1．下列計算不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估計的值應(yīng)在（ ）
A．到之間B．到之間C．到之間D．到之間
3．已知，如圖長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則的面積為（ ）

A．3B．4C．6D．12
4．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（ ）

A．B．C．D．
5．如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，為的高，則的長為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，，平行四邊形的周長為，則平行四邊形的面積是（ ）

A．B．C．D．
7．已知中，a、b、c分別是、、的對邊，下列條件不能判斷是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在平行四邊形中，，于點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
9．四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時，的面積為（ ）
A．B．C．或D．15
10．如圖，，是上異于、的一點(diǎn)，則的值是（ ）

A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．已知，則的值為 ．
12．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實數(shù)為 ．

13．計算： ．
14．如圖，在，，分別以三邊為直徑向上作三個半圓．若，，則陰影部分圖形的面積為 ．
15．在的網(wǎng)格中，有、、三個格點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是 .
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．計算：
(1)；
(2)．
17．如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經(jīng)測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離．
(2)求這張紙片的面積．
18．2022年第3號臺風(fēng)“退芭”于7月2日15時前后在廣東電白登陸，給當(dāng)?shù)卦斐闪司薮髶p失．如圖，一棵垂直于地面且高度為16米的“風(fēng)景樹”被臺風(fēng)折斷，樹頂A落在離樹底部C的8米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．
19．如圖，四邊形是平行四邊形，E，F(xiàn)是對角線的三等分點(diǎn)，連接，證明：．
20．若實數(shù)a，b，c滿足．
(1)求a，b，c；
(2)若滿足上式的a，b為等腰三角形的兩邊，求這個等腰三角形的周長．
21．如圖，已知等腰中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．
（1）求的長；
（2）求中邊上的高．
22．如圖，數(shù)軸上與、對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B，且點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C．設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，求：
(1)x的值；
(2)的值．
23．我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是（9﹣1），（9＋1）；勾是五時，股和弦的算式分別是（25﹣1），（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；
(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；
(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．
參考答案與解析
1．D
【分析】本題考查的是二次根式的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的加減，二次根式的乘除運(yùn)算，逐項判斷即可求解，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【解答】解：A、，故A正確，不符合題意；
B、，故B正確，不符合題意；
C、，故C正確，不符合題意；
D、，故D不正確，符合題意，
故選：D．
2．B
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，先利用二次根式的運(yùn)算法則將原式化簡，再利用夾逼法對無理數(shù)進(jìn)行估算即可求解，掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵．
【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即，
故選：．
3．C
【分析】本題考查了折疊問題，三角形的面積，勾股定理等，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，然后在中利用勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．
【解答】解：∵長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴的面積為．
故選：C．
4．D
【分析】
本題考查了二次根式的性質(zhì)、化簡絕對值、數(shù)軸，正確掌握相關(guān)的性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)數(shù)軸判斷a、b、、與0的大小關(guān)系，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】由數(shù)軸知，，且
，，
，
，
，
．
故選：D
5．D
【分析】
本題考查了割補(bǔ)法求三角形的面積和等面積法，以及勾股定理，根據(jù)題意利用割補(bǔ)法求得的面積，利用勾股定理算出的長，再利用等面積法即可求得的長．
【解答】解：由題可得：
，
，
，
解得：，
故選：D．
6．D
【分析】
已知平行四邊形的高、，設(shè)，則，根據(jù)“等面積法”列方程，求，從而求出平行四邊形的面積．
【解答】解：∵平行四邊形的周長為，
則設(shè)，則，
∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
根據(jù)“等面積法”得，
即，解得，
∴平行四邊形的面積，
故選：D．
【點(diǎn)撥】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：平行四邊形一組鄰邊之和為平行四邊形周長的一半，平行四邊形的面積底高，可用兩種方法表示．
7．C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，根據(jù)有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理判定直角三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和等于度求出三角形內(nèi)角的度數(shù)，即可判定A、C；根據(jù)勾股定理的逆定理判定B、D，即可得出答案．
【解答】解：A、，則，則是直角三角形，故此選項不符合題意；
B、，可得，則是直角三角形，故此選項不符合題意；
C、，則，，
∴，
∴，
∴則不是直角三角形，故此選項符合題意；
D、，設(shè)，則，，則，即，
根據(jù)勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此選項不符合題意；
故選：C．
8．A
【分析】
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．證明，，由，可得，結(jié)合，可得．
【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選A
9．B
【分析】
本題主要考查了等腰三角形，勾股定理．根據(jù)等腰三角形的定義分兩種情況，結(jié)合勾股定理，即可求解．
【解答】
解：當(dāng)時，
過A作，交于點(diǎn)E，
∵，
∴，
由勾股定理， ，
∴，
當(dāng)時，
∵不滿足小于，
∴此種情況不存在，
故選：B．
10．A
【分析】本題考查勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的三線合一，平方差公式，運(yùn)用了恒等變換的思想．過點(diǎn)作于，在與中，運(yùn)用勾股定理可表示出，，根據(jù)，，運(yùn)用三線合一以及線段之間的轉(zhuǎn)化可得．解題的關(guān)鍵是通過作輔助線并利用等腰三角形的三線合一解決問題．
【解答】解：過點(diǎn)作于，
∴與都為直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴的值是．
故選：A．

11．
【分析】
由已知條件先求解，，結(jié)合，再代入求值即可．
【解答】解：∵，，
∴，，
∴


；
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查的是利用完全平方公式的變形求值，二次根式的加減乘法運(yùn)算，求解代數(shù)式的值，掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．
12．
【分析】先根據(jù)勾股定理求出圓弧半徑，再用減去半徑即可得到答案．
【解答】
解：由勾股定理得，
圓弧半徑為，
則點(diǎn)A表示的實數(shù)為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理得出圓弧半徑的長是解題關(guān)鍵．
13．
【分析】
本題考查了分母有理化．根據(jù)分母有理化的法則計算即可求解．
【解答】解：
．
故答案為：．
14．
【分析】
本題考查求不規(guī)則圖形面積，涉及圓的面積、勾股定理等知識，根據(jù)題中圖形，間接表示出不規(guī)則圖形面積沒利用三角形面積公式及圓的面積公式代值求解即可得到答案，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．
【解答】解：在，，，，
，
，
故答案為：．
15．或或
【分析】
本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，也考查了三角形直角三角形的性質(zhì)，利用三角形直角三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)C的位置即可．
【解答】解：由題意得：當(dāng)是直角三角形時，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是或或，
故答案為：或或
16．(1)
(2)
【分析】
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．
（1）先把二次根式化為最簡二次根式，并運(yùn)算平方差公式計算，再合并同類二次根式即可；
（2）先把二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，然后合并同類二次根式即可．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)A、C兩點(diǎn)之間的距離為15cm；
(2)114（cm2）
【分析】（1）由勾股定理可直接求得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理證得∠ACD=90°，由于四邊形紙片ABCD的面積=S△ABC+S△ACD，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．
【解答】（1）解：連接AC，如圖．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C兩點(diǎn)之間的距離為15cm；
（2）解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD
=AB?BCAC?CD
=9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，熟記定理是解題的關(guān)鍵．
18．這棵樹在離地面米處被折斷
【分析】
本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖示知大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，標(biāo)注相應(yīng)點(diǎn)后，則有；利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由題意得：，，則，
在中，
，
，
，
答：這棵樹在離地面米處被折斷．
19．證明見解析
【分析】
只需要利用證明即可證明.
【解答】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵E，F(xiàn)是對角線的三等分點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【點(diǎn)撥】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對邊平行且相等是解題的關(guān)鍵.
20．(1)a=，b=2，c=3；
(2)等腰三角形的周長為2+2或+4．
【分析】（1）首先由得出c=0，再進(jìn)一步得出a、b的數(shù)值即可；
（2）分a是腰長與b是底邊和b是腰長與a是底邊兩種情況討論求解．
【解答】（1）解：由題意得c-3≥0，3-c≥0，
則c=3，|a-|+=0，
則a-=0，b-2=0，
所以a=，b=2；
（2）解：當(dāng)a是腰長與b是底邊，
∵+>2，
∴等腰三角形的周長為++2=2+2；
當(dāng)b是腰長與a是底邊，
∵+2>2，
∴等腰三角形的周長為+2+2=+4．
綜上，等腰三角形的周長為2+2或+4．
【點(diǎn)撥】此題考查二次根式的意義與加減運(yùn)算，以及等腰三角形的性質(zhì)．利用二次根式有意義的條件得出c的值是解題關(guān)鍵．
21．（1）AD=cm；（2）cm
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出∠ADC=90°，再根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE=10cm，根據(jù)勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC=20cm，且CD=16cm，BD=12cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
設(shè)AD=x cm，則AC=AB=(x+12)cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+162=(x+12)2，
解得：x=，
即AD=cm；
（2）AB=AC=+12=（cm），
過A作AE⊥BC于E，則AE是△ABC的高，
∵AB=AC，BC=20cm，
∴BE=CE=10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=（cm），
即△ABC中BC邊上的高是cm．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°是解此題的關(guān)鍵．
22．(1)
(2)40
【分析】
本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的計算，利用中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵．
（1）先結(jié)合數(shù)軸利用已知條件求出線段的長度，然后根據(jù)B，C兩點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對稱即可解決問題；
（2）將（1）中所求的x的值代入，然后根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的順序計算即可．
【解答】（1）∵數(shù)軸上與、對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）
，
，
．
23．(1)（49﹣1），（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，證明過程詳見解析
(3)m，
【分析】（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運(yùn)用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗證；
（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1．
【解答】（1）解：由題意得勾是七時，股和弦的算式分別是：（49﹣1），（49＋1）；
（2）當(dāng)n≥3，且n為奇數(shù)時，勾、股、弦分別為：n，，
它們之間的關(guān)系為：（?。┫药伖桑?，（ⅱ）．
如證明（?。合药伖桑剑?br>如證明（ⅱ）：；
（3）當(dāng)m＞4，且m為偶數(shù)時，勾、股、弦分別為：m，．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及規(guī)律的探索，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．

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