考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試卷和答題紙規(guī)定的位置上；
3．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試卷上的作答一律無效；
4．選擇題一律使用2B鉛筆填涂答案，非選擇題一律用0.5毫米黑色字跡中性筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)；
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．已知全集，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)的實(shí)部大于0，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，則（ ）
A．三點(diǎn)共線B．三點(diǎn)共線
C．三點(diǎn)共線D．三點(diǎn)共線
4．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（ ）
A．10B．40C．100D．103
5．如圖，已知長(zhǎng)方體的體積為是棱的中點(diǎn)，平面將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知橢圓，直線與交于兩點(diǎn)，且．則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
7．某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場(chǎng)雙打表演賽（一場(chǎng)為男雙，一場(chǎng)為女雙，一場(chǎng)為男女混雙），每名選手只參加1場(chǎng)表演賽，則所有不同的安排方法有（ ）
A．2025種B．4050種C．8100種D．16200種
8．設(shè)函數(shù)．若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（ ）
A．B．0C．1D．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
10．高考數(shù)學(xué)試題的第二部分為多選題，共三個(gè)題每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)者得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)選項(xiàng)正確的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分．則
A．B．
C．D．
11．對(duì)于滿足，且對(duì)于．恒有．則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
12．已知．若，則________．
13．應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分支．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且，的面積為10，，則拋物線方程為________．
14．函數(shù)的最小值是________．
四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
15．（本題滿分13分）如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．
16．（本題滿分15分）今年的《春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》上，魔術(shù)師劉謙表演的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》精彩紛呈．節(jié)目的第二部分是互動(dòng)環(huán)節(jié)，全國(guó)觀眾跟著魔術(shù)師一起做魔術(shù)，將“好運(yùn)留下來，煩惱丟出去”，把晚會(huì)歡樂的氣氛推向高潮．節(jié)目主持人尼格買提手中的兩張牌沒有對(duì)上，直接登上熱搜榜．如果我們將4張不同數(shù)字的撲克，每張撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）將余下4個(gè)半張隨機(jī)扔掉2個(gè)留下2個(gè)，然后從桌上4個(gè)半張隨機(jī)翻開2張，求翻開的兩個(gè)半張的數(shù)字與留下的2個(gè)半張上的數(shù)字恰好有1個(gè)相同的概率；
（2）將余下來的4個(gè)半張隨機(jī)放在桌上4個(gè)半張上面，再分別翻開，記放在一起的兩個(gè)半張數(shù)字相同的個(gè)數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
17．（本題滿分15分）如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱為“盆開線”．曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．
（1）設(shè)過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；
（2）過的直線與相交于點(diǎn)三點(diǎn)，求證：．
18．（本題滿分17分）已知函數(shù)．
（1）如果1和是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且的極大值為3，求的極小值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，且函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，最小值為．求的值．
19．（本題滿分17分）已知實(shí)數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．
（1）求和（用表示）；
（2）令，證明：；
（3）若，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
2023-2024學(xué)年第二學(xué)期浙江省9+1高中聯(lián)盟3月高考模擬卷
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．【答案】C
【解析】因?yàn)榧希?br>2．【答案】D
【解析】令，代入，得．解得：．
3．【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線．
4．【答案】D
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以．
5．【答案】A
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，易知平面與交于中點(diǎn)
．
6．【答案】B
【解析】設(shè)，記，由題意可知，中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，即．另一方面，聯(lián)立，得．由韋達(dá)定理得：，解得，故離心率．
7．【答案】B
【解析】先填考慮兩對(duì)混雙的組合有種不同的方法，余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對(duì)方法組成兩對(duì)男雙組合，兩對(duì)女雙組合，故共有．
8．【答案】C
【解析】由條件可知：對(duì)任意的恒成立，
．
．
，由知或．
若時(shí)，則由知，這與矛盾！
若，則（舍去），，解得，所以，．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．【答案】AD
【解析】，故答案A正確，B錯(cuò)誤；
又由，故答案C錯(cuò)誤，正確．
10．【答案】BC
【解析】的分布列
由此可得
的分布列
由此可得．
從而可知，BC正確．
11．【答案】ABD
【解析】令代入及，得，所以，令代入，得，答案A正確；由，得，進(jìn)而得，，所以，BD正確，C錯(cuò)誤．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
12．【答案】38
【解析】由題設(shè)可得．
13．【答案】
【解析】不妨設(shè)．由，所以，，又．即，故拋物線方程為．
14．【答案】3
【解析】，令，顯然在上單調(diào)增，存在，使，且，故當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，即，所以在區(qū)間單調(diào)增，所以．
四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
15．【解】取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，則，則．
（1）證明：，
由，得，
由，得，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>（2）由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，
則，
令，得面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的值為，
則，所以，二面角的正弦值為．
16．【解】（1）設(shè)翻開的兩個(gè)半張的數(shù)字與留下的2個(gè)半張上的數(shù)字恰好有1個(gè)相同的事件設(shè)為，則．
答：翻開的兩個(gè)半張的數(shù)字與留下的2個(gè)半張上的數(shù)字恰好有1個(gè)相同的概率為．
（2）的分布列
．
17．【解】由題設(shè)可得，
故橢圓方程為：，雙曲線方程為．
（1）由圖可知，切點(diǎn)在雙曲線上．
設(shè)，則切線的方程為：，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，，
將代入，得，
所以，，直線的方程為：．
（2）由題意得方程為：，
聯(lián)立，整理得：，
解得：，或，即．
聯(lián)立，整理得：，
解得：，或，即．
，
所以，，所以．
18．【解】（1），因?yàn)?和是的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，1和是方程的兩根，故，即．
因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，
所以，得，
．
（2）當(dāng)時(shí)，．
令，得，或．
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
若在區(qū)間單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）當(dāng)時(shí)，，由題意得：，即，①
，即，②
由①、②可知，．③
因?yàn)椋?，，，所以，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．
由題意得：
兩式同向相加得：，④
注意到，，
代入④得：，
由③可知，，所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．
所以，從而．
19．【解】（1）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>（2）由數(shù)列定義得：；所以．
而，
所以．
（3）當(dāng)，由（2）可知，無上界，故對(duì)任意，存在，使得．
設(shè)是滿足的最小正整數(shù)．下面證明．
①若是偶數(shù)，設(shè)，
則，于是．
因?yàn)?，所以?br>②若是奇數(shù)，設(shè)，
則．
所以．
綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．0
2
0
2
6
0
1
2
4

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