1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試卷和答題紙規(guī)定的位置上；
3．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試卷上的作答一律無效；
4．選擇題一律使用2B鉛筆填涂答案，非選擇題一律用0.5毫米黑色字跡中性筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)；
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 已知全集，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖，即可求解.
【詳解】如圖，畫出圖，并將條件中的集合標在圖中，
如圖，集合．
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)的實部大于0，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義求出即可得解.
【詳解】設(shè)，
代入，得，
解得：，
所以.
故選：D.
3. 已知向量是平面上兩個不共線的單位向量，且，則（ ）
A. 三點共線B. 三點共線
C. 三點共線D. 三點共線
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量共線定理求解即可.
【詳解】對于A，因為，若三點共線，
設(shè)，則，無解，所以三點不共線，故A錯誤；
對于B，若三點共線，
設(shè)，則，無解，所以三點不共線，故B錯誤；
對于C，因為，
因為有公共點，所以三點共線，故C正確.
對于D，因為，
，設(shè)，
則，無解，所以三點不共線，故D錯誤；
故選：C.
4. 已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（ ）
A. 10B. 40C. 100D. 103
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，借助等差數(shù)列的性質(zhì)可計算出，即可得，即可得解.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，
故，所以．
故選：D.
5. 如圖，已知長方體的體積為是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先求平面與交點的位置，再設(shè)長方體的長、寬、高分別為，最后利用三棱錐的體積公式即可求解.
【詳解】取的中點，連接， 易知，所以平面與交點為.
設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.
平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為
.
故選：A.
6. 已知橢圓，直線與交于兩點，且．則橢圓的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知中點是直線與直線的交點，所以求得，聯(lián)立橢圓與直線的方程可得，解方程即可求出答案.
【詳解】設(shè)，記，
設(shè)中點，所以，
由題意可知，中點是直線與直線的交點，
聯(lián)立，解得，
另一方面，聯(lián)立，得．
易知，由韋達定理得，解得，
所以，故離心率．
故選：B.
7. 某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有（ ）
A. 2025種B. 4050種C. 8100種D. 16200種
【答案】B
【解析】
【分析】首先考慮兩對混雙的組合，再考慮余下名男選手和名女選手組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.
【詳解】先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，
余下名男選手和名女選手各有種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，
故共有．
故選：B
8. 設(shè)函數(shù)．若實數(shù)使得對任意恒成立，則（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計算即得.
【詳解】函數(shù)，
依題意，對任意的恒成立，
即對恒成立，
因此對恒成立，
于是，顯然，否則且，矛盾，
則，顯然，否則且，矛盾，
從而，解得，
所以.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（ ）
A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論逐項檢驗可得結(jié)論.
【詳解】把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，A正確；
把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，B錯誤；
把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，C錯誤；
把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數(shù)的圖象，D正確；
故選：AD.
10. 高考數(shù)學試題的第二部分為多選題，共三個題每個題有4個選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對者得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個選項正確的概率是，記為小明隨機選擇1個選項的得分，記為小明隨機選擇2個選項的得分．則
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出的分布列，可判斷A，B；再由數(shù)學期望和方差公式求出，可判斷C，D.
【詳解】為小明隨機選擇1個選項的得分，所以，
，，
則的分布列為：
由此可得，
為小明隨機選擇2個選項的得分，所以，
,,
,
則的分布列
由此可得
．
所以,，，.
故選：BC．
11. 對于，滿足，且對于，恒有．則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】賦值法求得，由，求的值判斷選項A，由，求得，結(jié)合恒有，對BCD中的函數(shù)值進行判斷.
【詳解】令代入及，得，所以，
，A選項正確；
令代入，得；令代入由，得，
，，
，，
對于．恒有，
，，B選項正確；
，C選項錯誤；
，則有，即，D選項正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：
抽象函數(shù)問題可以通過化抽象為具體的方法，即賦予恰當?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過運算與推理，最后得出結(jié)論，常用的方法有：
(1)令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；
(2)令或，且，判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性；
(3)令，判斷抽象函數(shù)的奇偶性；
(4)換為，確定抽象函數(shù)的周期；
(5)用，或換為等來解答抽象函數(shù)的其它一些問題.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
12. 已知．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】借助賦值法可得，結(jié)合二項式定理計算即可得解.
【詳解】令，則有，即，
即有，則.
故答案為：.
13. 應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠鏡，這種望遠鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計制造的一種反射式望遠鏡，其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，且，的面積為10，，則拋物線方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由，解出得點坐標，結(jié)合得拋物線方程.
【詳解】以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標系，
不妨設(shè)．
由，則有，解得，
又，解得，
，則有，
故拋物線方程為．
故答案為：
14. 函數(shù)的最小值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究的零點及零點兩側(cè)函數(shù)值的正負，由此確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值可得.
【詳解】，
令，
則，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增,，
設(shè)，
因為在上單調(diào)遞增，
因為，
存在，使，
且，
故當時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，
當時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)增，
所以．
故答案為：.
【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
四、解答題（本大題共5小題，共計77分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
15. 如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】利用線面垂直判定定理來證明；用向量法計算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；
【小問1詳解】
取中點，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
不妨設(shè)，則，
則．
證明：，
由，得，
由，得，
因為平面，所以平面．
【小問2詳解】
由（1）可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，
則,故，
令，得面的一個法向量為，
設(shè)二面角的值為，
則，所以，二面角的正弦值為．
16. 今年的《春節(jié)聯(lián)歡晚會》上，魔術(shù)師劉謙表演的魔術(shù)《守歲共此時》精彩紛呈．節(jié)目的第二部分是互動環(huán)節(jié)，全國觀眾跟著魔術(shù)師一起做魔術(shù)，將“好運留下來，煩惱丟出去”，把晚會歡樂的氣氛推向高潮．節(jié)目主持人尼格買提手中的兩張牌沒有對上，直接登上熱搜榜．如果我們將4張不同數(shù)字的撲克，每張撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）將余下4個半張隨機扔掉2個留下2個，然后從桌上4個半張隨機翻開2張，求翻開的兩個半張的數(shù)字與留下的2個半張上的數(shù)字恰好有1個相同的概率；
（2）將余下來的4個半張隨機放在桌上4個半張上面，再分別翻開，記放在一起的兩個半張數(shù)字相同的個數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，數(shù)學期望為1
【解析】
【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；
（2）先確定隨機變量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，
再利用期望公式求其期望.
【小問1詳解】
設(shè)翻開的兩個半張的數(shù)字與留下的2個半張上的數(shù)字恰好有1個相同的事件設(shè)為，
由已知將余下4個半張隨機扔掉2個留下2個，然后從桌上4個半張隨機翻開2張
的方法數(shù)為，
翻開的兩個半張的數(shù)字與留下的2個半張上的數(shù)字恰好有1個相同的方法數(shù)為，
則．
所以翻開的兩個半張的數(shù)字與留下的2個半張上的數(shù)字恰好有1個相同的概率為．
【小問2詳解】
由已知隨機變量的可能取值有，
，，
，，
所以的分布列
所以．
17. 如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱為“盆開線”．曲線與軸有兩個交點，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．
（1）設(shè)過點的直線與相切于點，求點的坐標及直線的方程；
（2）過的直線與相交于點三點，求證：．
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率乘積以及，可求得，可得橢圓方程和雙曲線方程，設(shè)切點為，可得切線方程，由過點，即可求解和直線方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線方程，利用韋達定理，結(jié)合的斜率之和為零，即可求證.
【小問1詳解】
由題設(shè)可得,，
故橢圓方程為：，雙曲線方程為．
由圖可知，切點在雙曲線上．
設(shè)，則，則切線的方程為：，
因為直線過點，所以，，
將代入，得，
所以，，直線的方程為：．
【小問2詳解】
由題意可得的斜率存在且不為零，故設(shè)方程為：，
聯(lián)立整理得：，
,即且,
解得：或，即．
聯(lián)立整理得：，
解得：或，即．
所以，
所以，所以．
18. 已知函數(shù)．
（1）如果1和是的兩個極值點，且的極大值為3，求的極小值；
（2）當時，討論的單調(diào)性；
（3）當時，且函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，最小值為．求的值．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）18
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得和是方程的兩根，利用韋達定理求出、的值，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極大值，從而求出的值，最后求出極小值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）依題意，即可求出、的范圍，再求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合特殊值可得有兩個實數(shù)根，且，即可得到是的極大值點，是的極小值點，則，，結(jié)合韋達定理得到，再由，即可求出、的值，從而得解.
【小問1詳解】
因為，所以，
因為和是的兩個極值點，所以和是方程的兩根，
故，解得，即，
所以，
因時，，當時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，
所以，解得，
所以．
【小問2詳解】
當時定義域為，
又，令，解得或，
若，則當時，；當時，．
故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若，則恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；
若，則當時，；當時，．
故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上可得：當時在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時在區(qū)間單調(diào)遞增；
當時在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【小問3詳解】
當時，，
由題意得：，即，①
，即，②
由①、②可知，，．③
因，，
，，
所以有兩個實數(shù)根，且，
當時，，當時，，
故是的極大值點，是的極小值點．
由題意得，，
即，
兩式同向相加得：，④
注意到，，，
代入④得，
由③可知，，則，，
所以，，
所以，
所以，當且僅當，
即，又，所以時成立，
所以，從而．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是首先得到、的取值范圍，再結(jié)合零點存在性定理得到有兩個實數(shù)根，且，從而推導(dǎo)出.
19 已知實數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．
（1）求和（用表示）；
（2）令，證明：；
（3）若，證明：對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）觀察題目條件等式中的系數(shù)可得答案；
（2），分別計算和可證明結(jié)論；
（3）先根據(jù)無上界說明存在正整數(shù)，使得，分是偶數(shù)和是奇數(shù)分別說明.
【小問1詳解】
因為，所以；
因為，所以；
【小問2詳解】
由數(shù)列定義得：；所以．
而，
所以；
【小問3詳解】
當，由（2）可知，無上界，故對任意，存在，使得．
設(shè)是滿足的最小正整數(shù)．下面證明．
①若是偶數(shù)，設(shè)，
則，于是．
因為，所以．
②若是奇數(shù)，設(shè)，
則．
所以．
綜上所述，對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．0
2
0
2
6
0
1
2
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