一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．1D．
3．已知，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．30D．32
5．從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：
為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．3B．2或C．3或D．2
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
9．已知甲同學(xué)從學(xué)校的2個科技類社團(tuán)，4個藝術(shù)類社團(tuán)，3個體育類社團(tuán)中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團(tuán)，則在僅有一個是藝術(shù)類社團(tuán)的條件下，另一個是體育類社團(tuán)的概率（ ）
A．B．C．D．
10．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．4C．D．6
11．在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說法
①不存在點(diǎn)，使得平面
②存在點(diǎn)，使得平面
③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有平面
④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有平面
其中正確的說法有（ ）
A．①③B．③④C．②③D．①④
12．橢圓曲線是代數(shù)幾何中一類重要的研究對象，關(guān)于橢圓曲線：，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線過點(diǎn)
B．曲線關(guān)于點(diǎn)對稱
C．曲線關(guān)于直線對稱
D．若曲線上存在位于軸左側(cè)的點(diǎn)，則
二、填空題
13．若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，則 .
14．已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為 .
15．已知，若為偶函數(shù)，則 ．
16．已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則 .
三、解答題
17．某校為舉辦甲?乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一?方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立.
(1)分別估計該校男生支持方案一的概率?該校女生支持方案一的概率；
(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率.
18．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
19．如圖所示的五面體中，平面平面，四邊形為正方形，，，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
20．已知橢圓與橢圓有相同的離心率，橢圓焦點(diǎn)在y軸上且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于干P，Q，直線AP?AQ與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為點(diǎn)M和N，若與的面積分別為和，求取值范圍.
21．已知函數(shù).
(1)若有且僅有一個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍：
(2)證明：.
22．在直角坐標(biāo)系中，已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，，求的面積.
23．設(shè)函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)a，b是兩個正實數(shù)，若函數(shù)的最小值為m，且．證明：．
0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
參考答案：
1．A
【分析】
先求出集合中元素范圍，再求交集即可.
【詳解】,，
因為，
所以.
故選：A.
2．B
【分析】
先求出復(fù)數(shù)，再求.
【詳解】由，得，即，
所以，
故選：B
3．C
【分析】
應(yīng)用，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可.
【詳解】由，則，
得
即，解得，
因為，
所以與的夾角為.
故選：C
4．D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
5．C
【分析】
作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.
【詳解】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點(diǎn).
A選項：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；
B選項：函數(shù)的單位增長率恒定不變，故B錯誤；
C選項：滿足上述三點(diǎn)，故C正確；
D選項：函數(shù)在處無意義，D錯誤.
故選：C
6．C
【分析】根據(jù)遞推公式計算即可.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
，
，
，
所以或，
故選：C.
7．A
【分析】
根據(jù)，結(jié)合二倍角公式和誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】因為，則，
所以，
故選：A.
8．B
【分析】
根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義分析判斷即得.
【詳解】，取，此時，而，
反之，若，則，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
9．A
【分析】設(shè)事件為“僅有一個是藝術(shù)類社團(tuán)”，事件為“另一個是體育類社團(tuán)的概率”，利用條件概率公式可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)事件為“僅有一個是藝術(shù)類社團(tuán)”，事件為“另一個是體育類社團(tuán)的概率”，
則，，
.
故選：A.
10．C
【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式求出最小值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，
過的斜率為0的直線為，直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，
與條件矛盾，故直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
方程的判別式，
設(shè)，則，，所以，
由拋物線的性質(zhì)得，
.
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故選：C.
11．B
【分析】
對于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對于②，若平面，則，建系利用向量運(yùn)算即可判斷；對于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識判斷即可.
【詳解】對于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，由，
而平面，平面，得平面，故①錯誤；
對于②，若存在點(diǎn)，使得平面，則，
又，可得，
以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，，，
則，，，，
則，，
，，
所以，這與矛盾，故②錯誤；
對于③，當(dāng)不是的中點(diǎn)時，
由，且面，面，可知面，
又直線為面與面的交線，則，
又面，面，從而可得面，故③正確；
對于④，由③可知，又平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，所以平面，故④正確.
綜上，③④正確.
故選：B.
12．D
【分析】
代入驗證判斷A；設(shè)一組對稱點(diǎn)代入檢驗判斷B、C；選項D結(jié)合函數(shù)值域分析即可求解.
【詳解】把代入，可得，故A錯；
設(shè)曲線上任一點(diǎn)，則 ①
而點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)，
如果曲線關(guān)于，則也應(yīng)在曲線上，
則 ②
聯(lián)立①②得，，方程無解，
所以P和這樣的對稱點(diǎn)不存在，即不是該橢圓曲線的對稱點(diǎn)，故B錯誤；
設(shè)曲線上任一點(diǎn)，則 ③，
而點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，
如果曲線關(guān)于對稱，則也應(yīng)在曲線上，
則 ④，
聯(lián)立③④得，，解得，
此時P和重合，即曲線不是橢圓而是直線，不符合題意，故C錯；
由原方程得：，
若曲線上存在位于軸左側(cè)的點(diǎn)，即當(dāng)時，有點(diǎn)在曲線上，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；且，
所以此時，此時沒有y能使成立；
當(dāng)時，令，所以，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；
所以只需的極大值非負(fù)，即可使曲線上存在位于y軸左側(cè)的點(diǎn)，
即，
所以
所以，
所以，得，即，故D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)曲線涉及到對稱時，可設(shè)出對稱點(diǎn)代入方程進(jìn)行驗證；涉及到取值范圍，需要結(jié)合函數(shù)求出其取值范圍綜合分析.
13．
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】
由題意得，
由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，
可得，得，
故答案為：-2
14．
【分析】
由條件可得，然后直接計算離心率即可.
【詳解】
設(shè)的半焦距為，由題意知，
所以，
故答案為：.
15．/0.5
【分析】
為偶函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求出的值，再由，求的值.
【詳解】
函數(shù)有意義，則，，
解得或，所以函數(shù)定義域為，
因為為偶函數(shù)，則有，解得，
所以，，
由，有，
則有，所以.
故答案為：
16．
【分析】根據(jù)給定條件，求出球O半徑，平面截球O所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計算作答.
【詳解】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，
得平面截球所得小圓半徑，因此，
由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，
點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，
，顯然，于是，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及平面截球所得截面，利用截面小圓的性質(zhì)，可從線面垂直關(guān)系求解，也可借助勾股定理建立數(shù)量關(guān)系求解.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分別求出男生支持方案一和女生支持方案一的頻率，然后利用頻率來衡量概率可求得結(jié)果，
（2）分兩種情況，①僅有兩個男生支持方案一，②僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，求出各自的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果
【詳解】（1）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（2）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，①僅有兩個男生支持方案一，②僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：；
18．（1）（2）
【詳解】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對大角進(jìn)行判斷.（4）在三角形中，注意這個隱含條件的使用.
試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. 5分
（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化簡得cs α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝ . 12分
考點(diǎn)：（1）在三角形中正余弦定理的應(yīng)用.（2）求角的三角函數(shù).
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題意可得，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由余弦定理求出，即可得到，從而得證；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可得到平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；
【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因為平面，所以.
在中，因為，故，不妨設(shè)，
所以由余弦定理，得，則，
所以，所以，
又，平面，所以平面.
（2）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為；
20．(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓確定離心率，設(shè)出其方程，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得，即可求得答案；
（2）設(shè)，利用橢圓方程推出，從而設(shè)的方程，聯(lián)立橢圓方程，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，從而可求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求解答案.
【詳解】（1）
由題意知橢圓的離心率為，故橢圓的離心率也為，
設(shè)橢圓的方程為，則，
即，將代入得，
則橢圓的方程為；
（2）由于A為橢圓的上頂點(diǎn)，故，

不妨設(shè)P在第一象限以及x軸正半軸上，，則，則，
故，
由題意知直線AP存在斜率，設(shè)其方程為，
則AQ的直線方程為，
聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，
解得，即；
聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，
解得，即；
故，同理可求得，
所以，
設(shè)，則，
而，
由于，故在時單調(diào)遞減，
即，
故，即.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的參數(shù)的取值范圍問題，難點(diǎn)在于的取值范圍的求解，解答時要利用聯(lián)立直線和橢圓方程求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解答案，計算過程比較復(fù)雜，計算量較大.
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）將題目轉(zhuǎn)化為有一個解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，思路1：討論判斷判別式判斷單調(diào)性，確定零點(diǎn)個數(shù)；思路2：根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論和兩種情況，判單調(diào)性求解；
（2）利用（1）取得不等式，再賦值證明即可.
【詳解】（1）
易知函數(shù)的定義域為.
由，可得.
設(shè)，則，
，且與有相同的零點(diǎn)個數(shù).
思路1：令，，則.
當(dāng)時，，則，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，顯然，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，由，解得，，且.
當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減.
不難得知，
，
（令，故在單調(diào)遞減，
故，即，），
則在有一個零點(diǎn)，可知不只一個零點(diǎn)，不合題意.
綜上，可知.
思路2：令，.
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，有，即，
可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，.
若，則，可得在單調(diào)遞減，
則有且僅有一個零點(diǎn).
若，存在，且，使得.后續(xù)過程同思路1.
綜上，可知
（2）
取，當(dāng)時，，有，
即，則.
令，，則，即，
從而
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn),解決第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)論賦值得不等關(guān)系，從而進(jìn)行求和證明.
22．(1)；
(2).
【分析】
（1）消去參數(shù)得到的直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而利用，得到極坐標(biāo)方程；
（2）將代入的極坐標(biāo)方程中，得到，利用點(diǎn)到直線距離公式求出三角形的高，得到三角形面積.
【詳解】（1）
因為圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
則其直角坐標(biāo)方程為，
即.
因為，，
故的極坐標(biāo)方程為，即.
（2）
因為的極坐標(biāo)方程為，代入的極坐標(biāo)方程中，
得，即，
曲線：，化為直角坐標(biāo)方程為，
圓心到直線：的距離，
則的高為2，
則的面積為.
23．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先去掉絕對值，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再求解不等式的解集；
（2）利用第一問的分段函數(shù)得到函數(shù)圖象，求出函數(shù)的最小值，也就是的值，再用柯西不等式進(jìn)行證明．
【詳解】（1）解：由已知得：，
又，所以或或，
解得或或
綜上，不等式的解集為；
（2）解：由（1）可知，所以的函數(shù)圖象如下所示：
所以當(dāng)時取值最小值，所以，
即，又、，
由柯西不等式：，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

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2022年寧夏吳忠市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（含答案解析）

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