本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.
4.請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是復(fù)數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A. 150B. 140C. 130D. 120
4. 向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圓，直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A 直線過(guò)定點(diǎn)
B. 直線與圓一定相交
C. 若直線平分圓的周長(zhǎng)，則
D. 直線被圓截得的最短弦的長(zhǎng)度為
6. 2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級(jí)星期六”全國(guó)美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個(gè)周六（8月26日）共報(bào)名了貴州貴陽(yáng)烤肉隊(duì)等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊(duì)等3支省外美食足球代表隊(duì).根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場(chǎng)比賽，每支球隊(duì)都要參賽，且省內(nèi)代表隊(duì)不能安排在同一場(chǎng)，則比賽的安排方式有（ ）
A. 6種B. 9種C. 18種D. 36種
7. 將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，則（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C 若，則
D. 若，則樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11
10. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
11. 在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（ ）
A. 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓
B. 平面平面
C. 三棱錐體積的最大值為3
D. 三棱錐外接球的半徑不是定值
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12 已知，則__________．
13. 已知一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球體積的最大值為_(kāi)_________.（球的厚度可忽略不計(jì)）
14. 設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.
四?解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若，求面積的最大值.
16. 如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
17. 猜燈謎，是我國(guó)獨(dú)有的民俗文娛活動(dòng)，是從古代就開(kāi)始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng).每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語(yǔ)寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動(dòng)中，若甲?乙兩名同學(xué)分別獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為，乙同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為.假設(shè)甲?乙猜對(duì)每個(gè)燈謎都是等可能的，試求：
（1）甲?乙任選1個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，求甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率；
（2）活動(dòng)規(guī)定：若某人任選2個(gè)進(jìn)行有獎(jiǎng)競(jìng)猜，都猜對(duì)則可以在箱中參加抽取新春大禮包活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是；沒(méi)有都猜對(duì)則在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是，求甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率；
（3）甲?乙各任選2個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，設(shè)甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18. 已知雙曲線的方程為，虛軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).
19. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
（1）證明：；
（2）設(shè)，證明：；
（3）設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.貴陽(yáng)市2024年高三年級(jí)適應(yīng)性考試（一）
數(shù)學(xué)
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.
4.請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】由集合，得.
故選：B
2. 已知是復(fù)數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式，即可化解求值.
【詳解】由可知，.
故選：A
3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A. 150B. 140C. 130D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】由條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再代入前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，解得：，
所以.
故選：D
4. 向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選：C
5. 已知圓，直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線過(guò)定點(diǎn)
B. 直線與圓一定相交
C. 若直線平分圓的周長(zhǎng)，則
D. 直線被圓截得的最短弦的長(zhǎng)度為
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程，即可求定點(diǎn)，判斷A，再根據(jù)定點(diǎn)與圓的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系，判斷B，根據(jù)直線平分圓的周長(zhǎng)，可得直線與圓的關(guān)系，判斷C，當(dāng)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解.
【詳解】A.聯(lián)立，得，不管為何值，直線恒過(guò)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B.，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線與圓一定相交，故B正確；
C. 若直線平分圓的周長(zhǎng)，在直線過(guò)圓心，，得，故C錯(cuò)誤；
D.當(dāng)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，
此時(shí)圓心到弦所在直線的距離，
則弦長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.
故選：B
6. 2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級(jí)星期六”全國(guó)美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個(gè)周六（8月26日）共報(bào)名了貴州貴陽(yáng)烤肉隊(duì)等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊(duì)等3支省外美食足球代表隊(duì).根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場(chǎng)比賽，每支球隊(duì)都要參賽，且省內(nèi)代表隊(duì)不能安排在同一場(chǎng)，則比賽的安排方式有（ ）
A. 6種B. 9種C. 18種D. 36種
【答案】D
【解析】
【分析】首先理解題意，再結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，每支省內(nèi)的足球隊(duì)都要和省外一支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，則有種方法.
故選：D
7. 將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)，代入函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦導(dǎo)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律可知，，
，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且，
得.
故選：B
8. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，再由函數(shù)也是偶函數(shù)，變形求得函數(shù)的解析式，并求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求解不等式.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，
又因?yàn)楹瘮?shù)也是偶函數(shù)，所以，得，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，
令，得，
所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)，得到，從而求得函數(shù)的解析式.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，則（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)樣本平均數(shù)，中位數(shù)，方差和百分位數(shù)公式，即可求解.
【詳解】A.，，故A正確；
B.，根據(jù)中位數(shù)的定義可知，，故B正確；
C.時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；
D.，數(shù)據(jù)，，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)據(jù)，即為11，故D正確.
故選：ABD
10. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】首先結(jié)合選項(xiàng)變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A.，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；
B.，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
C.，故C正確；
D.，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確 .
故選：ABCD
11. 在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（ ）
A. 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓
B. 平面平面
C. 三棱錐體積的最大值為3
D. 三棱錐外接球的半徑不是定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先底面建坐標(biāo)系，利用軌跡法求得點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關(guān)系，以及體積公式，外接球的半徑問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.
【詳解】A.因?yàn)?，所以在平面?nèi)，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，，，
由知，，化簡(jiǎn)為，即點(diǎn)的軌跡為圓，故A正確；
B. 根據(jù)以上證明可知，點(diǎn)和在圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，如上圖，由條件可知，點(diǎn)在圓上，
則，而平面，平面,所以，
所以是二面角平面角，則平面平面，故B正確；
C.當(dāng)點(diǎn)到的距離為2時(shí)，此時(shí)的面積最大，此時(shí)最大面積是,
則三棱錐體積的最大值為，故C正確；
D.由以上證明可知，，且，如圖，
取的中點(diǎn)，作平面，且，
所以，
所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，并在底面建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡，后面的選項(xiàng)就會(huì)迎刃而解.
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系構(gòu)造齊次分式，再分子分母同時(shí)除以轉(zhuǎn)化為正切的運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
13. 已知一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球體積的最大值為_(kāi)_________.（球的厚度可忽略不計(jì)）
【答案】
【解析】
【分析】首先假設(shè)球與下底面和側(cè)面相切，根據(jù)幾何關(guān)系和計(jì)算，能證明求與上底面也相切，由此可以求得球的半徑，即可求得球的體積的最大值.
【詳解】當(dāng)球與下底面和側(cè)面相切，如圖，
圓臺(tái)及其內(nèi)切球的軸截面如圖所示，
由題意可知，設(shè)分別梯形的上下底的中點(diǎn)，連結(jié)，
如圖，作，交于點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面的切點(diǎn)，
則，則，，
則，
因?yàn)椋?，?
所以球與上底面也相切，故內(nèi)切球的半徑為，此時(shí)為圓臺(tái)內(nèi)的最大的球，
內(nèi)切球的體積.
故答案為：
14. 設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】依據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用所給條件構(gòu)造齊次方程求解離心率即可.
【詳解】
由題意得，，，則，
直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，
可得，而，
故，代入直線中得，故,
可得，由題意得，
可得，化簡(jiǎn)得，
即，化簡(jiǎn)得，
同除得，且，解得.
故答案為：
四?解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫出余弦定理，再結(jié)合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.
16. 如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)榈酌娴酌妫?br>所以.
因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所?
又，且平面，所以平面.
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以.
設(shè)平面的法向量為，則
，則
取，得.
設(shè)平面的法向量為，則
，則
取，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，則
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17. 猜燈謎，是我國(guó)獨(dú)有的民俗文娛活動(dòng)，是從古代就開(kāi)始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng).每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語(yǔ)寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動(dòng)中，若甲?乙兩名同學(xué)分別獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為，乙同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為.假設(shè)甲?乙猜對(duì)每個(gè)燈謎都是等可能的，試求：
（1）甲?乙任選1個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，求甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率；
（2）活動(dòng)規(guī)定：若某人任選2個(gè)進(jìn)行有獎(jiǎng)競(jìng)猜，都猜對(duì)則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是；沒(méi)有都猜對(duì)則在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是，求甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率；
（3）甲?乙各任選2個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，設(shè)甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；
（2）根據(jù)全概率概率公式計(jì)算可得；
（3）依題意可得可能取值為，，，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)“甲猜對(duì)一個(gè)燈謎”，“乙猜對(duì)一個(gè)燈謎”，則
因?yàn)榧?乙恰有一人猜對(duì)的事件為，
所以
，
所以，甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)“甲猜對(duì)兩道題”，“甲中獎(jiǎng)”，
則
，
所以，甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，.
易知甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和的可能取值為，，，，.
則，
，
，
，
，
所以的分布列為
因此，的數(shù)學(xué)期望
18. 已知雙曲線的方程為，虛軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)在上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)虛軸長(zhǎng)和點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程組可得，，可求得雙曲線的方程為；
（2）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出斜率表達(dá)式，聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)計(jì)算可得證明；
（3）設(shè)直線的方程為，求出直線與軸的交點(diǎn)分別為的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和雙曲線方程利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得出證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)樘撦S長(zhǎng)，所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
解得.
故雙曲線的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
證明：如下圖所示：
設(shè)，則
所以
因?yàn)樵陔p曲線上，所以，可得；
于是，
所以直線和直線的斜率之積為定值，定值是.
【小問(wèn)3詳解】
證明：設(shè)，直線的方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去整理可得①
則
所以②
③
直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
所以
將①②③式代入上式，并化簡(jiǎn)得到
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故的中點(diǎn)是定點(diǎn).
19. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
（1）證明：；
（2）設(shè)，證明：；
（3）設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；
（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
【小問(wèn)2詳解】
由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
【小問(wèn)3詳解】
，則
，設(shè)，
由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點(diǎn).
下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí)，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷附近的單調(diào)性.0
1
2
3
4

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