【命題單位：重慶縉云教育聯(lián)盟】
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；
4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知函數(shù)，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．一個口袋中裝有2個白球和3個黑球，先摸出一個球后放回，再摸出一個球，則兩次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若5個正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．定義在R上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．，對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（ ）
A．8B．6C．5D．2
7．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意都有，且在上，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．B．
C．D．
8．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．若，則的值是（ ）
A．B．C．D．
10．排球是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動項(xiàng)目，排球比賽一般采用5局3勝制．在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分．在決勝局（第五局）采用15分制，某隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，則下列說法正確的是（ ）
A．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊(duì)最后贏得整場比賽，則甲隊(duì)將以或的比分贏得比賽
B．若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為，則甲隊(duì)贏得整場比賽的概率也是
C．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，且接下來兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為，則甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率為
D．已知前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分．若兩隊(duì)打了個球后甲贏得整場比賽，則的取值為2或4
11．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時發(fā)現(xiàn)數(shù)列數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為斐波那契數(shù)，記作．已知．則（ ）
A．
B．
C．若斐波那契數(shù)除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列，則
D．若．則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ．
13．已知函數(shù)，其中，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ．
14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．各項(xiàng)均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．
(1)若為等差數(shù)列，求；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.
17．已知二項(xiàng)式．
(1)若，，求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)；
(2)若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
18．某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來自A，B，C三所學(xué)校，其中來自A校的學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機(jī)給每人安排一個面試號碼，按面試號碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時長5分鐘，面試完成后自行離場.
(1)求面試號碼為2的學(xué)生來自A校的概率.
(2)若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.
(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時長（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.
19．在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．
(1)試求，，，的值；
(2)設(shè)n是一個正整數(shù)，p，q是兩個不同的素數(shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；
(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：
①準(zhǔn)備兩個不同的、足夠大的素數(shù)p，q；
②計(jì)算，歐拉函數(shù)；
③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；
④其中稱為公鑰，稱為私鑰．
已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．重慶市2023-2024學(xué)年（下）3月月度質(zhì)量檢測
高二數(shù)學(xué)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
【命題單位：重慶縉云教育聯(lián)盟】
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．C2．D3．B4．D
5．D6．B7．A8．B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．AD10．AD11．BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．
（1）由題意，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，則，但這與矛盾，舍去，所以.
（2）因?yàn)?，所以?br>而當(dāng)時，，所以此時，
所以此時，
而也滿足上式，綜上所述，的前項(xiàng)和.
16．
（1）因?yàn)?，所以?br>則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
故，解得；
（2）因?yàn)椋裕?br>令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，
的極大值為，極小值為.
17．
（1）因?yàn)?，?br>，
顯然能被7整除，，
所以二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)為.
（2）因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為128，，
則的展開通項(xiàng)公式為，
假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，
則，即，
即，解得，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6，7項(xiàng)，
即.
18．
（1）記“面試號碼為2的學(xué)生來自A?！睘槭录嗀，
將A校n名學(xué)生面試號碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為，
事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號碼為2，
其他名學(xué)生的面試號碼在剩余個面試號碼中隨機(jī)安排，
則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，
故．
（2）設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得，解得．
所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．
記“最后面試的學(xué)生來自B校”為事件B，“最后面試的學(xué)生來自C?！睘槭录﨏，
顯然事件B，C互斥．
記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則．
當(dāng)事件B發(fā)生時，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自C校，
則．
當(dāng)事件C發(fā)生時，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自B校，
則．
所以．
（3）由題知隨機(jī)變量X的取值為，，…，，
則隨機(jī)變量X的分布列為，，，…，N．
所以隨機(jī)變量X的期望
．
所以．
19．
（1）由歐拉函數(shù)的定義知，不越過3且與3互素的正整數(shù)有1，2，則，
不越過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，
不越過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，
不越過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，
所以.
（2）在不大于的正整數(shù)中，只有3的倍數(shù)不與互素，而3的倍數(shù)有個，
因此.
由，是兩個不同的素數(shù)，得，
在不超過的正整數(shù)中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，
于是，
所以.
（3）計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是，則，從而
由（2）得，，
即正整數(shù)滿足的條件為：，
，令，則，
令，則，
取，則，于是，
因此，即，
，
.
3
0
+
0
↘
極小值
↗
極大值
↘

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