1.我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出π的近似值為355113，它與π的誤差小于0.0000003.將0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為( )
A. 0.3×10?6B. 3×10?6C. 3×10?7D. 3×107
2.下列三個分式12x2，5x?14(m?n)，3x的最簡公分母是(
A. 4x(m?n)B. 2x2(m?n)C. 14x2(m?n)D. 4x2(m?n)
3.下列式子中，是最簡二次根式的是( )
A. 12B. 5 3C. 8aD. 0.3
4.若a2=b3≠0，則a+ba?2b的值是( )
A. 45B. ?45C. 54D. ?54
5.化簡： 54× 12+ 12的結(jié)果是( )
A. 5 2B. 6 3C. 3D. 5 3
6.如圖，點C所表示的數(shù)是( )
A. 5B. ? 3C. 1? 5D. ? 5
7.若 (x?3)2=3?x成立，則x滿足得條件( )
A. x≥3B. x≤3C. x>3D. xb，則a2>b2；②若a≠2，則(a?2)0=1；③兩個全等的三角形的面積相等；④三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.上述命題的逆命題為真命題的個數(shù)是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.若關(guān)于x的分式方程xx?1+1=m1?x的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是( )
A. m≤1且m≠?1B. m≥?1且m≠1
C. m?1且m≠1
10.已知xx2+1=13，則x2x4+x2+1的值是( )
A. 18B. 8C. 16D. 6
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3a2?18=______.
12.已知5x=3，5y=2，則52x?3y=______.
13.若 x+1x?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______.
14.若2m?n=3，則4?4m+2n=______.
15.如圖，小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端6m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處2m，則旗桿的高度為______m.
16.“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，在如圖所示的弦圖中，大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的.若AB= 5，∠CED=∠CDE，則△CDE的面積為______.
三、解答題：本題共8小題，共67分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題5分)
計算：(?13)?2+ ( 2?2)2+ 8?(π?2024)0.
18.(本小題6分)
先化簡，再求值：(1+4x?3)÷x2+2x+12x?6，其中x= 2?2.
19.(本小題6分)
如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．
20.(本小題7分)
已知：x= 3?1 3+1，y= 3+1 3?1.
(1)求x+y的值.
(2)求xy+yx+2的值.
21.(本小題7分)
如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=120米，此時有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時周圍100米以內(nèi)有噪音影響.
(1)學(xué)校是否會受到影響？請說明理由.
(2)如果受到影響，則影響時間是多長？
22.(本小題8分)
有兩款售價相同的汽車，信息如下表所示：
(1)新能源車的每千米行駛費用是______元；(用含a的代數(shù)式表示)
(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.52元.
①分別求出這兩款車的每千米行駛費用；
②若燃油車和新能源車每年的其他費用分別為4600元和7200元，則每年行駛里程在什么范圍時，新能源車的年費用更低？(年費用=年行駛費用+年其它費用)
23.(本小題8分)
如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CB于點E，AD=3，BD=163，CD=4.
(1)求證：∠ACB=90°；
(2)求點E到AB邊的距離.
24.(本小題20分)
壓軸題
(1)已知x，y，z為△ABC的三邊長，且有( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz).試判斷△ABC的形狀并加以證明.
(2)已知x，y滿足xy+3y?x?10=0，且x，y都是整數(shù)，求x的值.
(3)在平面直角坐標系中，已知點A(0,3)，B(?4,0)，在y軸上求一點C，使得△ABC是等腰三角形，求C點的坐標.(畫圖，在圖上標出坐標)
(4)如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=3 2，BC=1，在AD、CD上分別找一點E、F，使得△BEF的周長最小，求△BEF周長的最小值.
(5)我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數(shù)，則稱M與N互為“對消多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”.如M=2x2?x+6與N=?2x2+x?1互為“對消多項式”，它們的“對消值”為5.已知關(guān)于x的多項式C=mx2+8x+2與D=?m(x+1)(x+n)互為“對消多項式”，“對消值”為t.若a?b=m，b?c=mn，求代數(shù)式a2+b2+c2?ab?ac?bc+2t的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10?7.
故選：C.
用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n(1≤|a|b2，則a可能大于b，也可能小于b，故①不符合題意；
②若(a?2)0=1，則a≠2，正確，故②符合題意；
③面積相等的三角形不一定全等，故③不符合題意；
④全等三角形的對應(yīng)邊相等，正確，故④符合題意．
∴上述命題的逆命題為真命題的個數(shù)是2個．
故選：C.
由零指數(shù)冪成立的條件，全等三角形的判定和性質(zhì)，實數(shù)的大小比較方法，即可判斷．
本題考查命題與定理，零指數(shù)冪，全等三角形的判定和性質(zhì)，實數(shù)的大小比較，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】A
【解析】解：xx?1+1=m1?x，
兩邊同乘(x?1)，去分母得：x+x?1=?m，
移項，合并同類項得：2x=1?m，
系數(shù)化為1得：x=1?m2，
∵原分式方程的解為非負數(shù)，
∴1?m2≥0，且1?m2≠1
解得：m≤1且m≠?1，
故選：A.
解含參的分式方程，然后結(jié)合已知條件及分式有意義的條件列得不等式并計算即可．
本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合已知條件解含參分式方程求得x=1?m2是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】A
【解析】解：∵xx2+1=13，
∴x2+1=3x，
即x2?3x+1=0，
∴x≠0，
∴方程兩邊都除以x得，x?3+1x=0，
即x+1x=3，
∴x4+x2+1x2
=x2+1+1x2
=(x+1x)2?2+1
=32?2+1
=8，
∴x2x4+x2+1=18，
故選：A.
先把已知條件變形為x+1x=3，再求x4+x2+1x2的值，然后求其倒數(shù)即可．
本題考查了分式的值，熟練掌握分式的值的求法是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】3(a+ 6)(a? 6)
【解析】解：3a2?18
=3(a2?6)
=3(a+ 6)(a? 6).
故答案為：3(a+ 6)(a? 6).
首先提取公因式3，進而利用平方差公式進行分解即可．
此題主要考查了實屬范圍內(nèi)分解因式，熟練利用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．
12.【答案】98
【解析】解：∵5x=3，5y=2，
∴52x?3y
=(5x)2÷(5y)3
=32÷23
=9÷8
=98.
根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方及積的乘方法則進行計算即可．
本題考查的是同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方及積的乘方法則，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．
13.【答案】x≥?1且x≠1
【解析】解：由題意，得
x+1≥0且x?1≠0，
解得x≥?1且x≠1，
故答案為：x≥?1且x≠1..
根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不能為零，可得答案．
本題考查了二次根式和分式有意義的條件，利用被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不能為零得出不等式組是解題關(guān)鍵．
14.【答案】?2
【解析】解：∵2m?n=3，
∴4?4m+2n
=4?2(2m?n)
=4?2×3
=?2，
故答案為：?2.
把代數(shù)式4?4m+2n變形為4?2(2m?n)，然后整體代入求值即可．
本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握整體代入思想求值是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】8
【解析】解：設(shè)旗桿的高為x米，則繩子長為(x+2)米，
由勾股定理得，(x+2)2=x2+62，
解得x=8.
答：旗桿的高度是8米
故答案為：8
根據(jù)旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)出旗桿的高度，再利用勾股定理解答即可．
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．
16.【答案】32
【解析】解：如圖，∵∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵∠CFE=∠CGD=90°，DG=CF，
∴Rt△CEF≌Rt△DCG(HL)，
∴EF=CG，
∴AE=EH=EF=BF=CG=FG，
∵AB2=AE2+BE2=AE2+(2AE)2=( 5)2，
∴AE=1，BE=2，
∴EH=DH=1，
∴DE= 2，
連接CH交DE于M，
∴CH垂直平分DE，
∴DM=12DE= 22，∠CMD=90°，
∴CM= CD2?DM2=3 22，
∴△CDE的面積為12DE?CM=12× 2×3 22=32，
故答案為：32.
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=CG，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，正方形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：(?13)?2+ ( 2?2)2+ 8?(π?2024)0
=9+2? 2+2 2?1
=10+ 2.
【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】解：原式=x?3+4x?3?2(x?3)(x+1)2
=x+1x?3?2(x?3)(x+1)2
=2x+1，
當(dāng)x= 2?2時，原式=2 2?2+1=2 2?1=2( 2+1)=2 2+2.
【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：∵AB=3，BD=2，
∴AD= AB2?BD2= 32?22= 5，
又∵∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= ( 5)2+12= 6，
∴AC的值是 6.
【解析】首先在Rt△ABD中，根據(jù)AB=3，BD=2，應(yīng)用勾股定理，求出AD的長度是多少；然后在Rt△ACD中，根據(jù)AD、CD的長度，應(yīng)用勾股定理，求出AC的值是多少即可．
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
20.【答案】解：(1)∵x= 3?1 3+1=( 3?1)22=2? 3，y= 3+1 3?1=( 3+1)22=2+ 3，
∴x+y=2? 3+2+ 3=4；
(2)∵x+y=4，xy=(2+ 3)(2? 3)=1，
∴原式=x2+y2+2xyxy=(x+y)2xy=421=16.
【解析】(1)先分母有理化得到x=2? 3，y=2+ 3，然后計算它們的和即可；
(2)先計算出xy=1，再通分得到原式=(x+y)2xy，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．
21.【答案】解：(1)學(xué)校會受到噪音影響，理由如下：
如圖，過點A作AB⊥MN于點B，
∵AP=120米，∠QPN=30°，
∴AB=12AP=12×120=60(米)，
∵60米0.08x+7200，
解得：x>5000，
答：每年行駛里程超過5000千米時，使用新能源車的年費用更低．
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，每千米行駛費用=電池電量×電價÷續(xù)航里程即可求解；
(2)①由題意可得，由燃油車的每千米行駛費用-新能源車每千米行駛費用=0.52即可求解；
②設(shè)每年行駛里程為x千米，新能源車的年費用更低，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的不等式，求解即可．
本題主要考查分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．
23.【答案】(1)證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AD=3,BD=163,CD=4，
∴AC= AD2+CD2=5，BC= CD2+BD2=203，
∵AB2=(AD+BD)2=6259，
∴AC2+BC2=25+4009=6259=AB2，
∴∠ACB=90°；
(2)解：過點E作EF⊥AB，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EF，
∵S△ABC=12×AC×CE+12×AB×EF=12×AC×BC，
∴5×EF+253×EF=5×203，
解得：EF=52，
即點E到AB的距離為52.
【解析】(1)根據(jù)勾股定理求出AC，BC，再求出AB2，根據(jù)AC2+BC2=AB2，即可證明結(jié)論；
(2)過點E作EF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EF，利用兩種方法表示出△ABC的面積，得到方程，即可求出EF.
本題考查了勾股定理及其逆定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理的逆定理證明直角三角形．
24.【答案】解：(1)∵( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz).
∴x+y+z+2 xy+2 xz+2 yz=3 xy+3 yz+3 xz，
∴x+y+z? xy? xz? yz=0，
∴2x+2y+2z?2 xy?2 xz?2 yz=0，
∴( x? y)2+( x? z)2?( y? z)2=0，
∴ x? y=0， x? z=0， y? z=0，
∴x=y，x=z，y=z，
∴x=y=z，
∴△ABC是等邊三角形；
(2)∵xy+3y?x?10=0，
∴y=x+10x+3=1+7x+3，
∵x，y是整數(shù)，
∴x=?2或10或4或?4；
(3)如圖，
∵A(0,3)，B(?4,0)，
∴AB=5，
設(shè)C(0,a)，
①當(dāng)AB=AC=5時，a=8或?2，
∴C(0,8)或(0,?2)；
②當(dāng)AB=BC=5時，OA=OC，
∴C(0,?3)；
③當(dāng)AC=BC時，點C在AB的垂直平分線上，過點C作CD⊥AB，
∴AD=BD=52，
∴∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△ADC，
∴ACAB=ADAO，即AC5=523，
解得AC=256，
∴OC=256?3=76，
∴a=?76
∴C(0,?76)；
綜上所述，點C的坐標為(0,8)或(0,?2)或(0,?3)或(0,?76)；
(4)分別作點B關(guān)于AD，CD的對稱點M，N，連接MN交AD，CD于點E，F(xiàn)連接BE，BF，
此時△BEF的周長最小，最小值為MN，延長AB，過點M作MH⊥AB，
∵AB=3 2，BC=1，
∴BM=2，BN=6 2，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBM=45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BH=HM= 2，
∴HN=7 2，
在Rt△HMN中，MN= HN2+HM2=10，
∴△BEF周長的最小值為10；
(5)∵C=mx2+8x+2和D=?m(x+1)(x+n)=?mx2?(mn+m)x?mn；
∴C+D=(8?mn?m)x+(2?mn)，
∵C與D互為“對消多項式”且“對消值”為t，
∴8?mn?m=0，t=2?mn，
∴mn+m=8，mn=8?m，
∵a?b=m，b?c=mn，
∴a?c=(a?b)+(b?c)=m+mn=8，
∴a2+b2+c2?ab?bc?ac+2t
=12[(a?b)2+(b?c)2+(a?c)2]+2t，
，=12[m2+(mn)2+82]+2(2?mn)，
=12[m2+(8?m)2+8]+2(2?8+m)，
=m2?6m+52，
=(m?3)2+43≥43.
答：代數(shù)式a2+b2+c2?ab?bc?ac+2t的最小值是43.
【解析】(1)對式子進行變形，得出x=y=z即可解答；
(2)先用含x的式子表示y，再分類討論即可解答；
(3)根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；
(4)分別作點B關(guān)于AD，CD的對稱點M，N，連接MN交AD，CD于點E，F(xiàn)連接BE，BF，此時△BEF的周長最小，延長AB，過點M作MH⊥AB，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可解答；
(5)先根據(jù)“對消多項式”和“對消值”的概念求得8?mn?m=0.t=2?mn.a?c=m+mn=8，進然后再對所求代數(shù)式進行配方變形求解即可．
本題考查整式的運算，乘法公式，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．燃油車
新能源汽車
油箱容積：50升
電池容量：80千瓦時
油價：7.2元/升
電價：0.6元/千瓦時
續(xù)航里程：a千米
續(xù)航里程：a千米
每千米行駛費用：50×7.2a元
每千米行駛費用：_____元

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