊次方程來求出結(jié)果.最突出的是選項(xiàng)的設(shè)置，如果記錯(cuò)降次公式或者誘導(dǎo)公式，則會(huì)計(jì)算出選項(xiàng).
6. 已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式得出，即可根據(jù)對(duì)稱軸列式得出的值，即可得出，根據(jù)已知得出與關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，即可列式得出，即可得出答案.
【詳解】，其中，
函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，
則，解得：，
則，，即，
故，
，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，
與關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，
，解得，
則時(shí)，，
故選：B.
7. 如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，且，則（）
A. 9B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用分別表示出，結(jié)合已知，可得，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
即，解得，
又，
所以，
故選：A．
8. 如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，，若，，則的最小值是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，以及三點(diǎn)共線，可確定的關(guān)系，即，可得，再利用基本不等式求最值即可．
【詳解】由條件可得，
∵，
∴，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
∴，
∴，
∵，
∴，則；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最小值是；
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）
A. 函數(shù)的最大值為2
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為
D. 將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像
【答案】AD
【解析】
【分析】先用三角恒等變換得到，進(jìn)而求出函數(shù)最大值，得到在上單調(diào)遞減，判斷出AB選項(xiàng)，為對(duì)稱軸，判斷C選項(xiàng)；以及平移后的解析式，判斷D選項(xiàng).
【詳解】，
所以函數(shù)的最大值為2，所以A選項(xiàng)正確．
因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以B選項(xiàng)不正確．
當(dāng)時(shí)，，所以為對(duì)稱軸，所以C選項(xiàng)不正確．
函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，所以D選項(xiàng)正確．
故選：AD．
10. 設(shè)，是互相垂直的單位向量，，，下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 若點(diǎn)C在線段AB上，則
B. 若，則
C. 當(dāng)時(shí)，與共線的單位向量是
D. 當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)A：根據(jù)向量共線分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)向量垂直運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)單位向量分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)投影向量分析運(yùn)算.
【詳解】由題意可得：，
對(duì)A：若點(diǎn)C在線段AB上，則，則，
可得，解得或（舍去），故A正確；
對(duì)B：由，可得，
解得，故B正確；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，則，
與共線的單位向量是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，可得，
則在上的投影向量為，故D正確.
故選：ABD．
11. 直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（其中），則（）
A. 的取值范圍是
B. 點(diǎn)經(jīng)過的外心
C. 點(diǎn)所在軌跡的長(zhǎng)度為2
D. 的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，結(jié)合已知即可判斷A；若為中點(diǎn)，根據(jù)已知有共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.
【詳解】由，又斜邊，則，則，A正確；
若為中點(diǎn)，則，故，又，
所以共線，故在線段上，軌跡長(zhǎng)為1，又是的外心，B正確，C錯(cuò)誤；
由上，則，
又，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
所以，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若為中點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運(yùn)算的幾何意義、數(shù)量積的幾何意義和運(yùn)算律判斷軌跡，求、.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在四邊形中，分別是邊的中點(diǎn)，，，，則_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用圖象，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則確定向量的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)由條件求.
【詳解】因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，
所以，，
又，，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，，，
所以，
所以，
故答案為：.
13. 等邊△的外接圓的半徑為1，M是△的邊AC的中點(diǎn)，P是該外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______________.
【答案】1
【解析】
【分析】設(shè)等邊的外心為，由題意得到、、三點(diǎn)共線，且，再由，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解.
【詳解】解：如圖，設(shè)等邊的外心為，又半徑為1，且是的邊的中點(diǎn)，
、、三點(diǎn)共線，且，
，
，
又，
當(dāng)時(shí)，的最大值為.
故答案為：1
14. 記函數(shù)的最小正周期為T，若，且是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，則______________.
【答案】
【解析】
【分析】由周期范圍求得的范圍，由圖像最高點(diǎn)求解與值，可得函數(shù)解析式，則可求．
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，
則，由，得，，
因?yàn)槭菆D象的一個(gè)最高點(diǎn)，則
且，則
，取，可得，
所以，
則.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量與的夾角為，且，.
（1）若與共線，求；
（2）求與的夾角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）可設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)即可得解；
（2）計(jì)算出、的值，利用平面向量的數(shù)量積可求得與的夾角的余弦值.
【詳解】（1）若與共線，則存在，使得
即，
又因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，解得，所以；
（2），
，
.
16. 如圖，在中，，，為線段的垂直平分線，與交與點(diǎn)為上異于的任意一點(diǎn).
求的值；
判斷的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由．
【答案】14；是.
【解析】
【分析】法一：由題意及圖形，可把向量用兩個(gè)向量的表示出來，再利用數(shù)量積的公式求出數(shù)量積；
將向量用與表示出來，再由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積，根據(jù)其值的情況確定是否是一個(gè)常數(shù)；
法二：由題意可以以BC所在直線為x軸，DE所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)的定義式求出的坐標(biāo)表示，由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積；
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，表示出向量的坐標(biāo)再由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示公式求數(shù)量積即可.
【詳解】法1：由已知可得，，
,
的值為一個(gè)常數(shù)為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點(diǎn)D，E為L(zhǎng)上異于D的任意一點(diǎn)，
，
故：
解法2：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，L所在直線為 y軸建立直角坐標(biāo)系，可求，
此時(shí)，，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
常數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，本題采用了二種解法，一是基向量法，一是向量的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系與設(shè)定其向量.
17. 已知向量，，設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值，及取得最大值時(shí)取值的集合；
（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）設(shè)，，為銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，若，，求的值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量和三角函數(shù)公式可得，可得最大值和取值集合；
（2）令，解不等式即可得到單調(diào)減區(qū)間；
（3）由題意以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，再由前面所求可得，代入，計(jì)算可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)橄蛄?，?br>所以
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為，此時(shí)，解得，，
故函數(shù)的最大值為，取得最大值時(shí)取值的集合為.
【小問2詳解】
由（1）知，，令，
解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
【小問3詳解】
因?yàn)?，，為銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，且，
所以，
由，可得，即，
由于，所以，故，解得，
所以，
即
18. 已知向量，函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若的最小值為﹣1，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)函數(shù)即可．
（2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．
（3）由得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
小問1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，
則；
小問2詳解】
∵，
∴，
∴，
則，
令，則，
則，對(duì)稱軸，
①當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得（舍），
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得或（舍去），
③當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值，得（舍），
綜上：若的最小值為﹣1，則實(shí)數(shù)．
小問3詳解】
令，得或，
∴方程或在上有四個(gè)不同的實(shí)根，
則，解得，則，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
19. 如圖，點(diǎn)分別是正方形的邊、上兩點(diǎn)，，，記點(diǎn)為的外心.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若，若，求的最大值.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值.
（2）設(shè)，求得關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.
（3）設(shè)，，將表示為關(guān)于的表達(dá)式，求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.
【小問1詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.，，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)，，
則，.
，
由于，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知.
【小問3詳解】
；
.
設(shè)，，則這兩個(gè)式子為，
化簡(jiǎn)得
解得
所以，
設(shè)，，
令，
所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，
所以當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值.
【點(diǎn)睛】求解平面向量數(shù)量積有關(guān)問題，有兩個(gè)求解思路，一個(gè)是利用平面向量的基本定理，通過轉(zhuǎn)化的方法來求得數(shù)量積；另一個(gè)思路是根據(jù)圖形的特征，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來進(jìn)行求解.

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