河北省保定市唐縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120 分鐘試卷滿分：150 分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知向量和的夾角為，，，則等于（）
A. 15B. 12C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】∵向量和的夾角為，，，
∴.
故選：B.
2. 已知向量，，，若，則（）
A. B. C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求的值.
【詳解】，
，則有，解得.
故選：B
3. 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（）
A. 重心B. 外心C. 內(nèi)心D. 垂心
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算以及三角形的性質(zhì)分析判斷
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，如圖
可知：點(diǎn)在邊上的中線所在直線上，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，
故選：A．
4. 在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、.若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的方程，即可得解.
【詳解】由余弦定理可得，即，解得.
故選：A.
5. 若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則（）
A. 2B. 5C. 2或5D. 或5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運(yùn)算律計(jì)算即得.
【詳解】由向量，，兩兩的夾角相等，得或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
.
故選：C
6. 如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且=，＝y(tǒng)，則的值為( )
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】特殊化，令計(jì)算出x、y的值，帶入即可。
【詳解】利用三角形的性質(zhì)，過(guò)重心作平行于底邊BC的直線，得x＝y(tǒng)＝，則＝。
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題。
7. 在中，，，，為邊上的高，若，則等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：由題意得，，，則，所以,，則,故選A.
考點(diǎn)：平面向量基本定理
8. 扇形的半徑為1，圓心角為，是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題設(shè)有，，，，即可得，分析使的最小時(shí)的位置關(guān)系，進(jìn)而求的最小值.
【詳解】
由題設(shè)，，，
∴，
∴，，
∴，要使的最小，即同向共線.
又，
∴.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分得3分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）
A.
B. 若向量與向量共線，則
C. 與共線的單位的量的坐標(biāo)為
D. 在方向上的投影向量為
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，利用夾角公式即可直接求解；選項(xiàng)B，利用向量的共線定理即可直接求解；選項(xiàng)C，利用向量的共線單位向量公式即可直接求解；選項(xiàng)D，利用投影向量的公式即可直接求解.
【詳解】，故A正確；
若向量與向量共線，
則存實(shí)數(shù)使得，
所以，解得，故B正確；
與共線的單位向量為，即或，故C錯(cuò)誤；
在方向上的投影向量，故D正確.
故選：ABD
10. 已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則以下四個(gè)命題正確的有（）
A. 當(dāng)時(shí)，滿足條件的三角形共有個(gè)
B. 若則這個(gè)三角形的最大角是
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，，則為等腰直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理求得,即可判定A錯(cuò)誤；利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的比值，進(jìn)而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，對(duì)B作出判定；注意到三角形的各個(gè)角的情況，周全考慮，即可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)已知條件,綜合使用正余弦定理可求得角A的值，進(jìn)而證明D正確.
【詳解】對(duì)于Ａ，，無(wú)解，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,根據(jù)已知條件，由正弦定理得：,
不妨令,則,最大角的余弦值為：,
∴，故B正確；
對(duì)于C，由條件，結(jié)合余弦定理只能得到,即角為銳角，無(wú)法保證其它角也為銳角，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,,得到,
又
,
,
為等腰直角三角形，故D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用正余弦定理是關(guān)鍵.
11. 有下列說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的說(shuō)法為（）.
A. 、為實(shí)數(shù)，若，則與共線
B. 若、，則
C 兩個(gè)非零向量、，若，則與垂直
D. 若，、分別表示、的面積，則
【答案】AB
【解析】
【分析】由零與任何向量共線，即可判斷B；由三角形的重心的向量表示和性質(zhì)可判斷D；由向量共線的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C．
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B選項(xiàng)，如果、都是非零向量，，滿足已知條件，但是結(jié)論不成立，故B錯(cuò)，
對(duì)于C選項(xiàng)，若，所以，即，即，所以，∴與垂直，故C正確，
若，設(shè)，，可得為的重心，
設(shè)，，，
則，，，由，
可得，故D正確；
故選：AB.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知兩個(gè)非零向量與，定義，其中為與的夾角，若，，則的值為 _________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用平面向量夾角余弦坐標(biāo)表示求得，從而求得，進(jìn)而利用定義即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>則，，
則，
又，則，
則.
故答案為：.
13. 某中學(xué)校園內(nèi)的香樟樹(shù)已有較長(zhǎng)的歷史.如圖，小明為了測(cè)量香樟樹(shù)高度，他在正西方向選取與香樟樹(shù)根部C在同一水平面的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得香樟樹(shù)根部C在西偏北的方向上，步行40米到B處，測(cè)得樹(shù)根部C在西偏北的方向上，樹(shù)梢D的仰角為，則香樟樹(shù)的高度為_(kāi)_________米.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可得，中，，，運(yùn)用正弦定理可得，通過(guò)在中求解三角形的邊長(zhǎng)即可．
【詳解】中，，
，
運(yùn)用正弦定理可得，，解得，
在中，，
．
故答案為：．
14. 已知向量，，，，若，則的最小值______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)“1”的變形，利用基本不等式求最值.
【詳解】，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“1”的妙用，變形，展開(kāi)后，即可利用基本不等式求最值.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.
（1）求A的大?。?br>（2）若a＝7，且頂點(diǎn)A到邊BC的距離等于，求b和c的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）b＝3，c＝5或b＝5，c＝3
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求解；
（2）利用面積公式求出，聯(lián)立方程組可求答案.
小問(wèn)1詳解】
由正弦定理，，
即.
因?yàn)?，?br>所以
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知①.
又因?yàn)?，所以②?br>聯(lián)立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.
16. 在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.
（1）若的面積為，求的值；
（2）設(shè)，，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，利用三角形的面積公式可求得的值，再利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值；
（2）由結(jié)合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.
【詳解】（1），，則，
的面積為，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的綜合問(wèn)題，考查三角形面積公式的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的計(jì)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示以及利用三角恒等變換思想求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
17. 已知在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足.
（1）求角A；
（2）若D點(diǎn)在線段上，且平分，若，且，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理及三角形中即可求解.
（2）可設(shè),則，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面積公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，由正弦定理得：，即，
則，
又在中，，，故，
故.
【小問(wèn)2詳解】
由題可知，設(shè),則，
由正弦定理得：，即，
解得，
由余弦定理得，解得；
又，故.
由余弦定理得，即，
解得，則，.
的面積為.
18. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，利用余弦定理即可求出的值，從而得的大小；
（2）利用（1）中的結(jié)論及基本不等式和三角形三邊關(guān)系定理，即可求出的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)及正弦定理，得，
得，
根據(jù)余弦定理，得，
又，所以．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
因?yàn)?，所以，（若，因?yàn)椋?br>所以為正三角形，則，這與中相矛盾，所以，
即不等式中等號(hào)取不到），解得，即．
因三角形任意兩邊之和大于第三邊，即，
綜上，則有，
故的取值范圍為．
19. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
（1）若為的相伴特征向量，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)的值；
（3）已知，，為（1）中函數(shù)，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在點(diǎn)，使得.
【解析】
【分析】（1）利用特征向量的定義即得；
（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；
（3）由題可得的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
又為的相伴特征向量，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
∵向量的相伴函數(shù)為，
又，
.
，，
，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
由題可知，
∴，
設(shè)，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，
在圖像上存在點(diǎn)，使得.

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