本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題設寫出集合B，再由集合交運算求.
【詳解】由題意，，而，
∴，
故選：B.
2. ||=（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用復數(shù)的除法化簡，再利用復數(shù)的模長公式即得解
【詳解】由題意，
故選：B
3. 設，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，比較其和的關系即可
【詳解】依題意，可得，即，顯然是的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知函數(shù)f(x)＝則)等于( )
A. 4B. －2
C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【詳解】，則，故選B.
5. 圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.
【詳解】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示，
則過棱錐的一條側棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖，
故選：D.
6. 函數(shù)的圖象大致為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】因為，所以，令，令，令，所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，且是函數(shù)極大值點，結合4個函數(shù)的圖象，選C.
7. 單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環(huán)境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關系，其中為安全距離，為車速.當安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（）
A. 135B. 149
C. 165D. 195
【答案】B
【解析】
【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.
【詳解】由題意得，，當且僅當，即時取“=”，
所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.
故選：B
8. 已知，且，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由，得，再利用，結合正弦的和角公式可求得答案.
【詳解】解：由，得，則，
又，，所以，所以，則，
又.
故選：D
9. 已知銳角滿足，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同角的平方關系以及二倍角公式或者由二倍角公式轉(zhuǎn)化為二次齊次式.
【詳解】解法一：由可知.又，∴，，∴.
故選：D
解法二：由可知，即，
則.
故選：D.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是( )
A. 的最小正周期為
B.
C. 點是圖象的一個對稱中心
D. 直線是圖象的一條對稱軸
【答案】C
【解析】
【分析】選項A：根據(jù)題干所給圖像即可求解；選項B：結合已知條件，首先根據(jù)圖像最高點縱坐標求出，利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出，通過代入圖像中的點求出即可求出函數(shù)解析式；選項CD：通過代入檢驗法即可求解.
【詳解】對于選項A：由圖象可知，的最小正周期，故A錯誤；
對于選項B：由圖可知，因為，所以，即，
故，
因為點在的圖象上，
所以，即，又，所以，
所以，故B錯誤；
對于選項C：因為，
所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；
對于選項D：因為，故D錯誤.
故選：C.
11. 已知的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，，則的值等于（）
A. 1B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用為偶函數(shù)，得到，再利用為奇函數(shù)，得到，進而可化簡為，
得到，最后根據(jù)題意，求出，即可得到答案.
【詳解】為偶函數(shù)，，可得，
又由為奇函數(shù)，，
故有，，故有
，可得，
，
，得
故選：B
12. 已知函數(shù)=則關于x的方程的解的個數(shù)的所有可能值為（）
A. 3或4或6B. 1或3C. 4或6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可畫出函數(shù)的大致圖象，令，則方程必有兩個不等根，設兩根分別為（不妨設），且，然后分，和三種情況結合函數(shù)圖象討論即可
【詳解】當時，，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，且當時，，
當時，，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，且當時，，
所以的大致圖象如圖所示，
令，則方程必有兩個不等根，設兩根分別為（不妨設），且，
當時，則，此時有1個根，有2個根，
當時，則，此時有2個根，有1個根，
當時，則，此時有0個根，有3個根，
綜上，對任意的，方程都有3個根，
故選：D
【點睛】此題考查導數(shù)的應用，考查函數(shù)與方程的綜合應用，解題的關鍵是利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后畫出函數(shù)圖象，結合圖象求解，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合的思想，屬于中檔題
第II卷非選擇題（90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由導數(shù)的幾何意義可求得的值，由切點在切線上可得的值，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，
所以，，
所以，
故答案為：.
14. 在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，且，則△ABC的面積為___．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化簡可得，再根據(jù)面積公式求解即可
【詳解】由正弦定理，，因，故，故
故答案為：
15. 棱長為2的正方體中，點分別是線段的中點，則平面截正方體所得截面的面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先取的中點，連接，，，得到平面截正方體所得截面為菱形，再計算其面積即可.
【詳解】取的中點，連接，，，如圖所示：
由正方體的性質(zhì)可知四邊形為平行四邊形，且，
所以四邊形為菱形，過點.
所以平面截正方體所得截面為.
，，
所以面積為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)，在曲線上總存在兩點，，使得曲線在，兩點處的切線平行，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】求得函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)兩直線平行結合導數(shù)的幾何意義可得，化簡可得，，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的范圍，再結合基本不等式即可得出答案.
【詳解】解：，
因為在曲線上總存在兩點，，使得曲線在，相兩點處的切線平行，
所以，且，
即，
所以，
所以，
令，則，
設，
則，
當時，，
所以函數(shù)在上遞增，
所以
所以，
又，，
又因為，所以，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 已知函數(shù)的最小值周期為.
（1）求的值與的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求出的值，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的增區(qū)間；
（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.
【小問1詳解】
解：
，
因為函數(shù)的最小正周期為，且。所以，解得，
所以，令，
得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，則，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以
.
18. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C的值；
（2）若2a+b=6，且的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）6或
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理結合，代換整理得，再結合倍角公式整理；（2）根據(jù)面積公式代入整理得，結合題意可得或，分情況討論處理．
【小問1詳解】
∵，則
∵
∴，即
∵，則
∴
【小問2詳解】
∵△ABC的面積為，則
∴
根據(jù)題意得，則或
若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；
若，則，即，的周長為
∴的周長為6或
19已知函數(shù).
（1）已知在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；
（2）已知在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由題意可得出，由此可求得實數(shù)的值；
（2）求出函數(shù)的定義域為，由題意可知，在上恒成立，利用參變量分離法得出，利用基本不等式求出在上的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），，，
又在點處的切線方程為，，解得；
（2）的定義域為，
在定義域上為增函數(shù)，在上恒成立，
在上恒成立，，
由基本不等式，當且僅當時等號成立，故，
故的取值范圍為.
【點睛】結論點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進行：
（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；
（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；
（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號零點；
（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；
（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.
20. 如圖所示，是等邊三角形，，，面面，．
（1）求證：；
（2）求四面體的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）1．
【解析】
【分析】(1)由余弦定理可得，根據(jù)勾股定理的逆定理得，結合即可得出結果.
(2)由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，且，根據(jù)線線平行得出平面平面，進而得到與到底面的距離相等，結合棱錐體積公式即可.
【詳解】（1）證明：，，
又是等邊三角形，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
，
，故，
又，；
（2）解：取的中點，連接，
由，得，
又平面平面，
且平面平面，
平面，
且求得．
由，平面平面，
可得平面，
則與到底面的距離相等，
則四面體的體積．
【點睛】(1)證明線線垂直的方法主要有：線面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理的逆定理或者采用空間向量法；
(2) 求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積．
21. 已知函數(shù)的最小值為0，其中．
（1）求的值；
（2）若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；
（3）證明：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）對進行求導，已知最小值為0，可得極小值也為0，得，從而求出的值；
（2）由題意任意的，有成立，可以令先通過，大致確定取值范圍，再利用分類討論法求出的最值；
（3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的證.
【小問1詳解】
由函數(shù)，則其定義域為，且.
由，得:，又由，得:，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
；
【小問2詳解】
設，
則在恒成立等價于，
注意到，又，
①當時，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當時，在恒成立，符合，
的最小值為；
【小問3詳解】
由（2）知：令得：，
令得：
當時，(1)；
當時，，
，
，
將(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
【點睛】方法點睛：對于含參函數(shù)的恒成立問題的處理，常采用兩種方法：①參變分離求最值；②將左右兩邊移到一邊重新構造一個含參函數(shù)，討論含參函數(shù)的單調(diào)性，確定哪一個點處取得最值.
（二）選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標系中，曲線C1的方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l過原點O且與曲線C1交于A、B兩點，點P在曲線C2上且OP⊥AB．以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）寫出曲線C1的極坐標方程并證明為常數(shù)；
（2）若直線l平分曲線C1，求△PAB的面積．
【答案】（1），證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）寫出的極坐標方程，設直線l的極坐標方程為，代入的方程，利用韋達定理證明為定值；
（2）直線l平分曲線得直線l的方程，因為，得直線OP的方程，求得點P的坐標，計算三角形面積.
【小問1詳解】
的一般方程為，
由，，得的極坐標方程為，
證明：設直線l的極坐標方程為，點，，
將代入，
得，為方程的兩個根，
.
【小問2詳解】
因為直線l平分曲線，所以直線l過點，
直線l的方程為，因為，所以直線OP為，
曲線的普通方程為，與直線OP的方程聯(lián)立，得，
點P到直線l的距離，圓的直徑，
所以的面積.
[選修 4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù).
（1）解關于x不等式；
（2）對任意正數(shù)a，b滿足，求使得不等式恒成立的x的取值集合M．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用零點分段法求得不等式的解集.
（2）利用基本不等式求得的最小值為，由求得使得不等式恒成立的x的取值集合M．
【詳解】由得
當時，不等式等價于，解得，所以，
當時，不等式等價于，即，所以解集為空集；
當時，不等式等價于，解得，所以
故原不等式的解集為或；
（2）
不等式等價于
解之得，故.
【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查基本不等式求最值，考查不等式恒成立問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

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