2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
（模擬精練+真題演練）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來(lái)精確度量音程，音分是度量不同樂(lè)音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（ ）
A．400B．500C．600D．800
【答案】C
【解析】由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，
設(shè)第一個(gè)音為，所以，故，
因?yàn)?，所?
故選：C
2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃┰O(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?
所以，
解得.
，，解得.
故選：D
3．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值為9；
故選：C.
4．（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，所以，解得，則．
故選：B
5．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，則（ ）
A．40B．81C．121D．156
【答案】C
【解析】設(shè)公比為，
由可得，，
因?yàn)?，所以，因?yàn)椋獾茫?br>所以，所以.
故選：C.
6．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足a1＝，an+1＝2an，易知，
所以為常數(shù)，又，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以，
故選：C．
7．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由可得，又，
故，則，解得，即.
故選：D
8．（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)其公比為，則，，
所以，得，解得，
因?yàn)椋?，則，即，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故選：B.
9．（多選題）（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其大意為：一根一尺長(zhǎng)的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根據(jù)題意可得是首項(xiàng)為，公比為的等差數(shù)列，則，
，故A錯(cuò)誤；，故B正確；
，，則，故C正確；
，故D正確．
故選：BCD．
10．（多選題）（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列
C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則
D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列
【答案】BD
【解析】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則,
顯然當(dāng)才相等，故A錯(cuò)誤，
而，作差可得成立，故B正確；
若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)其公比為q，
則，作商可得或所以 或，故C錯(cuò)誤；
由題意得各項(xiàng)均不為0，而實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，
即且，結(jié)合選項(xiàng)B的計(jì)算可得，故D正確.
故選：BD.
11．（多選題）（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為，每個(gè)月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，可知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由題意可得：，
即，且，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則，
可得，
當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，
故，
可得，即數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，
可得，
綜上可得：，，，.
故B、C正確，A、D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．（多選題）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（ ）
A．B．當(dāng)時(shí)，最小
C．當(dāng)時(shí)，最小D．存在，使得
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，∵，，∴，又，，
∴，故A正確；
對(duì)于B，C，等比數(shù)列滿足，公比，，
， ， ， 為遞增數(shù)列，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，，
又，，
，，
∵，，
，∴，
∵，，，∴，，
，即，
為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，最小，故B錯(cuò)誤，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，為遞增數(shù)列，，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC
13．（2023·河北·校聯(lián)考三模）若數(shù)列為等比數(shù)列，則_______．
【答案】4
【解析】由題意得，，解得，，
故.
故答案為：4
14．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為_(kāi)_________.
【答案】7
【解析】由的公比為 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值為7，
故答案為：7
15．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃?shù)列滿足下列條件：，且，恒有，則______．
【答案】
【解析】，



，
故答案為：．
16．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，當(dāng)時(shí)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在所有的線段上，則_________.
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，
則數(shù)列滿足，，，
所以，，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
當(dāng)時(shí)，
，
也滿足，故對(duì)任意的，.
所以，.
故答案為：.
17．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）若選①，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，，即，
又，所以，
故也滿足，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；
若選②，因?yàn)椋?br>所以
，故.
（2）由（1）知，
則，①
，②
兩式相減得
，
故.
18．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求和.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，成等比?shù)列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
19．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和滿足：，，（為常數(shù)，且）．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若當(dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，求的表達(dá)式．
【解析】（1）因?yàn)?，即?br>所以，而，
所以，即，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以．
因?yàn)楫?dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，所以，
即，解得．
所以．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以先增后減，
在和時(shí)取得最大值，符合題意．
此時(shí)．
20．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若分別從下表的第一、二、三列中各取一個(gè)數(shù)，依次作為等比數(shù)列{}的，，；分別從下表的第一、二、三行中各取一個(gè)數(shù)，依次作為等差數(shù)列的，，．
(1)請(qǐng)寫出數(shù)列{}，{}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{}單調(diào)遞增，設(shè)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為．求證：．
【解析】（1）由題意，取，可得公比，則，
取，可得公差，則；
取，可得公差，則；
取，可得公差，則；
取，可得公差，則.
（2）由{}單調(diào)遞增，
若時(shí)，，則，
所以，
兩式相減，則，
所以，而，故；
若時(shí)，，則，
所以，
兩式相減，則，
所以，而，故.
綜上，.
21．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.①，②，其中.
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足①，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，②
②-①得，即
因，所以，從而，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以.
因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足.所以.
設(shè)公差為，則，解得.
所以.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）若選①，則有.
所以取出的項(xiàng)就是原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，
所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以；
若選②，則有，
因?yàn)?br>所以當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，
由二項(xiàng)展開(kāi)式可知
能被3 整除，
此時(shí)為整數(shù)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，
由二項(xiàng)展開(kāi)式可知
所以除以3 的余數(shù)是1，不能整除，即此時(shí)不是整數(shù)，不滿足題意；
所以取出的項(xiàng)就是原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，
所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以.
22．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知的等差中項(xiàng)為.
(1)求證為等比數(shù)列；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在整數(shù)滿足？若存在求，否則說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)榈牡炔钪许?xiàng)為，所以，
因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，
由得，
又，兩式相減得，即，
所以有，所以，
所以是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以，所以.
1．（2022?乙卷（文））已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則
A．14B．12C．6D．3
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由題意，．
前3項(xiàng)和為，，
，，
則，
故選：．
2．（2021?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則
A．7B．8C．9D．10
【答案】
【解析】為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，
，2，成等比數(shù)列，
，解得．
故選：．
3．（2021?甲卷（理））等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】
【解析】若，，則，則是遞減數(shù)列，不滿足充分性；
，
則，
，
若是遞增數(shù)列，
，
則，，
滿足必要性，
故甲是乙的必要條件但不是充分條件，
故選：．
4．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則
A．12B．24C．30D．32
【答案】
【解析】是等比數(shù)列，且，
則，即，
，
故選：．
5．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故選：．
6．（2019?新課標(biāo)Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則
A．16B．8C．4D．2
【答案】
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則由前4項(xiàng)和為15，且，有
，，
．
故選：．
7．（2023?乙卷（理））已知為等比數(shù)列，，，則 ．
【答案】．
【解析】等比數(shù)列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案為：．
8．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ．
【答案】189．
【解析】等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，
．
故答案為：189．
9．（2023?甲卷（理））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為 ．
【答案】．
【解析】等比數(shù)列中，，
則，
所以，
解得．
故答案為：．
10．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則 ．
【答案】．
【解析】在等比數(shù)列中，由，得，
即，，
則，
故答案為：
11．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則 ．
【答案】．
【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，
，，
整理可得，，
解可得，，
則．
故答案為：
12．（2020?北京）已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：
①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，，在中都存在一項(xiàng)，使得；
②對(duì)于中任意一項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)，，使得．
（Ⅰ）若，2，，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若，2，，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列．
【解析】（Ⅰ）不滿足，理由：，不存在一項(xiàng)使得．
（Ⅱ）數(shù)列同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，
理由：對(duì)于任意的和，滿足，因?yàn)?，且，所以，則必存在，此時(shí)，且滿足，性質(zhì)①成立，
對(duì)于任意的，欲滿足，滿足即可，因?yàn)?，，且?br>所以可表示所有正整數(shù)，所以必有一組，使，即滿足，性質(zhì)②成立．
（Ⅲ）首先，先證明數(shù)列恒正或恒負(fù)，
反證法：假設(shè)這個(gè)遞增數(shù)列先負(fù)后正，
那么必有一項(xiàng)絕對(duì)值最小或者有與同時(shí)取得絕對(duì)值最小，
如僅有一項(xiàng)絕對(duì)值最小，此時(shí)必有一項(xiàng)，此時(shí)
與前提矛盾，
如有兩項(xiàng)與 同時(shí)取得絕對(duì)值最小值，那么必有，
此時(shí)，與前提條件矛盾，
所以數(shù)列必然恒正或恒負(fù)，
在數(shù)列恒正的情況下，由②知，存在，且，
因?yàn)槭沁f增數(shù)列，，使得，
即，所以，此時(shí)，，成等比數(shù)列，
數(shù)學(xué)歸納法：
（1）已證時(shí)，滿足是等比數(shù)列，公比，
（2）假設(shè)時(shí)，也滿足是等比數(shù)列，公比，
那么由①知等于數(shù)列的某一項(xiàng)，證明這一項(xiàng)為即可，
反證法：
假設(shè)這一項(xiàng)不是，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以該項(xiàng)，
那么，由等比數(shù)列得，第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8

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