一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分)
1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那A∩B=( )
A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
2.設(shè)z=2+i1-i,則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.32B.32iC.-32D.-32i
3.在下列函數(shù)中,定義域?yàn)?0,+∞)的是( )
A.f(x)=exB.f(x)=ln xC.f(x)=1xD.f(x)=|x|
4.“θ=π6”是“cs θ=32”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.如圖所示的電路圖,同時(shí)閉合兩個(gè)開關(guān)能形成閉合電路的概率是( )
A.13B.23C.12D.1
6.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ=( )
A.14B.12C.1D.2
7.已知球O的體積為36π,則該球的表面積為( )
A.6πB.9πC.12πD.36π
8.已知3a+27b=6,則a+3b的最大值是( )
A.23B.6C.2D.22
9.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.a>1,b1,b>0C.00,且a+2b=1,則12b+8a+b的最小值為 .
20.已知向量|a|=1,向量b滿足|a-b|+|a+b|=4,則|b|的最小值為 .
四、解答題(本大題共3小題,共33分)
21.(11分)某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試,并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中m的值;
(2)估計(jì)這次測試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)在測試成績位于區(qū)間[80,90)和[90,100]的學(xué)生中,采用分層抽樣,確定了5人,若從這5人中隨機(jī)抽取2人向全班同學(xué)介紹自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),設(shè)事件A為“抽取的兩人的測試成績分別位于[80,90)和[90,100]”,求事件A的概率P(A).
22.(11分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的投影D在線段AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
(1)證明:AC1⊥A1B;
(2)設(shè)直線AA1與平面ABC所成角為60°,求二面角A1-AB-C的平面角的余弦值.
23.(11分)已知函數(shù)f(x)=-1ax+1+x-1ax,其中a為常數(shù),且a>1.
(1)若f(x)是奇函數(shù),求a的值;
(2)證明:f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一的零點(diǎn);
(3)設(shè)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)為x0,證明:x0-1>lga2-1a.
普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬卷(二)
1.A 解析 由于B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.故選A.
2.C 解析 因?yàn)閦=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2=12+32i,所以z=12?32i,所以z的虛部為-32,故選C.
3.B 解析 對于A選項(xiàng),函數(shù)f(x)=ex的定義域?yàn)镽;
對于B選項(xiàng),函數(shù)f(x)=ln x的定義域?yàn)?0,+∞);
對于C選項(xiàng),函數(shù)f(x)=1x的定義域?yàn)閧x|x≠0};
對于D選項(xiàng),函數(shù)f(x)=|x|的定義域?yàn)镽.故選B.
4.A 解析 當(dāng)θ=π6時(shí),cs θ=csπ6=32,
而當(dāng)cs θ=32時(shí),θ=π6+2kπ或θ=-π6+2kπ,k∈Z,
所以“θ=π6”是“cs θ=32”的充分不必要條件,故選A.
5.B 解析 根據(jù)題意,閉合兩個(gè)開關(guān)所有的可能為(S1,S2),(S1,S3),(S2,S3),其中能形成閉合電路的為(S1,S2),(S1,S3),所以同時(shí)閉合兩個(gè)開關(guān)能形成閉合電路的概率為23.故選B.
6.B 解析 因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(1,0),所以a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因?yàn)?a+λb)∥c,c=(3,4),所以1+λ3=24,解得λ=12,故選B.
7.D 解析 設(shè)球的體積為R,則由題可得43πR3=36π,解得R=3,則該球的表面積為4π×32=36π.故選D.
8.C 解析 由3a+27b=6有3a+27b=3a+33b≥23a·33b=23a+3b,當(dāng)且僅當(dāng)a=3b=1時(shí),等號(hào)成立.所以6≥23a+3b,即36≥4×3a+3b,所以9≥3a+3b,所以a+3b≤2,故選C.
9. D 解析 由函數(shù)f(x)=ax-b的圖象可知,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減,∴0

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