1.平面直角坐標(biāo)系中，點P(2,3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是( )
A. (2,3)B. (?2,3)C. (2,?3)D. (?2,?3)
2.在下列長度的4條線段中，能與長5cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是( )
A. 2cmB. 3cmC. 10cmD. 13cm
3.下列分式是最簡分式的是( )
A. 4m6nB. a+ba2?b2C. x?yx2?y2D. x+yx2+y2
4.如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA′、BB′的中點，只要量出A′B′的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是( )
A. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
B. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C. 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例
D. 兩點之間線段最短
5.下列運算正確的是( )
A. a2?a=a2B. (a3)2=a6
C. (ab)2=ab2D. (a+b)2=a2+b2
6.一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個內(nèi)角是( )
A. 120°B. 108°C. 90°D. 60
7.如圖，方格紙中的∠1和∠2的大小關(guān)系是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2=2∠1
C. ∠2=90°+∠1
D. ∠1+∠2=180°
8.如圖，邊長為(m+n)的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后余下部分又剪開拼成個長方形(不重疊無縫隙)，若拼成的長方形一邊長為n，則長方形的面積是( )
A. 2m+2nB. m+2nC. 2m2+nD. 2mn+n2
9.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，分別以點A，C為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線交AB于點D，連接CD；再如圖所示作射線BP，交CD于點P.根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是( )
A. AD=CD
B. ∠ABP=∠PBC
C. ∠ABP=∠A
D. ∠BPC=115°
10.“愛勞動，勞動美．”甲、乙兩同學(xué)同時從家里出發(fā)，分別到距家6km和10km的實踐基地參加勞動．若甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)基地，求甲、乙的速度．設(shè)甲的速度為3xkm/h，則依題意可列方程為( )
A. 63x+13=104xB. 63x+20=104xC. 63x?104x=13D. 63x?104x=20
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.如圖，自行車的車身為三角結(jié)構(gòu)，這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是______.
12.因式分解：2x2?2=__________.
13.若分式12024?x有意義，則字母x需滿足的條件是______.
14.若3?n=127，則n=______.
15.如圖：AD為△ABC的角平分線，且AB=3，AC=5，則△ABD和△ADC的面積之比為______.
16.如圖，O是直線BC上一點，∠AOB=30°，PO平分∠AOC，PM//BC交AO于點M，MP=10cm，PD⊥OC于點D，則PD=______cm.
三、計算題：本大題共1小題，共6分。
17.解分式方程：x?3x?2+1=3x?2.
四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
18.(本小題6分)
計算：(π?2036)0?(12)?2+( 3?1)( 3+1)+(?1)2024.
19.(本小題6分)
先化簡，再求值：(a?3b)(a+3b)+(a?3b)2，其中a=?2,b=12.
20.(本小題8分)
如圖，點E在△ABC外部，點D在邊BC上，DE交AC于點F，若∠1=∠2=∠3，AB=AD，求證：
(1)∠E=∠C；
(2)BC=DE.
21.(本小題8分)
某化工廠為了給員工創(chuàng)建安全的工作環(huán)境，采用A，B兩種機器人來搬運化工原料.其中A型機器人比B型機器人每小時多搬運30千克，A型機器人搬運1500千克所用時間與B型機器人搬運1000千克所用時間相等.
(1)求A，B兩種機器人每小時分別搬運多少千克化工原料；
(2)若每臺A型，B型機器人的價格分別為5萬元和3萬元，該化工廠需要購進A，B兩種機器人共12臺，工廠現(xiàn)有資金45萬元，則最多可購進A型機器人多少臺？
22.(本小題9分)
如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1)、B(4,2)、C(3,5).
(1)若△A′B′C′與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，作出△A′B′C′；
(2)若P為y軸上一點，使得△APC周長最小，在圖中作出點P，并寫出P點的坐標(biāo)為______；
(3)計算△ABC的面積.
23.(本小題9分)
數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時喝的糖水做“糖水實驗”也能驗證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論.現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，則糖水的濃度(即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比)為ba.
(1)糖水實驗一：加入m克水，則糖水的濃度為______.生活經(jīng)驗告訴我們，糖水加水后會變淡，由此可以寫出一個不等式______，我們?nèi)しQ為“糖水不等式”.
(2)糖水實驗二：
將“糖水實驗一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，則糖水的濃度為______.根據(jù)生活經(jīng)驗，請你寫出一個新的“糖水不等式”______.
(3)請結(jié)合(2)探究得到的結(jié)論嘗試證明：
設(shè)a、b、c為△ABC三邊的長，求證：ca+b+ab+c+ba+cAC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖②)；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖③).小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由；
(3)實踐運用：將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ(如圖④)，求∠MNF的大小.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：點P(2,3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(2,?3).
故選：C.
根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
(1)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
(2)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
2.【答案】C
【解析】解：A、2+510，長度是2cm、5cm、8cm的線段能圍成一個三角形，故C符合題意；
D、5+8=13，長度是5cm、8cm、13cm的線段不能圍成一個三角形，故D不符合題意．
故選：C.
在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷．
本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．
3.【答案】D
【解析】解：A.4m6n=2m3n，所以A選項不符合題意；
B.a+ba2?b2=a+b(a+b)(a?b)=1a?b，所以B選項不符合題意；
C.x?yx2?y2=x?y(x+y)(x?y)=1x+y，所以C選項不符合題意；
D.x+yx2+y2為最簡分式，所以D選項符合題意．
故選：D.
利用約分和最簡分式的定義進行判斷．
本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．
4.【答案】A
【解析】解：∵點O為AA′、BB′的中點，
∴OA=OA′，OB=OB′，
由對頂角相等得∠AOB=∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
OA=OA′∠AOB=∠A′OB′OB=OB′，
∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，
∴AB=A′B′，
即只要量出A′B′的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度，
故選：A.
根據(jù)點O為AA′、BB′的中點得出OA=OA′，OB=OB′，根據(jù)對頂角相等得到∠AOB=∠A′OB′，從而證得△AOB和△A′OB′全等，于是有AB=A′B′，問題得證．
本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確運用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】B
【解析】解：∵a2?a=a3，
∴選項A不符合題意；
∵(a3)2=a6，
∴選項B符合題意；
∵(ab)2=a2b2，
∴選項C不符合題意；
∵(a+b)2=a2++2ab+b2，
∴選項D不符合題意，
故選：B.
運用同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方和完全平方公式知識進行逐一計算、辨別．
此題考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方和完全平方公式知識的計算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識．
6.【答案】B
【解析】解：設(shè)此多邊形為n邊形，
根據(jù)題意得：180(n?2)=540，
解得：n=5.
則這個正多邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=108°.
故選：B.
根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義(n?2)×180°，先求出邊數(shù)，再用內(nèi)角和除以邊數(shù)即可求出這個正多邊形的每一個內(nèi)角．
本題考查了多邊形內(nèi)角和公式．解題的關(guān)鍵是掌握好多邊形內(nèi)角和公式：(n?2)×180°.
7.【答案】D
【解析】解：如圖所示：
由題意可知：∠BAC=∠DEF=90°，AB=DE，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°?∠1，
∵∠2=90°+∠4，
∴∠2=90°+∠3=90°+90°?∠1=180°?∠1，
∴∠1+∠2=180°，
故選：D.
先觀察圖形可知：∠BAC=∠DEF=90°，AB=DE，AC=EF，利用全等三角形的判定定理證明△ABC≌△EDF，從而證明∠3=∠4，再根據(jù)∠2=90°+∠4，∠1+∠3=90°，進行代換即可求出答案．
本題主要考查了角的大小比較，解題關(guān)鍵熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定．
8.【答案】D
【解析】解：由題意得，拼成的長方形的面積為：
S大正方形?S小正方形
=(m+n)2?m2
=2mn+n2，
故選：D.
根據(jù)長方形的面積等于兩個正方形的面積差，列式計算即可．
本題考查列代數(shù)式，平方差公式，掌握拼圖前后面積之間的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
由作圖得：BP平分∠ABC，D在AC的垂直平分線上，
∴∠ABP=∠PBC=35°，AD=CD，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=80°，
∴∠CPC=∠ABP+∠BDC=115°，
故選：C.
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及外角定理求解．
本題考出來復(fù)雜作圖，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及外角定理是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】A
【解析】解：由題意可知，甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，
63x+2060=104x，
即63x+13=104x，
故選：A.
根據(jù)甲、乙的速度比是3：4，可以設(shè)出甲和乙的速度，然后根據(jù)甲比乙提前20min到達(dá)基地，可以列出相應(yīng)的方程．
本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．
11.【答案】三角形具有穩(wěn)定性
【解析】解：自行車的車身為三角結(jié)構(gòu)，這是因為三角形具有穩(wěn)定性．
故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．
根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可．
此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用，解題時注意：當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．
12.【答案】2(x+1)(x?1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差進行二次分解．
解：原式=2(x2?1)=2(x+1)(x?1).
故答案為：2(x+1)(x?1).
此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．
13.【答案】x≠2024
【解析】解：要使分式12024?x有意義，
則分母不為零，
即2024?x≠0，
解得x≠2024.
故答案為：x≠2024.
根據(jù)分母不為零的條件進行解題即可．
本題考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】3
【解析】解：3?n=127=3?3，
所以n=3，
故答案為：3.
根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，即可解答．
本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解決本題的關(guān)鍵是熟記負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義．
15.【答案】3：5
【解析】解：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴DE=DF，
∵AB=3，AC=5，
∴S△ABDS△ADC=12AB?DE12AC?DF=ABAC=35.
故答案為：3：5.
過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于F，由角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再根據(jù)三角形面積公式解答即可．
本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形面積公式等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
16.【答案】5
【解析】解：過M點作MH⊥BC于H點，如圖，
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
在Rt△MOH中，
∵∠MOH=30°，
∴MH=12MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm.
故答案為：5.
過M點作MH⊥BC于H點，如圖，先利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明∠MPO=∠POM，則MO=MP=10cm，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到MH=12MO=5cm，然后根據(jù)平行線之間的距離相等得到PD的長度．
本題考查了角平分線的定義：角的平分線把角分成相等的兩部分．也考查了平行線的性質(zhì)．
17.【答案】解：x?3x?2+1=3x?2，
方程兩邊同時乘以x?2，
得2x?5=3，
解得：x=4，
經(jīng)檢驗，x=4是原分式方程的解，
所以x=4.
【解析】解分式方程的步驟：1.去分母．2.移項．3.合并同類項．4.化系數(shù)為1.
解分式方程要檢驗．
本題考查解分式方程．解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的步驟．注意分式方程要檢驗．
18.【答案】解：(π?2036)0?(12)?2+( 3?1)( 3+1)+(?1)2024
=1?4+3?1+1
=0.
【解析】先根據(jù)零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則分別計算出各數(shù)，再根據(jù)二次根式混合運算的法則進行計算即可．
本題考查的是二次根式的混合運算，零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：原式=a2?9b2+a2?6ab+9b2
=2a2?6ab，
當(dāng)a=?2，b=12時，原式=2×(?2)2?6×(?2)×12=14.
【解析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項把原式化簡，把a、b的值代入計算即可．
本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】證明：(1)∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴180°?∠2?∠AFE=180°?∠3?∠CFD，
即∠E=∠C.
(2)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE.
∵AB=AD，∠E=∠C，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE.
【解析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠E=∠C；
(2)由已知可得∠BAC=∠DAE，又因為AB=AD，所以根據(jù)ASA可判定△ABC≌△ADE.
此題考查學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定的理解及運用．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
21.【答案】解：(1)設(shè)B型機器人每小時搬運x千克化工原料，則A型機器人每小時搬運(x+30)千克化工原料，
根據(jù)題意得：1500x+30=1000x，
解得：x=60，
經(jīng)檢驗，x=60是所列方程的解，且符合題意，
∴x+30=60+30=90.
答：A型機器人每小時搬運90千克化工原料，B型機器人每小時搬運60千克化工原料；
(2)設(shè)購進m臺A型機器人，則購進(12?m)臺B型機器人，
根據(jù)題意得：5m+3(12?m)≤45，
解得：m≤92，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為4.
答：最多可購進A型機器人4臺．
【解析】(1)設(shè)B型機器人每小時搬運x千克化工原料，則A型機器人每小時搬運(x+30)千克化工原料，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結(jié)合A型機器人搬運1500千克所用時間與B型機器人搬運1000千克所用時間相等，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出B型機器人每小時搬運化工原料的質(zhì)量，再將其代入(x+30)中，即可求出A型機器人每小時搬運化工原料的質(zhì)量；
(2)設(shè)購進m臺A型機器人，則購進(12?m)臺B型機器人，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過45萬元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)如圖所示，△A′B′C′即為所求：
(2)(0,2)；
(3)解：△ABC的面積為：3×4?12×1×3?12×1×3?12×2×4=5.
【解析】【分析】
(1)依據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行作圖，即可得到△A′B′C′；
(2)作點A關(guān)于y軸的對稱點A′′，連接A′′C，交y軸于點P，則可解答；
(3)依據(jù)割補法進行計算，即可得到△ABC的面積．
本題考查了作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．
【解答】
解：(1)見答案；
(2)如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′′，連接A′′C交y軸于P，
此時PA+PC=PA′′+PC=A′′C，
由兩點間線段最短得，PA+PC的值最小，
即△APC周長最小，此時點P的坐標(biāo)是(0,2)，
點P即為所求，P(0,2)；
故答案為：(0,2)；
(3)見答案．
23.【答案】ba+m ba+mba
【解析】解：(1)①由題意得：加入m克水后，糖水的濃度為ba+m，
∵糖水加水后會變淡，
∴ba+mba，
故答案為：b+ma+m，b+ma+m>ba；
(3)在△ABC中，a+b>c，b+c>a，c+a>b，且a>0，b>0，c>0，
∴ab+c

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2023-2024學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)：

這是一份2023-2024學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)，共14頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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2023-2024學(xué)年湖南省長沙市望城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析) (1)

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