2024.03
高三數(shù)學(xué)
本試卷共19題，滿分150分，共8頁?？荚囉脮r120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
4．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．C．2D．
2．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓錐SO的軸截面是邊長為2的正三角形，過其底面圓周上一點A作平面，若截圓錐SO得到的截口曲線為橢圓，則該橢圓的長軸長的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
4．若，，則（ ）
A．4B．2C．D．
5．已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論．根據(jù)該定理，若隨機變量，則當(dāng)且時，可以由服從正態(tài)分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻分布的骰子2500次，利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為（ ）
附：若：，則，，．
A．0.0027B．0.5C．0.8414D．0.9773
7．橢圓C：的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點（A在B左側(cè)），若，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
9．等差數(shù)列中，，，若，，則（ ）
A．有最小值，無最小值B．有最小值，無最大值
C．無最小值，有最小值D．無最大值，有最大值
10．已知函數(shù)是偶函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象．若曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．若，則在區(qū)間上的最大值為
11．已知函數(shù)，，則（ ）
A．恒成立的充要條件是
B．當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線
C．當(dāng)時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線
D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．展開式中常數(shù)項為10，則________．
13．已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為l．若C恰過，，三點中的兩點，則C的方程為________；若過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，且A到l的距離為4，則________．
14．已知，，，則的最大值為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在三棱錐中，，，E為PC的中點，點F在PA上，且平面PAB，．
（1）若平面ABC，求；
（2）若，求平面PAB與平面MAC夾角的正弦值．
16．（15分）淄博燒烤、哈爾濱冬日冰雪、山河四省夢幻聯(lián)動、鄂了贛飯真湘……，2023年全國各地的文旅部門在網(wǎng)絡(luò)上掀起了一波花式創(chuàng)意宣傳，帶火了各地的文旅市場，很好地推動國內(nèi)旅游業(yè)的發(fā)展．已知某旅游景區(qū)在手機APP上推出游客競答的問卷，題型為單項選擇題，每題均有4個選項，其中有且只有一項是正確選項．對于游客甲，在知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，可選出唯一的正確選項；在不知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，則隨機選擇一個選項．已知甲知道答題涉及內(nèi)容的題數(shù)占問卷總題數(shù)的．
（1）求甲任選一題并答對的概率；
（2）若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個題組由2道單項選擇題構(gòu)成，每道選擇題答對得2分，答錯扣1分，放棄作答得0分．假設(shè)對于任意一道題，甲選擇作答的概率均為，且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為X．
（i）求和；
（ii）求．
17．（15分）（1）已知，求的最大值與最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
18．（17分）表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù)．若，且，，則將k的最大值記為，例如：，．
（1）求，，；
（2）已知時，．
（i）求；
（ii）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．
19．（17分）已知中心在原點、焦點在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長為6．
（1）求E的方程；
（2）若面積為3的的三個頂點均在E上，邊BC過F，邊AB過原點，求直線BC的方程：
（3）已知，過點的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點P，Q，l上是否存在點S滿足，且？若存在，求點S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請說明理由．
泉州市2024屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（三）
2024.03
高三數(shù)學(xué)
本試卷共19題，滿分150分，共8頁?？荚囉脮r120分鐘。
一、選擇題答案：
1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D
二、選擇題答案：
9．AD 10．BCD 11．ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．5 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）【命題意圖】本題考查空間點、直線與平面間的位置關(guān)系等知識；考查推理論證、運算求解等能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)應(yīng)用性、創(chuàng)新性、綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．
解法一：（1）依題意得，為正三角形，取PA中點N，
連結(jié)CN，則，
因為平面PAB，所以，
，（2分）
又因為E為PC的中點，所以F為PN中點，則，（3分）
因為平面ABC，平面PAB，
平面平面，即，（5分）
也即，．（6分）
（2）因為，則平面PAB，且（7分）
又因為平面PAB，所以，（8分）
由，可知，
則為等腰直角三角形，，
又因為EF與AC相交于平面PAC，所以平面PAC，（10分）
為等腰直角三角形，M為斜邊PB中點，則也為等腰直角三角形，
取AM中點H，則，且，
連結(jié)CH，平面CNH，
則，為二面角的平面角，（11分）
在中，
則．（13分）
解法二：
（1）同解法一；
（2）因為平面PAB，所以，（7分）
由，可知，
則為等腰直角三角形，，
取AC中點O，連結(jié)PO，則，
取BC中點Q，連結(jié)OQ，則，
又因為EF與AC相交于平面PAC，所以平面PAC，（9分）
也即平面PAC，
所以O(shè)Q，OC，OP兩兩相互垂直，以O(shè)為原點，OQ，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，，
，，，，（10分）
設(shè)平面MAC的一個法向量，則，，即
取，則，
所以為平面MAC的一個法向量．（11分）
，
記平面PAB與平面MAC夾角為，．（13分）
解法三：
（1）因為平面PAB，所以，
由，可知，
則為等腰直角三角形，，
為正三角形，取AC中點O，連結(jié)PO，則，
取BC中點Q，連結(jié)OQ，則，
又因為EF與AC相交于平面PAC，
所以平面PAC，也即平面PAC，（3分）
所以O(shè)Q，OC，OP兩兩相互垂直，以O(shè)為原點，OQ，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，， （4分）
因為平面ABC，平面PAB，
平面平面，則，（6分）
因為，所以，，
，，
所以．（9分）
補充說明：第一小題利用坐標(biāo)法解答得9分，其中證明平面PAC得3分，請把這3分的分值寫到第二小題的得分欄。
（2），，，，（10分）
設(shè)平面MAC的一個法向量，則，，即
取，則，
所以為平面MAC的一個法向量．（11分）
，
記平面PAB與平面MAC夾角為，．（13分）
解法四：
（1）同解法一；
（2）設(shè)點C在平面PAB的射影為N，則平面PAB，
過點N做，垂足為H，連結(jié)CH，平面CNH，
則，為的平面角，
因為平面PAB，所以，（7分）
由，可知，
則為等腰直角三角形，，
為正三角形，取AC中點O，連結(jié)PO，則，
又因為EF與AC相交于平面PAC，所以平面PAC，（9分）
，，平面ABC
因為，則，所以，（10分）
在中，，，
，
，，（11分）
在中，，，
，，（12分）
．（13分）
16．（15分）【命題意圖】本小題主要考查全概率、獨立事件、分布列、數(shù)學(xué)期望、等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性、應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注．
【試題簡析】（1）記“甲任選一道題并答對”為事件M，“甲知道答題涉及內(nèi)容”為事件A． 1分
依題意，，，，．2分
因為事件MA與互斥，所以 （沒說明互斥不扣分）3分
．（公式1分，結(jié)果1分）5分
（2）（i）．7分
；（本小題答對任意一個2分，答對兩個3分）8分
（ii）依題意，隨機變量．（部分對1分，全對2分）10分
；11分
；12分
；13分
；14分
故．15分
17．（15分）【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等能力，體現(xiàn)綜合性、創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)的關(guān)注．
【試題簡析】
（1）因為，，1分
令，解得，2分
，的變化情況如下表所示．
4分
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，有極大值，也是的最大值．5分
又因為，，
而，所以，6分
所以為的最小值．7分
（2）解法一：因為，所以不等式可化為．8分
由（1）可知
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
因為的最大值，，9分
，，
所以，時，最大，（有相應(yīng)解釋即可）10分
所以不等式即存在唯一的整數(shù)解只能為1，（整步只提供圖形沒有解釋扣2分）11分
所以，13分
所以a的取值范圍為．（或）15分
解法二：令，由題意可知有唯一整數(shù)解，8分
，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，
而，所以，與題意矛盾；9分
當(dāng)時，由可得或（舍去），
當(dāng)時，，時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以時，取最大值為，10分
由題意可知，解得，11分
因為，所以當(dāng)即時，
由有唯一整數(shù)解知，解得，12分
若，由在單調(diào)遞增知，矛盾
所以，由在單調(diào)遞減可知，
所以符合題意；13分
當(dāng)時，，，
由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍為．（或）15分
18．（17分）【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．
【試題解析】（1）依題可得表示所有不超過正整數(shù)m，且與m互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，
因為與2互質(zhì)的數(shù)為1，所以；1分
因為與3互質(zhì)的數(shù)為1，2，所以；2分
因為與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，所以；3分
（2）①因為中與互質(zhì)的正整數(shù)只有奇數(shù)，
所以中與互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)為，所以，5分
又因為中與互質(zhì)的正整數(shù)只有與兩個，所以中與互質(zhì)的正整數(shù)個數(shù)為，所以，7分
所以．9分
②解法一：因為，所以．10分
所以．13分
令，因為，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．14分
所以數(shù)列的前n項和．16分
所以．又因為，所以．17分
解法二：因為，所以．10分
又因為，
所以，13分
所以，14分
所以，所以16分
因為，所以．17分
19．（17分）【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識；考查運算求解、邏輯推理等能力；考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．
【試題解析】
（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，1分
因為E中心在原點、焦點在x軸上，所以設(shè)E的方程為，1分
【說明：指出曲線為雙曲線，或正確寫出曲線的方程形式，均可得1分，但不累計得分】
令，解得，所以有 ①2分
又由離心率為2，得 ②，3分
由①②解得，4分
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．4分
解法一：（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線AB過原點及對稱性，
知，5分
聯(lián)立方程，得，化簡整理，得，6分
所以，且，7分
所以，
解得，8分【到此可得第8分】
所以直線BC的方程是或．8分
解法二：（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線AB過原點及對稱性，
知（其中d為原點O到直線BC的距離），5分
聯(lián)立方程，，化簡整理，得，6分
所以，且，7分
所以
，
又因為，于是，
解得，8分
所以直線BC的方程是或．8分
解法一：（3）若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，
不滿足條件，故直線l斜率存在，9分
設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，
化簡整理，得，
則，10分
因為恒成立，所以，故，
解得：，11分
設(shè)，，則由韋達定理，得，
設(shè)點S的坐標(biāo)為，由，得，
則，變形得到，12分
將，代入，解得，13分
【將代入中，解得，
消去k，得到點S的軌跡為定直線：上的一段
線段（不含線段端點，）．14分】
【將化為，
將S的坐標(biāo)代入中，并化為，
故，即點S的軌跡為定直線：上的一段
線段（不含線段端點，）．14分】
因為，，且，記，
所以，故，即S的軌跡方程為
，表示以點H為圓心，半徑為的圓H，15分
設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，
且四條直線的斜率分別為：，，，，
因為，所以線段是線段的一部分16分
經(jīng)檢驗點，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿足條件的點S始終在圓H內(nèi)部，
故不存在這樣的點S，使得，且成立．17分
解法二：（3）若直線l斜率不存在，此時直線l與雙曲線右支無交點，不合題意，
不滿足條件，故直線l斜率存在，9分
設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，化簡整理，得
，則，10分
因為恒成立，所以，故，
解得：，11分
由，得，且，假設(shè)，則
，，設(shè)，，，則，
即，12分
又，所以，
聯(lián)立方程，得，兩式相減，得
，將上述等式代入，得
，13分
即，亦即，故點S為定直線：上的
一段線段（挖掉左右端點，）．14分
以下同解法一．
x
+
0
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減

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