江蘇省南京市建鄴區(qū)金陵中學河西分校八年級2023-2024學年上學期期中數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題（共六題：共12分）
1. 下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：一個平面圖形，沿某條直線對折，直線兩旁的部分，能夠完全重合，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查軸對稱圖形的識別．熟練掌握軸對稱圖形的定義，是解題的關鍵．
2. 以下列各組數(shù)作為三角形的三邊邊長，其中不能組成直角三角形的是（）．
A. 7，24，25B. 6，6.5，2.5C. ，，1D. ，，1
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、，能組成直角三角形，不符合題意；
B、，能組成直角三角形，不符合題意；
C、，能組成直角三角形，不符合題意；
D、，不能組成直角三角形，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查勾股定理逆定理．熟練掌握利用勾股定理逆定理判斷三邊能否構成直角三角形，是解題的關鍵．熟記常見的勾股數(shù)，可以快速的解題．
3. A、B、C三個小區(qū)在一個三角形的三個頂點的位置上，要求在它們中間建造一座公園，為使三個小區(qū)到公園距離相等，則公園最適當?shù)慕ㄔ煳恢檬窃凇鰽BC的（）
A. 三條中線的交點
B. 三條垂直平分線的交點
C. 三條角平分線的交點
D. 三邊上高的交點
【答案】B
【解析】
【分析】三角形三邊垂直平分線的交點到三角形的三個頂點的距離相等，根據(jù)以上性質從而可得答案．
【詳解】解：三角形三邊垂直平分線的交點到三角形的三個頂點的距離相等，
建造一座公園，且三個小區(qū)到公園距離相等，
則公園最適當?shù)慕ㄔ煳恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點處．
故選：
【點睛】本題考查是三角形的三邊垂直平分線的交點到三角形的三個頂點的距離相等，掌握以上知識是解題的關鍵．
4. 一個鈍角三角形的兩邊長為3、4，則第三邊可以為（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】在中，分別是其三邊：（1）若∠C=90°，則；（2）若，則.
【詳解】解：設這個三角形的第三邊長為，
若這個三角形是直角三角形，則由題干中的數(shù)據(jù)可知：，
又這是一個鈍角三角形，
，
又三角形兩邊之和大于第三邊，
，
.
故選：C．
【點睛】本題考查三角形三邊的關系，勾股定理和鈍角的定義．求出可構成直角三角形的第三邊的長度是解題的關鍵．
5. 如圖，在中，，是延長線上的點，，于，交于點，若，，則的長為（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)證明與全等，利用全等三角形的性質解答即可．
【詳解】解：于，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，，
，
故選：A．
【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質解答．
6. 如圖，在正方形所在平面內求一點，使點與正方形的任意兩個頂點構成，，，均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點的個數(shù)為（）．
A. 8個B. 9個C. 10個D. 11個
【答案】B
【解析】
【分析】作的中垂線，則中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點，共8個交點，根據(jù)半徑都相等，8個交點的位置都滿足，，，均是等腰三角形，再加上兩條中垂線的交點，也滿足，，，均是等腰三角形，共有9個點．
【詳解】解：如圖，作的中垂線，
①分別以為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點，共8個交點，
根據(jù)中垂線的性質以及圓內半徑相等，8個交點的位置都滿足，，，均是等腰三角形；
②兩條中垂線的交點，也滿足，，，均是等腰三角形；
∴滿足條件的所有點的個數(shù)為：；
故選B．
【點睛】本題考查正方形的性質，以及等腰三角形的判定，中垂線的性質．熟練掌握相關性質，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
二、填空題（共十題：共20分）
7. 5的平方根是_________．
【答案】
【解析】
【詳解】解：5的平方根是±．
故答案：±．
【點睛】考點：平方根．
8. 南京師范大學附屬中學新城初級中學總建筑面積18272平方米，用科學記數(shù)法表示（精確到百位）約是______平方米．
【答案】
【解析】
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：用科學記數(shù)法表示并精確到百位為：，
故答案為：．
【點睛】此題考查近似數(shù)與科學記數(shù)法的表示方法．表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
9. 在、、、、、中，無理數(shù)有______個．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)，進行判斷即可．
【詳解】解：，
、、、、、中，、是無理數(shù)，共2個；
故答案為：2．
【點睛】本題考查無理數(shù)．熟練掌握無理數(shù)的定義，是解題的關鍵．
10. 如圖，點在上，，，則根據(jù)______，就可以判定．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等角的補角相等，得到，利用，就可以判定．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵．
11. 如圖，以的兩條直角邊為邊長作兩個正方形，面積分別為121，3600，則斜邊______．
【答案】61
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：由題意可得，
∵在中，，即，
∴．
∴或(舍去)．
故答案是：61．
【點睛】本題考查了直角三角形的勾股定理．熟記勾股定理的內容是解決本題的關鍵．
12. 如圖，已知，點E在上，，，則______°．
【答案】35
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的性質求出∠C，再根據(jù)等腰三角形的性質等邊對等角，得出∠C=∠AEC，根據(jù)三角形的外角性質∠AEC=∠ABE+∠BAE計算，得到答案．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，∠C=∠AED=65°，
∴∠AEC=∠C=65°，
∴∠AEC-∠ABC=35°，
故答案為：35．
【點睛】本題重點考查了全等三角形的判定和全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．
13. 如圖，已知中，，，分別是邊，上兩點且，、交于點，下列說法中正確的序號有______．
①圖中共有4組全等三角形； ②，；
③點在的角平分線上； ④點在線段的垂直平分線上．
【答案】③④##④③
【解析】
【分析】①先證明，得到，再證，即可得出結論；②只有當D，E分別是邊，的中點時，才能得到，；③證明，即可得證；④根據(jù)，即可得證．
【詳解】①在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
共有3組全等三角形；故①錯誤；
②只有當D，E分別是邊，的中點時，，，故②錯誤；
③連接OA，如圖所示：
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，即點在的角平分線上，故③正確；
④∵，
∴點在線段的垂直平分線上，故④正確；
綜上：正確的是③④；
故答案為：③④．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，中垂線的判定．熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等，是解題的關鍵．
14. 如圖，將寬為的長方形紙片沿折疊，，則折痕的長為______．
【答案】
【解析】
【分析】過點F作于H，得到四邊形是矩形，得到cm，由翻折推出cm，利用勾股定理求出的長度，進而求出的長，再利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：過點F作于H．
∵四邊形矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴cm，
由翻折可知，，
∴，
∴cm，
∴，
∴，
∴cm，
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定和性質．熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，利用勾股定理進行求解，是解題的關鍵．
15. 我們把頂點在小正方形頂點上的三角形叫做格點三角形，在如圖所示的方格紙中，除了格點三角形外，可畫出與全等的格點三角形共有______個．
【答案】15
【解析】
【分析】利用判定三角形全等，在網(wǎng)格中畫出與三角形全等的三角形，即可得解．
【詳解】解：如圖所示：
除了格點三角形外，可畫出與全等的格點三角形共有15個．
故答案為：15．
【點睛】本題考查全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵．
16. 如圖，在中，，，，、分別是的內角和外角角平分線，且相交于點，則的面積為______．
【答案】5
【解析】
【分析】過點D作，由勾股定理可以求出的長，由角平分線的性質可得，利用三角形的面積和差關系可求出的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點D作，
∵，，，
∴，
∵、分別是的內角和外角角平分線，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案為：5．
【點睛】本題考查勾股定理，角平分線的性質，利用面積的和差關系列出等式是解題的關鍵．
三、解答題（共十題：共68分）
17. 求下列各式中的．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義進行求解即可；
（2）根據(jù)立方根的定義進行求解，即可得出答案．
【小問1詳解】
，
，
；
【小問2詳解】
，
，
．
【點睛】本題考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的前提．
18. 計算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）先進行開方運算，再進行減法運算；
（2）先去絕對值，開方運算，再進行加減運算．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
原式，
【點睛】本題考查實數(shù)的運算．正確的化簡各數(shù)，是解題的關鍵．
19. 在數(shù)軸上畫出來表示、的點，并用兩種方法比較與的大?。?br>【答案】圖見解析；，方法見解析
【解析】
【分析】根據(jù)，在數(shù)軸上以原點和表示的點為一條直角邊，以表示2的點為垂足，在數(shù)軸的上方作數(shù)軸的垂線段，一條長度為1，一條長度為2，構造出兩個直角三角形，再以原點為圓心，兩個直角三角形的斜邊為半徑，分別畫弧，與數(shù)軸的兩個交點，即為所求；直接利用數(shù)軸進行比較，以及利用平方法進行比較兩個數(shù)的大小即可．
【詳解】解：∵，
在數(shù)軸上畫出來表示、的點，如圖所示：
方法一：由數(shù)軸可知：；
方法二：∵，，，
∴．
【點睛】本題考查勾股定理與無理數(shù)，數(shù)軸與實數(shù)，以及比較實數(shù)的大?。炀氄莆绽脴嬙熘苯侨切卧跀?shù)軸上表示無理數(shù)，是解題的關鍵．
20. 如圖，已知△ABC，∠ABC=90°，利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并解決下面的問題．
（1）作AC的垂直平分線，分別交AC、BC于點D、E；
（2）若AB=12，BE=5，求△ABC的面積．
【答案】（1）作圖見解析；（2）78.
【解析】
【分析】（1）利用基本作圖（作線段的垂直平分線）作出DE即可；
（2）先根據(jù)勾股定理計算出AE=13，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得到CE=13，然后根據(jù)三角形面積公式求解．
【詳解】解：（1）如圖，DE為所作；
（2）連結AE，如圖，
在Rt△ABE中，∵BE=5，AB=12，
∴AE==13，
∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC=13，
∴CE=EC+BE=13+5=18，
∴△ABC的面積=?AB?BC=×12×13=78．
【點睛】本題考查作圖—復雜作圖；線段垂直平分線的性質．正確作出輔助線是解題的關鍵.
21. 如圖，在中，是邊上的高，，，．
（1）求的長．
（2）是直角三角形嗎？請說明理由．
【答案】（1）
（2）是，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，求出的長，再利用勾股定理求出的長；
（2）利用，求出的長，再利用勾股定理逆定理進行判定即可．
【小問1詳解】
解：∵是邊上的高，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．
22. 閱讀下面的文字，解答問題．
大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能完全地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，用這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．
請解答下列問題：
(1)求出+2的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
(2)已知：10+=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，請你求出(x﹣y)的相反數(shù)．
【答案】(1)3,-1;(2)-14.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)閱讀材料知，的整數(shù)部分是1，繼而可得+2的整數(shù)部分，然后再去求其小數(shù)部分即可；
(2)找出的整數(shù)部分與小數(shù)部分．然后再來求x-y的相反數(shù)即可．
【詳解】(1)∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的整數(shù)部分是1+2=3，
+2的小數(shù)部分是﹣1；
(2)∵2＜＜3，
∴12＜10+＜13，
∴10+的整數(shù)部分是12，10+的小數(shù)部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=﹣2，
∴x﹣y=12﹣(﹣2)
=12﹣+2
=14﹣，
則x﹣y的相反數(shù)是﹣14．
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的大?。忸}關鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.
23. 已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：BD=AE．

【答案】詳見解析
【解析】
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AC=BC，CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“SAS”證明△ACE和△BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明．
【詳解】證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE．
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴BD=AE．
24. 【生活經(jīng)驗】
如圖，木工師傅在材料的邊角處畫直角時，常用一種“三弧法”．方法是：
①畫線段AB，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C；
②以點C為圓心，仍以①中相同長度為半徑畫弧交AC的延長線于點D；
③連接BD，則∠ABD就是直角；
（1）請你就∠ABD是直角作出合理解釋．
【數(shù)學結論】
由“三弧法”我們判斷一個三角形是直角三角形的新方法；
（2）在一個三角形中，如果，那么這個三角形是直角三角形．
【應用結論】
（3）兩個等腰三角形的腰長相等都為a、頂角互補，底邊長分別為b和c，探究a、b、c之間的數(shù)量關系．
【答案】（1）見解析；（2）一邊上的中線等于這邊的一半；（3）b2+c2＝4a2．
【解析】
【分析】(1)利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理證明即可；
(2)根據(jù)(1）中結論解決問題即可；
(3)利用（1）中結論，結合勾股定理解決問題即可．
【詳解】解：（1）由題意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；
（2）根據(jù)題意和（1）可知：在一個三角形中，如果一邊上中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，
故答案為：一邊上的中線等于這邊的一半；
（3）∵ 這兩個等腰三角形可以拼出一個大三角形且滿足“三弧法”的條件，如已知圖，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根據(jù)勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2．
故答案為：b2+c2＝4a2．
【點睛】本題考查應用與設計作圖，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
25. 某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：
直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最?。?br>解法：如圖1，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．
請利用上述模型解決下列問題：
（1）幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為______；
（2）代數(shù)應用：求代數(shù)式（）的最小值；
（3）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，最小值是______．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）作點E關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為P，且的最小值為，進行求解即可；
（2）構造圖形如圖所示：，，AP=x，于A，于B，則，將代數(shù)式的最小值，轉化為將軍飲馬問題，進行求解即可；
（3）作點關于直線的對稱點，作于，交于，連接，由將軍飲馬模型和垂線段最短，可知：的最小值即為：，進行求解即可．
【小問1詳解】
解：如圖，作點E關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為P，且的最小值為，
作交的延長線于F，交于點D，
∵，，是中點，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案為：；
【小問2詳解】
構造圖形如圖所示：
，，AP=x，于A，于B，
則；
∴代數(shù)式的最小值就是求的值，
作點關于的對稱點，過作交的延長線于E．
則，，
∴；
∴所求代數(shù)式的最小值是5；
【小問3詳解】
如圖：作點關于直線的對稱點，作于，交于，連接，由將軍飲馬模型和垂線段最短，可知：的最小值即為：；
則，，
∴，
∴為等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
即：的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查利用軸對稱解決線段和的最小值問題，等邊三角形的判定和性質，勾股定理．理解并掌握將軍飲馬模型，是解題的關鍵．
26. 如圖，中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，設出發(fā)的時間為秒．
（1）求出斜邊上的高；
（2）當為何值時，是以為腰的等腰三角形？
（3）另有一點，從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，若、兩點同時出發(fā)，當、中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當為何值時，、兩點之間的距離為？
【答案】（1）
（2）或或
（3）1或
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出，等積法求出即可；
（2）分和，兩種情況進行討論求解；
（3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三種情況進行討論求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，，，
∴，
∵，即：，
∴；
【小問2詳解】
解：當是以為腰的等腰三角形時：
①時：如圖：
∵動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，
∴，
∵，
∴，
∴；
②時，
當點在上，如圖：
此時：，；
當點在上，如圖，過點作，則：，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴；
綜上，當為或或時，是以為腰的等腰三角形；
【小問3詳解】
解：由題意，得：點按運動，共需要：；
點按運動，共需要：；
∵當、中有一點到達終點時，另一點也停止運動，
∴、運動的總時間為：；
①在上，在上時：
由題意，得：，
∵ ，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
②當點在上、點在上時，，不合題意；
③當點、都在上，此時：，
點在點的左側時，，
解得：；
點P在點Q的右側時，，
解得：；
∵，
∴不合題意，舍掉；
綜上所述，當t為1或時，P、Q兩點之間的距離為．
【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質．熟練掌握勾股定理，等腰三角形兩腰相等，三線合一，是解題的關鍵．注意，分類討論．

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