一、單選題
1．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)，則（ ）
A．1B．C．1或D．2
3．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則滿足的值為（ ）
A．14B．15C．16D．17
6．“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是棱，的中點，過點作平面，使得∥平面，且平面與交于點，則（ ）

A．B．C．D．
9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
10．已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，以線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
11．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函數(shù)與（且）的圖象只有一個交點，給出四個值：①；②；③；④，則的可能取值為（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空題
13．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為 .
14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{Sn﹣2a1}也為等比數(shù)列，則
15．某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動，將指定的6名學(xué)生隨機分配到3個不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個辦公室至少分配1人，6名學(xué)生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個辦公室的概率為 .
16．已知拋物線的準線與軸交于點，過焦點的直線與交于，兩點，且，，的中點為，過作的垂線交軸于點，點在的準線上的射影為點，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：
①，
②若時，
③
④過的直線與拋物線交于，，則.
其中正確結(jié)論的序號為 .
三、解答題
17．已知某水果種植基地蘋果的種植面積（單位：公頃）與其產(chǎn)量（單位：噸）呈線性相關(guān)關(guān)系，小王準備承包一塊蘋果種植地，為了解市場行情，在該基地調(diào)查了5家果農(nóng)，統(tǒng)計得到了蘋果種植面積與其產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如表所示：
(1)求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)若蘋果的銷量等于產(chǎn)量，且所種蘋果的總利潤（單位：千元）滿足，蘋果種植面積，請根據(jù)（1）的結(jié)果預(yù)測要使得單位面積的蘋果利潤最大，小王應(yīng)該種植多少公頃的蘋果？
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
18．的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長.
19．已知四棱錐，四邊形是直角梯形，，∥，且，是邊長為4的等邊三角形，，分別是，的中點，如圖所示.

(1)求證：平面；
(2)若，當平面與平面所成的二面角為時，求線段的長.
20．已知，分別是橢圓的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點為，且的方程為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若是直線上一點，過點的兩條不同直線分別交于點，和點，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.
21．已知函數(shù)
(1)當時，求的圖象在點處的切線方程；
(2)若，證明：當時，.
22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
(1)判斷曲線與的位置關(guān)系；
(2)已知，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，與交于點，與交于點，，求的面積.
23．已知函數(shù)，且的解集為.
(1)求和的值；
(2)若對恒成立，求的取值范圍.
種植面積/公頃
1
2
3
4
5
產(chǎn)量/噸
20
38
64
78
100
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)題意求集合A，結(jié)合集合間的運算分析求解.
【詳解】由題意可得：，
可得，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故選：A.
2．B
【分析】
根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念列式求解即可.
【詳解】因為，
若復(fù)數(shù)表示純虛數(shù)，則，解得.
故選：B.
3．B
【分析】
先求出的坐標，然后利用數(shù)量積的坐標運算公式求解即可.
【詳解】因為，，所以，
所以.
故選：B.
4．C
【分析】
根據(jù)程序框圖，寫出運行結(jié)果
【詳解】
根據(jù)程序框圖，運行結(jié)果如下：
第1次循環(huán)，，不滿足；
第2次循環(huán)，，不滿足；
第3次循環(huán)，，不滿足；
第49次循環(huán)，，不滿足；
第50次循環(huán)，，滿足；
跳出循環(huán)，輸出.
故選：C.
5．B
【分析】
根據(jù)題意列式求，進而可得，分析其符號即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因為，則，解得，
可得，
且，當時，；當時，；
可知：當或時，；當時，；
若，所以.
故選：B.
6．A
【分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)分析可知函數(shù)為偶函數(shù)，等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，
可知為奇函數(shù)，則，
即，整理得，
因為，可得，
即函數(shù)為偶函數(shù)，等價于，
顯然是的真子集，
所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”充分不必要條件.
故選：A.
7．C
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計算可得.
【詳解】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，
因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，解得，
可知，
所以圓錐的外接球球的表面積.
故選：C.
8．C
【分析】
建系，求平面的法向量，利用空間向量求點M的位置，進而可得結(jié)果.
【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
因為∥平面，可知平面的法向量為，
設(shè)，可得，
可得，解得，
則，可得，
所以.
故選：C.
9．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，建立方程求出的值，然后利用輔助角公式求出的解析式，利用最值性質(zhì)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進行求解即可．
【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，
所以，解得，
所以，
又由，，
所以，
所以的最小值為函數(shù)的最小正周期．
故選：B.
10．C
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，由題意可得，設(shè)，，根據(jù)對稱性可得，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，，整理可得關(guān)于，的齊次方程，再由離心率公式即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，
因為以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點，
所以，圓心為，半徑為，
根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形是矩形，設(shè)，，
可知：，，
則，由可得，
所以，所以，所以.
故選：C.
11．C
【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，
所以， 所以，
令函數(shù)，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
則，
則.
因此，即，
故.
故選：C.
12．B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定其零點個數(shù)判斷①；通過特殊點判斷②；對③④：在，由兩個函數(shù)圖象只有一個交點，則它們與直線相切，設(shè)切點為，利用公切線求出值進行判斷．
【詳解】對于①：令，
則，
令，，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以，
所以單調(diào)遞增，且，，
所以有唯一零點，從而與的圖像只有一個交點，故①正確；
對于②：若，可知和是與的圖像的兩個交點，故②錯誤；
對于③④：因為，因為與互為反函數(shù)，
若兩個函數(shù)圖象只有一個交點,則兩個函數(shù)的圖像都與直線相切，
設(shè)切點為，則，，所以，
且，所以，解得，
所以，故③正確，④錯誤；
故選：B．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：對于③④：分析可知兩個函數(shù)圖象只有一個交點,則兩個函數(shù)的圖像都與直線相切，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解.
13．
【分析】
根據(jù)線性約束條件畫出可行域，再數(shù)形結(jié)合求出目標式子的最大值.
【詳解】因為實數(shù)，滿足約束條件，作出可行域如下所示：
由，解得，即，
令，則，平行直線，
由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距取得最小值，
此時取得最大值，即.
故答案為：
14．
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)數(shù)列{Sn﹣2a1}為等比數(shù)列得到﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2，解得q，再計算得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
對于等比數(shù)列{Sn﹣2a1}，其前三項為：﹣a1，a2﹣a1，a3+a2﹣a1，
則有（﹣a1）（a3+a2﹣a1）＝（a2﹣a1）2，變形可得：﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2，
解可得：q或0（舍），則q，則；
故答案為：．
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)計算，意在考查學(xué)生的計算能力.
15．
【分析】
首先分三種情況討論求出所有的安排方法數(shù)，再求出滿足條件的安排方法，最后由古典概型的概率公式計算可得.
【詳解】將指定的6名學(xué)生隨機分配到3個不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個辦公室至少分配1人，
則有①：兩個辦公室安排人，另外一個辦公室安排人，則有種安排方法；
②三個辦公室安排的人數(shù)為、、，則有種安排方法；
③三個辦公室均安排人，則有種安排方法；
綜上可得一共有種安排方法.
其中甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個辦公室的有種安排方法，
所以恰好甲、乙（僅有兩人）打掃同一個辦公室的概率.
故答案為：
16．③④
【分析】
由點斜式寫出直線方程后直曲聯(lián)立，得到韋達定理可判斷①錯誤；由拋物線的定義結(jié)合韋達定理解方程可判斷②錯誤；過點作軸，由三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式結(jié)合圖像可得③正確；當斜率不存在時，代入拋物線解出兩點坐標，利用向量垂直的充要條件可得；當斜率存在時，直曲聯(lián)立后利用韋達定理表示出后可得.
【詳解】
對①：由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，可得，
，
所以，，，
故①錯誤；
對②：則由拋物線的定義可知，，
因為，即，
由韋達定理可知，解得或（舍），
則，所以，故②錯誤；
對③：過點作軸，垂足為，因為，
所以，
所以，故③正確；
對④：當軸時，所以，
所以，；
當斜率存在且不為零時，設(shè)斜率為，，則直線方程為，
聯(lián)立，消去可得，
，，
，，
代入韋達定理并化簡可得
，
所以，
綜上，過的直線與拋物線交于，，則，故④正確；
故答案為：③④.
【點睛】方法點睛：
（1）求兩根之積時可直曲聯(lián)立，用韋達定理得到橫坐標之積，再代入直線方程可得縱坐標之積；
（2）求拋物線的焦點弦長時可利用拋物線的定義快速求解；
（3）證明兩直線垂直時，可用向量垂直的充分必要條件證明.
17．(1)
(2)10
【分析】
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式分析求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果整理可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
，
，
則，
所以關(guān)于的線性回歸方程為.
（2）由題意可知：單位面積的蘋果利潤為，
因為，
可知當，即時，單位面積的蘋果利潤取到最大值181千元/公頃，
所以小王應(yīng)該種植10公頃的蘋果.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合正弦的和角公式計算即可；
（2）利用余弦定理結(jié)合三角形面積公式化簡計算即可.
【詳解】（1）因為，
所以由正弦定理可得.
又，所以.
因為，所以；
（2）的面積，則.
由余弦定理：，
得，
所以，
故的周長為.
19．(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）連接，根據(jù)三角形中位線結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；
（2）由題意可得平面，取的中點為，建系，利用空間向量解決面面夾角問題.
【詳解】（1）連接，
因為，分別是，的中點，則∥，
且平面，平面，
所以∥平面.
（2）由題意可知：，，，平面，
可知平面，
取的中點為，連接，可知，
以為坐標原點，分別為軸所在直線，過平行于的直線為軸所在直線，建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
由題意可知：平面的法向量為，
則，解得，
所以線段的長為2.
20．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)直線可得的坐標，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解；
（2）設(shè)點，直線DE的方程為：，直線MN的方程為： ，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理求，結(jié)合題意分析證明.
【詳解】（1）因為的方程為，可知，
可知，所以橢圓的標準方程為.
（2）由可得，

因為點P在直線上，可設(shè)點，
由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在．
所以直線DE的方程為：，即，
直線MN的方程為：，即，
設(shè)，，，，
所以，消去y可得，
整理可得，
且，則，，
又因為，，
則
，
同理可得，
又因為，則，
可知，則，整理可得，
又因為，則，
所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0．
【點睛】
方法點睛：求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明；
方法一：令，，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得的單調(diào)性和最小值，加和可得結(jié)論；
方法二：令，將放縮為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值，進而確定，從而得到，進而得到結(jié)論.
【詳解】（1）當時，，，
，又，
在點處的切線方程為：.
（2）當，時，，
方法一：要證，只需證，
即證；
令，則，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
在上單調(diào)遞增，；
令，則，
令，則，在上單調(diào)遞增，
，在上單調(diào)遞增，；
，即，
當，時，.
方法二：要證，只需證，
令，則，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
在上單調(diào)遞增，，即，
當，時，.
22．(1)相離
(2)
【分析】
（1）將曲線、化為普通方程，結(jié)合點到直線的距離公式判斷直線與圓的位置關(guān)系；
（2）將曲線、化為極坐標方程，結(jié)合極坐標的定義分析求解.
【詳解】（1）對于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
消去參數(shù)可得曲線普通方程為，
對于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
消去參數(shù)可得曲線普通方程為，表示圓心為，半徑，
可知圓心到曲線的距離，
所以曲線與的位置關(guān)系為相離.
（2）因為，
將曲線化為極坐標方程為，
曲線化為極坐標方程為，

聯(lián)立方程，解得，即，
聯(lián)立方程，解得，即，
又因為，可得，
所以的面積.
23．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意分、和三種情況，結(jié)合絕對值不等式解法分析求解；
（2）由題意可得，根據(jù)恒成立問題結(jié)合絕對值的三角不等式分析求解.
【詳解】（1）由題意可得，
若，不等式無解，不合題意；
若，不等式解集為，不合題意；
若，解得，即不等式解集為，
則，解得；
綜上所述：.
（2）由（1）可知：，
可得，則，
因為，
當且僅當時，等號成立，
可得，所以的取值范圍為.

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