河北省邯鄲市2024屆高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試考試（一模）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號．回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合目要求的．
1 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
2. 若復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則實數(shù)（）
A. B. C. D. 2
3. 已知向量與共線，則（）
A. B. C. D.
4. 在的展開式中，的系數(shù)為（）
A. B. C. 6D. 192
5. 已知等比數(shù)列的各項互不相等，且，，成等差數(shù)列，則（）
A 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知拋物線的焦點為F，為拋物線上一動點，點，則周長的最小值為（）
A. 13B. 14C. 15D. 16
7. 已知是定義在上的偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）
A. B.
C. D.
8. 已知在四面體中，，二面角的大小為，且點A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點，為棱的中點．若，則（）
A B. C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知雙曲線，則（）
A. 的取值范圍是B. 的焦點可在軸上也可在軸上
C. 的焦距為6D. 的離心率的取值范圍為
10. “阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）
A. 共有18個頂點B. 共有36條棱
C. 表面積為D. 體積為
11. 已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（）
A. 的取值范圍是
B. 若為邊中點，且，則的面積的最大值為
C. 若是銳角三角形，則的取值范圍是
D. 若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為__________．
13. 從分別寫有數(shù)字的張卡片中任取張，設(shè)這張卡片上的數(shù)字之和為，則__________．
14. 記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
16. 某民營學(xué)校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：
（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；
（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
17. 在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點，且．
（1）求四棱錐的高；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知橢圓經(jīng)過，兩點．
（1）求的方程；
（2）若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
19. 已知函數(shù)，．
（1）求曲線在點處的切線方程．
（2）已知關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，其中，．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．年份序號x
1
2
3
4
5
招生人數(shù)y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
邯鄲市2024屆高三年級第三次調(diào)研考試
數(shù) 學(xué)
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標號．回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡集合結(jié)合交集的概念即可得解.
詳解】，，所以．
故選：C.
2. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡，再利用復(fù)數(shù)的分類即可得解.
【詳解】因為，
又為純虛數(shù)，所以，解得.
故選：C.
3. 已知向量與共線，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標公式建立方程，解得參數(shù)，結(jié)合向量的坐標運算，可得答案.
【詳解】因為，所以，解得，
所以．
故選：B.
4. 在的展開式中，的系數(shù)為（）
A. B. C. 6D. 192
【答案】A
【解析】
【分析】利用二項展開式的通項公式求解即可.
【詳解】的展開式的通項為，
令，得，
所以的系數(shù)為．
故選：A.
5. 已知等比數(shù)列的各項互不相等，且，，成等差數(shù)列，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項的性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式得到方程求出，即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，成等差數(shù)列，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以．
故選：D
6. 已知拋物線的焦點為F，為拋物線上一動點，點，則周長的最小值為（）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】過及作準線垂線，利用拋物線定義把周長問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用三點共線時距離和最小求解即可.
【詳解】由題知，準線方程為.如圖，過作準線的垂線，垂足為，
過作準線的垂線，垂足為，
所以的周長，
當為與拋物線的交點時等號成立，即周長的最小值為13.
故選：A
7. 已知是定義在上的偶函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得在上單調(diào)遞減，進一步通過偶函數(shù)性質(zhì)以及將自變量都轉(zhuǎn)換到區(qū)間內(nèi)，然后比較分數(shù)指數(shù)冪以及對數(shù)的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為是偶函數(shù)，，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減．，，
因為，，所以，，
所以，
所以，故．
故選：B.
8. 已知在四面體中，，二面角的大小為，且點A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點，為棱的中點．若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，確定點的位置和坐標，即可求解.
【詳解】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，

所以，又易知，所以是等邊三角形．
設(shè)為的外心，為的中點，連接，則點O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標系如圖．
設(shè)，則，，所以．
又，所以，因為，易知，
則，，從而，．

故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知雙曲線，則（）
A. 的取值范圍是B. 的焦點可在軸上也可在軸上
C. 的焦距為6D. 的離心率的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項，計算易得C項，先算出離心率的表達式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.
【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；
對于B，由A項可得，故，的焦點只能在軸上，故B錯誤；
對于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；
對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯誤．
故選：AC.
10. “阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進行“截角”得到如圖，正八面體的棱長為3，取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）
A. 共有18個頂點B. 共有36條棱
C. 表面積為D. 體積為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式以及正四棱錐的體積公式，可得答案.
詳解】由圖可知該多面體有24個頂點，36條棱，故A錯誤，B正確；
該多面體的棱長為1，且表面由6個正方形和8個正六邊形組成，
故該多面體的表面積為，故C錯誤；
正八面體可分為兩個全等的正四面體，其棱長為，
過作平面于，連接，如下圖：
因為平面，且平面，所以，
正方形中，由邊長為，則對角線長為，則，
在中，，則，
正八面體的體積為，
切割掉6個棱長均為1的正四棱錐，減少的體積為，
所以該阿基米德多面體的體積為，故D正確．
故選：BD.
11. 已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為，則下列說法正確的是（）
A. 的取值范圍是
B. 若為邊的中點，且，則的面積的最大值為
C. 若是銳角三角形，則的取值范圍是
D. 若角的平分線與邊相交于點，且，則的最小值為10
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助面積公式與余弦定理由題意可得，對A：借助三角恒等變換公式可將其化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得；對B：借助向量數(shù)量積公式與基本不等式即可得；對C：借助正弦定理可將其化為與角有關(guān)的函數(shù)，結(jié)合角度范圍即可得解；對D：借助等面積法及基本不等式計算即可得.
【詳解】由題意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
對A，
，
，，，
的取值范圍為，故A正確；
對B，為邊的中點，，
則，
，當且僅當時，等號成立，
，故B正確；
對于C，，
是銳角三角形，，
，，故C正確；
對于D，由題意得，
即，
整理得，即，
，
當且僅當時，等號成立，故D錯誤．
故選：ABC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角形中的最值與范圍問題，主要思考方向有兩個，一個是借助余弦定理得到邊之間的關(guān)系，從而通過基本不等式求解，一個是借助正弦定理將邊化為角，通過三角形中角的關(guān)系將多個變量角化為單變量，借助函數(shù)性質(zhì)得到范圍或最值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性與周期性得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，
所以，則，故，
又，所以，，，…．.
故答案為：（答案不唯一）.
13. 從分別寫有數(shù)字的張卡片中任取張，設(shè)這張卡片上的數(shù)字之和為，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意分析離散型隨機變量的所有取值，求出概率分布列計算期望即可．
【詳解】從分別寫有數(shù)字的張卡片中任取張卡片的所有種結(jié)果中，
，
張卡片上的數(shù)字之和分別為：，
所以．
故答案為：
14. 記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為__________．
【答案】2
【解析】
【分析】分是否大于進行討論，由此即可簡化表達式，若，則可以得到，并且存在，，使得，，同理時，我們可以證明，由此即可得解.
【詳解】若，則，此時，
因為，所以和中至少有一個小于等于2，
所以，又當，時，，
所以的最大值為2．
若，則，此時，
因為，所以和中至少有一個小于2，
所以．
綜上，的最大值為2．
故答案為：2.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是分是否大于進行討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可順利得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意首先得結(jié)合是公差為的等差數(shù)列可求得，根據(jù)之間的關(guān)系即可進一步求解；
（2）首先得，由裂項相消法即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，
所以，即．
當時，，
又適合上式，
所以．
【小問2詳解】
，
故
．
16. 某民營學(xué)校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：
（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；
（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
【答案】（1）證明見解析
（2），2.8千人．
【解析】
【分析】（1）求出，代入求出相關(guān)系數(shù)即可；
（2）根據(jù)公式求出，再求出，則得到回歸直線方程，再代入數(shù)據(jù)預(yù)測即可.
【小問1詳解】
由題意知，，
，
所以，
因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
【小問2詳解】
，，
所以關(guān)于的回歸直線方程為．
當時，，
由此預(yù)測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)為2.8千人．
17. 在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點，且．
（1）求四棱錐的高；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）過作的平行線，與的延長線交于點，連接，，通過證明，來證明為四棱錐的高，從而求解；
（2）建立空間直角坐標系求解即可.
【小問1詳解】
如圖，過作的平行線，與的延長線交于點，連接，．
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，，，
四邊形為矩形，，
為棱的中點，，從而，
又因為，，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面．
為四棱錐的高，即，
四棱錐的高為；
【小問2詳解】
由（1）知，，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)是平面的法向量，
則可取，
設(shè)是平面的法向量，
則可取，
所以，
所以二面角的正弦值為.
18. 已知橢圓經(jīng)過，兩點．
（1）求的方程；
（2）若圓兩條相互垂直的切線均不與坐標軸垂直，且直線分別與相交于點A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）依據(jù)橢圓經(jīng)過兩點，將點的坐標代入橢圓方程，待定系數(shù)法解方程即可；
（2）設(shè)其中一條的斜截式方程，首先由直線與圓相切，得出直線的斜率與截距關(guān)系；再設(shè)而不求，用韋達定理表示出兩條直線與橢圓相交的弦長，再利用條件知兩弦垂直，故四邊形的面積，利用弦長將面積表示成其中一條直線斜率的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.
【小問1詳解】
因為過點，，
所以解得
故的方程為．
【小問2詳解】
由題知的斜率存在且不為0．
設(shè)．
因為與圓相切，所以，得．
聯(lián)立與的方程，可得，
設(shè)，，則，．
所以，
將代入，可得．
用替換，可得．
四邊形的面積．
令，則，可得，
再令，，則，可得，
即四邊形面積的最小值為．
19. 已知函數(shù)，．
（1）求曲線在點處的切線方程．
（2）已知關(guān)于的方程恰有4個不同的實數(shù)根，其中，．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，繼而可得切線斜率為在的導(dǎo)數(shù)值，由，結(jié)合直線的點斜式，可求出切線方程；
（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有三個不同交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；
（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
，
所以，
又，所以曲線在點處的切線方程為．
【小問2詳解】
（i）由，得，該方程有一根為，且，
所以即有3個不同的實數(shù)根，且這3個實數(shù)根均不為．
令，則，
所以當時，，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，且當無限趨近于時，且趨近于0，
當從0的左側(cè)無限趨近于0時，趨近于，當從0的右側(cè)無限趨近于0時，趨近于，
當無限趨近于時，的增速遠大于的增速，所以趨近于．
故的大致圖象如圖所示：
又，所以當時，直線與曲線有3個不同的交點，且這3個交點的橫坐標均不為，所以的取值范圍為．
（ii）由（i）知，，所以，，
所以，則，
要證，只需證，
不妨設(shè)，所以，所以，則只需證．
令，則，令，
則當時，，
所以上單調(diào)遞增，所以，
所以當時，恒成立，所以原不等式得證.
【點睛】思路點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在某點處切線方程、方程根的個數(shù)問題和極值點偏移問題的求解；本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而通過構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于的不等式恒成立.
年份序號x
1
2
3
4
5
招生人數(shù)y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2

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