一、單選題
1．復(fù)數(shù)的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，則集合的子集共有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．8個
3．已知向量與的夾角為，且，，則（ ）
A．B．C．4D．
4．已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數(shù)為（ ）
A．32B．36C．40D．42
5．已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線T于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線T的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
8．某包裝設(shè)計部門為一球形塑料玩具設(shè)計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知圓，圓，則下列選項正確的是（ ）
A．直線的方程為
B．圓和圓共有4條公切線
C．若P，Q分別是圓和圓上的動點(diǎn)，則的最大值為10
D．經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小的圓的面積為
10．已知函數(shù)在上有且僅有5個零點(diǎn)，則（ ）
A．的取值范圍是
B．的圖象在上有且僅有3個最高點(diǎn)
C．的圖象在上最多有3個最低點(diǎn)
D．在上單調(diào)遞增
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時，有極小值B．當(dāng)時，有極大值
C．若，則D．函數(shù)的零點(diǎn)最多有1個
三、填空題
12．已知，則 ．
13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因組合而成的，這種生物在生育下一代時，成對的基因相互分離形成配子，配子隨機(jī)結(jié)合形成下一代的基因型．若某生物群體的基因型為，在該生物個體的隨機(jī)交配過程中，基因型為的子代因無法適應(yīng)自然環(huán)境而被自然界淘汰．例如當(dāng)親代只有的基因型個體時，其子一代的基因型如下表所示：
由上表可知，子一代中，子一代產(chǎn)生的配子中A占，a占，以此類推，子七代中的個體所占的比例為 ．
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓T上一點(diǎn)，且，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓T的離心率 ．
四、解答題
15．已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)求的最大值．
16．如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個點(diǎn)，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點(diǎn)，且矩形平面，D，E分別是，的中點(diǎn)．
(1)證明：平面．
(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．
17．某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．
(1)若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．
(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．
（i）試用含m的代數(shù)式表示p；
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．
18．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若雙曲線上動點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．
雌
雄
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到
【詳解】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，
所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為.
故選：A.
2．C
【分析】
首先用列舉法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集個數(shù).
【詳解】因為，又，
所以，所以，則集合的子集共有個．
故選：C
3．A
【分析】
由題意和平面數(shù)量積的定義可得，結(jié)合計算即可求解.
【詳解】由題意可得，，
所以．
故選：A
4．C
【分析】
先安排前排，再安排后排，利用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行求解.
【詳解】
先排前排，有種站法，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的人有種站法，
則有種站法．
故選：C
5．D
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)是正四面體 的4個頂點(diǎn)，結(jié)合正四面體的性質(zhì)和線面角的定義與計算，即可求解.
【詳解】設(shè)是正四面體 的4個頂點(diǎn)，
則點(diǎn)在平面的射影是正三角形的中心D,
再設(shè)，則，可得，
則高，
則直線與平面所成的角的正弦值．
故選：D.

6．D
【分析】
由題意，根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得，由，解不等式即可求解.
【詳解】由題意知，，
當(dāng)時，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．
故選：D
7．B
【分析】設(shè)，，如圖，根據(jù)拋物線的定義和梯形的中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用即可求解.
【詳解】設(shè)，，因為，所以，
所以，過點(diǎn)A，B分別作，垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)G，W，

由拋物線的定義可知，，
由梯形的中位線可知．
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以
所以，故的最大值為．
故選：B
8．C
【分析】
先確定正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)a取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計算出棱長的最小值.
【詳解】
設(shè)正四面體的棱長為，高為，內(nèi)切球半徑為
則，可得，
又，可得，

即正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的．
如圖，10個直徑為2的小球放進(jìn)棱長為a的正四面體中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層的小球個數(shù)依次為1，3，6．

當(dāng)a取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體的底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的所有相鄰小球的球心連線為一個正四面體，底面的中心為，與面的交點(diǎn)為，
則該正四面體的棱長為，
可求得其高為，，
所以正四面體的高為，
進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為．
故選：C.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：對于四面體的內(nèi)切球問題，我們最好能熟記正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，即正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的，這樣解題的時候我們可以利用這個關(guān)系快速得到我們要的量.
9．ACD
【分析】
根據(jù)題意，求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合直線方程的形式，圓與圓的位置關(guān)系的判定，以及圓的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】由題意得，圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
對于A，直線的方程為，即，所以A正確；
對于B，因為且，可得，
所以圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以B錯誤；
對于C，因為，所以的最大值為，所以C正確；
對于D，當(dāng)為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小，
此時圓的面積為，所以D正確．
故選：ACD.
10．BC
【分析】
根據(jù)題意先求出在上由小到大的第5與第6個零點(diǎn)，列不等式組可解得的范圍，可判斷A；求出最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，根據(jù)的范圍即可判斷BC；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合的范圍即可判斷D.
【詳解】由，，得，，
所以函數(shù)在上由小到大的第5個零點(diǎn)為，第6個零點(diǎn)為，
由題知，，解得，A項錯誤．
令，解得，，
當(dāng)時，，因為，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，1，2時，，故在上有且僅有3個最高點(diǎn)，B項正確.
令，解得，，
同上可知，，，
當(dāng)，2時，，當(dāng)時，令，解得，
所以當(dāng)時，在上有3個最低點(diǎn)，C項正確．
由，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因為，所以，又因為，
所以在區(qū)間上不單調(diào)，D項錯誤．
故選：BC.
11．AC
【分析】
對于AB：代入，求導(dǎo)，求單調(diào)性即可判斷；對于C：設(shè)，將不等式轉(zhuǎn)化為成立，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，極值來判斷；對于D：求導(dǎo)，分，，討論研究零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】對于AB：當(dāng)時，，
令，即，所以，即，
結(jié)合函數(shù)圖象可知，存在，使得，

令，則，得，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故A項正確，B項錯誤．
若，即，則．
設(shè)，則．
設(shè)，可知，則，．
若，則，為減函數(shù)，注意到，可知當(dāng)時，，不合題意．
若，則，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，
所以．設(shè)，，
則，．
當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，
則，所以只有當(dāng)時，才能成立．
綜上所述，，故C項正確．
由C項可知，，，則，所以為增函數(shù)．
當(dāng)時，，
當(dāng)t無限趨近于0時，無限趨近于，且，
即此時有兩個零點(diǎn)，因為為增函數(shù)，且，
所以此時有兩個零點(diǎn)．
同理可得，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)．
當(dāng)時，，此時有一個零點(diǎn)1，所以有一個零點(diǎn)．
當(dāng)時，為減函數(shù)，，此時有一個零點(diǎn)1，即只有一個零點(diǎn)．
綜上，函數(shù)最多有兩個零點(diǎn)，故D項錯誤．
故選：AC.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，
12．
【分析】
根據(jù)題意，由余弦的和差角公式展開可得，再由二倍角公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案為：
13．/
【分析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，要求考生能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列的遞推關(guān)系式，能利用等差數(shù)列解決實(shí)際問題．
【詳解】設(shè)子n代中占比為，則占比為，
所以，則子代的基因型如下表所示：
由表可知，表格中總份數(shù)為（其中淘汰了份），
因此子代中的占比為，
化簡得，即，即，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，，因此．
故答案為：.
14．
【分析】
根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合橢圓的定義以及三角形的面積公式可得，再由正弦定理結(jié)合等面積法可得的外接圓的半徑為R，列出方程即可得到的關(guān)系，由離心率公式即可得到結(jié)果.
【詳解】

因為，且，，
所以
，
所以，
所以的面積．
設(shè)的外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，
由正弦定理可得，可得．
易知的周長，
利用等面積法可知，解得．
又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，
所以，即，
所以，故離心率．
故答案為：
15．(1)；
(2).
【分析】
（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息結(jié)合正弦定理邊化角，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
于是，解得，
在中，，由，得，
所以當(dāng)時，取得最大值．
16．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）運(yùn)用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)F，連接，，
因為D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，
所以，．
又因為平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面．
因為，，平面，
所以平面平面．
又因為平面，所以平面．
（2）如圖，連接，．因為E，O分別為，的中點(diǎn)，所以，且，
又因為D為的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以．
因為平面，所以平面．
又因為平面，所以，可得．
因為是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面，
以A為原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，可得，，，，
則，，，．
設(shè)平面的法向量為，則，
即，取，可得，，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，
即，取，可得，，
所以．
，
所以平面與平面的夾角的正弦值為．
17．(1)
(2)（i）；（ii）時，．
【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求得答案；
（2）（i）由古典概型結(jié)合對立事件的概率公式即可求得答案；
（ii）由n次獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識即可求解.
【詳解】（1）因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，
故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．
（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．
（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，
所以，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為．
由，且，得．
當(dāng)時，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．
18．(1)答案見解析
(2)．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，分離變量可得恒成立，進(jìn)而，即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)，的定義域為，且．
當(dāng)時，，恒成立，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）設(shè)，則，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
依題意，，恒成立，即恒成立，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，
所以存在，使得成立．
所以，即a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
19．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求雙曲線方程；
（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，線段的長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.
【詳解】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點(diǎn)，
，，
，解得．
，
，，
雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①當(dāng)直線經(jīng)過雙曲線的頂點(diǎn)時直線的斜率不存在，此時直線方程為，
此時易得，點(diǎn)到直線的距離為，所以此時；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，
由得，
因為直線于雙曲線相切，所以且，
整理得且，即，
由得，則，
同理得到，
所以
點(diǎn)到直線的距離
所以，
所以的面積為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.
雌
雄

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2023屆河北省滄州市高三下學(xué)期調(diào)研性模擬數(shù)學(xué)試題含解析
河北省滄州市2023屆高三下學(xué)期調(diào)研性模擬數(shù)學(xué)試題

河北省滄州市2023屆高三下學(xué)期調(diào)研性模擬數(shù)學(xué)試題
河北省滄州市2023屆高三下學(xué)期調(diào)研性模擬數(shù)學(xué)試題(含答案)

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