2024.2
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
4.請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知是復(fù)數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A.150 B.140 C.130 D.120
4.向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5.已知圓，直線，則下列說法正確的是（ ）
A.直線過定點(diǎn)
B.直線與圓一定相交
C.若直線平分圓的周長，則
D.直線被圓截得的最短弦的長度為
6.2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級(jí)星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個(gè)周六（8月您看到的資料都源自我們平臺(tái)，家威鑫 MXSJ663 免費(fèi)下載 26日）共報(bào)名了貴州貴陽烤肉隊(duì)等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊(duì)等3支省外美食足球代表隊(duì).根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊(duì)都要參賽，且省內(nèi)代表隊(duì)不能安排在同一場，則比賽的安排方式有（ ）
A.6種 B.9種 C.18種 D.36種
7.將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，則（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11
10.已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
11.在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（ ）
A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓
B.平面平面
C.三棱錐體積的最大值為3
D.三棱錐外接球的半徑不是定值
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，則__________.
13.已知一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球體積的最大值為__________.（球的厚度可忽略不計(jì)）
14.設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為__________.
四?解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分13分）
記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若，求面積的最大值.
16.（本題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
17.（本題滿分15分）
猜燈謎，是我國獨(dú)有的民俗文娛活動(dòng)，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng).每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動(dòng)中，若甲?乙兩名同學(xué)分別獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為，乙同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為.假設(shè)甲?乙猜對(duì)每個(gè)燈謎都是等可能的，試求：
（1）甲?乙任選1個(gè)獨(dú)立競猜，求甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率；
（2）活動(dòng)規(guī)定：若某人任選2個(gè)進(jìn)行有獎(jiǎng)競猜，都猜對(duì)則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是；沒有都猜對(duì)則在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是，求甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率；
（3）甲?乙各任選2個(gè)獨(dú)立競猜，設(shè)甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18.（本題滿分17分）
已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點(diǎn)在上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；
（3）過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).
19.（本題滿分17分）
英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.
（1）證明：；
（2）設(shè)，證明：；
（3）設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
貴陽市2024年高三年級(jí)適應(yīng)性考試（一）
參考答案與評(píng)分建議
2024.2
一?選擇題（每小題5分，共40分）
二?多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分）
三?填空題（每小題5分，共15分）
12. 13. 14.
四?解答題（共5小題，共77分）
15.解：（1）由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
（2）由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.
16.（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌?，所?
因?yàn)榈酌媸蔷匦危?
又，所以平面.
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）解 以為原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以.
設(shè)平面的法向量為，則
取，得.
設(shè)平面的法向量為，則
取，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，則
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17.解：設(shè)“甲猜對(duì)一個(gè)燈謎”，“乙消對(duì)一個(gè)燈謎”，則
（1）因?yàn)榧?乙恰有一人猜對(duì)的事件為，所以
所以，甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率為.
（2）設(shè)“甲猜對(duì)兩道題”，“甲中獎(jiǎng)”，則
所以，甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率.
（3）由（1）知.
易知甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和的可能取值為.則
所以的分布列為
因此，的數(shù)學(xué)期望
18.解：（1）因?yàn)樘撦S長，所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
解得.
故雙曲線的方程為.
（2）證明：設(shè)，則
所以
因?yàn)樵陔p曲線上，所以
于是，
所以直線和直線的斜率之積為定值，定值是.
（3）證明：設(shè)，直線的方程為.
①
則
所以
②
③
直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
所以
將①②③式代入上式，并化簡得到
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故的中點(diǎn)是定點(diǎn).
19.證明：（1）設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），則
由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，，所以在.單調(diào)遞增.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點(diǎn).
下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增（這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
）
所以當(dāng)時(shí)，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
B
D
B
D
題號(hào)
9
10
11
答案
ABD
ABCD
ABC
0
1
2
3
4

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