考生注意：
1.本試滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試卷、草稿紙上作答無(wú)效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，集合，則（ ）
A B. C. D.
2. 已知是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是（ ）
A. 0B. 1C. D.
3. 2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽(yáng)城．周深在內(nèi)的兄弟團(tuán)成員和以劉宇等為成員的INTO1組合與來(lái)自貴陽(yáng)社會(huì)各界的400位青年一起在貴州大學(xué)體育館唱響了一場(chǎng)“青春歌會(huì)”．節(jié)目組在前期準(zhǔn)備工作中統(tǒng)計(jì)出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲．在活動(dòng)中，兄弟團(tuán)成員要從這10首歌曲中競(jìng)猜排名前5名的歌曲，則在競(jìng)猜中恰好猜對(duì)2首歌曲的概率為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 在三棱錐中，兩兩垂直，且，三角形重心為，則點(diǎn)到直線距離為（ ）
A. B. C. D.
7. 直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（ ）
A. 4B. C. 8D.
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為128，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 展開(kāi)式共有7項(xiàng)B. 所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
C. 只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為
10. 聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成，稱為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 奇函數(shù)B. 在區(qū)間內(nèi)有最大值
C. 的周期是D. 在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)
11. 已知曲線：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為
B. 若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，
C. 若曲線的離心率為，則或
D. 若曲線是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為，則
12. 關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若空間向量，，則在上的投影向量為
B. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C. 若空間向量，滿足，則與夾角銳角
D. 若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______．
14. 已知隨機(jī)變量，其中，則___________.
15. 若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
16. 如圖，、兩點(diǎn)分別在、軸上滑動(dòng)，，為垂足，點(diǎn)軌跡形成“四葉草”的圖形，若，則的面積最大值為_(kāi)_____．

四、解答題：共6個(gè)小題，滿分70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18. 在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、．
①；②；③．
在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．
19. 某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生都報(bào)名參加公益志愿活動(dòng)，經(jīng)過(guò)選拔，高一年級(jí)有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者，高二、高三年級(jí)各有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者．
（1）設(shè)事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生是志愿者”；事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生來(lái)自高年級(jí)”（）．請(qǐng)完成下表中不同事件的概率并寫(xiě)出演算步驟：
（2）若在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來(lái)自于高一年級(jí)的概率．
20. 已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）當(dāng)平面時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
21. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求方程；
（2）過(guò)直線：上任意一點(diǎn)作直線與，分別交于，兩點(diǎn)，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．
22. 牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個(gè)方程的其中一個(gè)根在的附近，如圖所示，然后在點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會(huì)越來(lái)越逼近．于是，求近似解的過(guò)程轉(zhuǎn)化為求，若設(shè)精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后第二位）；
（2）若，求的取值范圍．事件概率
概率值
開(kāi)遠(yuǎn)一中2024春季學(xué)期高二3月月考測(cè)試
數(shù) 學(xué)
考生注意：
1.本試滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試卷、草稿紙上作答無(wú)效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合，利用交集的定義得出結(jié)果.
【詳解】∵，
，
∴，即.
故選：A.
2. 已知是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，分別得到兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】由于復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，
因此由兩點(diǎn)間的距離公式，得這兩點(diǎn)間的距離為.
故選：D.
3. 2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽(yáng)城．周深在內(nèi)的兄弟團(tuán)成員和以劉宇等為成員的INTO1組合與來(lái)自貴陽(yáng)社會(huì)各界的400位青年一起在貴州大學(xué)體育館唱響了一場(chǎng)“青春歌會(huì)”．節(jié)目組在前期準(zhǔn)備工作中統(tǒng)計(jì)出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲．在活動(dòng)中，兄弟團(tuán)成員要從這10首歌曲中競(jìng)猜排名前5名的歌曲，則在競(jìng)猜中恰好猜對(duì)2首歌曲的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用排列、組合求出試驗(yàn)的基本事件總數(shù)及事件所含基本事件數(shù)，再利用古典概率計(jì)算作答.
【詳解】依題意，10首歌曲任意排列名的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，
恰好猜對(duì)2首歌曲的事件含有個(gè)基本事件，
所以在競(jìng)猜中恰好猜對(duì)2首歌曲的概率.
故選：B
4. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
又因?yàn)?，則，解得，
因此，.
故選：C.
5. 已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得出，再由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)橹本€和垂直，
所以，所以，
因?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：C.
6. 在三棱錐中，兩兩垂直，且，三角形重心為，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，計(jì)算在的投影為，在根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，則.
，，
故在的投影為，
點(diǎn)到線的距離為.
故選：D.
7. 直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結(jié)合條件，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得弦長(zhǎng).
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，，，，
因?yàn)?，所以，得，?br>因?yàn)?，所以，即，?br>由方程①②可得，，
所以.
故選：C
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)、指數(shù)運(yùn)算判斷出的關(guān)系，進(jìn)而確定正確答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
，；
故只需比較與；也即比較與；
也即比較與，
而，，
所以，所以.
綜上所述，.
故選：B
二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為128，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 展開(kāi)式共有7項(xiàng)B. 所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
C. 只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根據(jù)系數(shù)和公式求，再根據(jù)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).
【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，所以，
二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有8項(xiàng)，所有的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，
其中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為和，為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，
其中只有BD正確.
故選：BD
10. 聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成，稱為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 在區(qū)間內(nèi)有最大值
C. 的周期是D. 在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B.利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；C.利用周期函數(shù)的定義判斷；D.利用零點(diǎn)的定義求解判斷.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以是奇函數(shù)，故A正確；
求導(dǎo)，
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以在上單調(diào)遞減，
則，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，
令得，或，因，則，故D錯(cuò)誤，
故選：AB
11. 已知曲線：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為
B. 若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，
C. 若曲線的離心率為，則或
D. 若曲線是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為，則
【答案】AC
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，求出面積的最大值，利用分割法建立內(nèi)切圓半徑的關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義可求得內(nèi)切圓半徑的最大值，可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的離心率求出實(shí)數(shù)的值，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出實(shí)數(shù)的值，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則曲線的方程為，則，，，
則的面積，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則，
所以，，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則曲線的方程為，
則，，，
故橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為和，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線的離心率，則曲線為雙曲線，且，
若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，
可化為，
此時(shí)，，
則，，解得；
若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，
可化為，
此時(shí)，，則，，解得.
綜上所述，若曲線的離心率為，則或，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線是雙曲線，且一條漸近線傾斜角為，
則漸近線方程為，即，
故可設(shè)雙曲線的方程為，
所以，，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12. 關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若空間向量，，則在上的投影向量為
B. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C. 若空間向量，滿足，則與夾角為銳角
D. 若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】A投影向量定義求在上的投影向量；B由空間向量共面的推論判斷；C由，同向共線即可判斷；D由即可判斷.
【詳解】A：在上的投影向量為，對(duì)；
B：在中，故P，A，B，C四點(diǎn)共面，對(duì)；
C：當(dāng)，同向共線時(shí)也成立，但與夾角不為銳角，錯(cuò)；
D：由，即，故，對(duì).
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到，再利用二倍角的正弦公式求解.
【詳解】解：因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，
所以，
所以，
故答案為：
14. 已知隨機(jī)變量，其中，則___________.
【答案】0.2
【解析】
【分析】由服從的分布類型可直接求出，，從而求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，且?br>又因?yàn)椋?，所?
故答案為：0.2.
15. 若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：在有解，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可．
【詳解】，等價(jià)于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
則，即在上是增函數(shù)，
∴，所以.
故答案為：.
16. 如圖，、兩點(diǎn)分別在、軸上滑動(dòng)，，為垂足，點(diǎn)軌跡形成“四葉草”的圖形，若，則的面積最大值為_(kāi)_____．

【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，則為銳角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為所求.
【詳解】設(shè)，則為銳角，所以，，
因?yàn)椋瑒t，
，所以，，
令，其中，
則，
因?yàn)?，則，則，
由，可得，可得，
由，可得，可得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，.
所以，面積的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：共6個(gè)小題，滿分70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得出，兩式作差可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）由（1）中的結(jié)論可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得的表達(dá)式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【小問(wèn)1詳解】
證明：已知①，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得：，即，
所以，，
當(dāng)時(shí)，則，則，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）可知，，則，
所以，，
所以，，
.
18. 在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、．
①；②；③．
在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．
【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①，利用余弦定理化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；選②，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；選③，利用已知等式結(jié)合兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式可得出的值，結(jié)合的取值范圍可得出角的值；
（2）利用三角形的面積公式可得出的值，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得長(zhǎng)的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
解：若選①，因?yàn)?，即?br>則，即，所以，，
因?yàn)椋剩?br>若選②，原式等價(jià)于，即，
即，
因?yàn)?、，則，所以，，則，故；
若選③，原式等價(jià)于，
即
所以，，即，即，
因?yàn)椋?
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
則，
所以，，
則
，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，長(zhǎng)的最小值為.
19. 某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生都報(bào)名參加公益志愿活動(dòng)，經(jīng)過(guò)選拔，高一年級(jí)有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者，高二、高三年級(jí)各有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者．
（1）設(shè)事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生是志愿者”；事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生來(lái)自高年級(jí)”（）．請(qǐng)完成下表中不同事件的概率并寫(xiě)出演算步驟：
（2）若在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來(lái)自于高一年級(jí)的概率．
【答案】（1）表格見(jiàn)解析，演算步驟見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比值，以及每層抽取的比例，即可填寫(xiě)表格，再根據(jù)全概率公式，即可求解
（2）根據(jù)條件概率公式，即可求解
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比值為，則，
，，
由每個(gè)年級(jí)的抽取比例可知，，，
由全概率公式，得
，
【小問(wèn)2詳解】該學(xué)生來(lái)自于高一年級(jí)的概率.
20. 已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）當(dāng)平面時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）先證平面ADE平面BCF，再證明平面即可；
（2）設(shè)出的坐標(biāo)，求出平面的法向量，由平面的向量關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用向量法求線面角即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以?br>平面，平面，所以平面，
又四邊形平行四邊形，所以，又平面，平面，
所以平面，因?yàn)?，且平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE平面BCF，因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接AF，EG，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又平面平面?br>平面FBC，平面平面，
所以平面ABCD，又底面為矩形，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得，，
則，設(shè)，則，
可知，
由底面是平行四邊形，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，
則平面的法向量為，
由題意平面AEF，則，解得，
所以，即是中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)平面的法向量為，則，
取，得，所以平面的法向量為，
，設(shè)直線與平面所成的角為，
則
所以BG與平面DEG所成角的正弦值為.
21. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）過(guò)直線：上任意一點(diǎn)作直線與，分別交于，兩點(diǎn)，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．
【答案】（1）（）；
（2）是，定點(diǎn)為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式列式化簡(jiǎn)作答.
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知探求出點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再按直線斜率存在與否分類討論求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則直線、的斜率分別為，
于是，整理得，顯然點(diǎn)不在軌跡上，
所以的方程為（）.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線上的點(diǎn)，顯然，

依題意，直線的斜率滿足，
且，直線斜率，則，有，
設(shè)，，則（且），
當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，
消去y得，
則，，
又，即，
則，整理得，
解得或，此時(shí)方程中的，
當(dāng)時(shí)，直線：恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線：，由于舍去，
當(dāng)直線時(shí)，則有，即有，而，解得，
直線：過(guò)點(diǎn)，
所以直線恒過(guò)點(diǎn)．
22. 牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個(gè)方程的其中一個(gè)根在的附近，如圖所示，然后在點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會(huì)越來(lái)越逼近．于是，求近似解的過(guò)程轉(zhuǎn)化為求，若設(shè)精度為，則把首次滿足的稱為的近似解．

已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后第二位）；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求處的切線方程，求得，再求處的切線方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化簡(jiǎn)不等式，，再構(gòu)造函數(shù)，并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，并結(jié)合最值的單調(diào)性，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
曲線在處的切線為，且
曲線在處的切線為，且
故，用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解為．
【小問(wèn)2詳解】
由，得，
設(shè)，
則
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由于時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，則有，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，
即，即
易知單調(diào)遞增，且，故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)的關(guān)鍵是理解題意，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；第二問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化不等式，從而分析函數(shù)的性質(zhì)，即可利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì).
事件概率
概率值
事件概率
概率值

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