1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)常用的解法：配方法、因式分解法、公式法． (2)求根公式：____________________ .
2.b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式:(1)當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程____________________．　(3)當(dāng)b2－4ac0, ∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
【考點(diǎn)3】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系
【例3】關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的實(shí)數(shù)根是x1和x2.(1)求k的取值范圍；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k為整數(shù)，求k的值．
解：（1）方程有實(shí)數(shù)根，∴根的判別式=22－4(k+1)≥0， 解得 k≤0. ∴k的取值范圍是k≤0 （2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 得x1+x2=－2 , x1x2=k+1. ∴x1+x2－x1x2=－2－(k+1)， 由已知,得－2－(k+1)＜－1，解得k＞－2. 由（1）,得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k≤0，∴－2＜k≤0， ∵ k為整數(shù)，∴k的值為－1和0.
【變式3】已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個(gè)根為2, 求m的值和另一個(gè)根．
解：m=1，另一根x1=－3.方法一，把x=2代入方程，求出m的值，再利用兩根和 或兩根積的關(guān)系求出另一根;方法二，利用兩根積的關(guān)系求出另一個(gè)根，再利用兩根 和的關(guān)系或方程根的定義求m的值.
1. 一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情況是(　　) A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．無(wú)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
3.若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的兩根，則x1＋x2的值為________，x1x2的值為__________．
2.關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________．
4.解方程： (1)x2＝2x； 　　 (2)2y2＋2y－1＝0； (3)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)．
解: x1=－2，x2=3. 提示:用因式分解法求解.
解: 提示:用求根公式法求解.
解: x1=0, x2=2 提示:用因式分解法求解.
5．若a，b是方程x2－5x＋2＝0的兩個(gè)根．求下列各式的值： (1)ab2＋a2b； (2) (3)(a＋1)(b＋1)； (4)a2＋b2.
解：由根與系數(shù)關(guān)系得a+b=5, ab=2. (1)ab2+a2b=ab(a+b)=2×5=10. (2) (3) (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8. (4)a2+b2=(a2+b2+2ab)－2ab=(a+b)2－2ab =52－2×2=21.
6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(k＋1)x－3＝0.(1)求證：該方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一根為2，求方程的另一根．
（1）證明：根的判別式=(k+1)2－4×(－3) =(k+1)2+12＞0， 所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.（2）解:設(shè)方程的另一根為x1,則2x1=－3. 解得 . 所以另一根為 .
7．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－(2m＋1)x＋m－1＝0.(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若3是方程的一個(gè)根，求m的值和另一個(gè)根．
解：（1）方程根的判別式=(2m+1)2－4m(m－1)=8m+1， ∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴8m+1≥0，解得 ， 又∵m≠0，∴m的取值范圍是 且m≠0. （2）把x=3代入方程,得9m－3(2m+1)+m－1=0, 解得m=1. 所以把m=1代入原方程,得x2－3x=0, 設(shè)另一根為x1, 則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得3x1=0. 解得x1=0. 所以m的值為1，方程的另一根為0.

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