注意事項：
1.答卷前，考生勿將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A.18B.27C.45D.63
4.若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項是（ ）
A.7B.8C.9D.10
5.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（ ）
圖1圖2
A.B.C.D.
6.已知函數(shù)的兩個零點分別為，，若，，三個數(shù)適當(dāng)調(diào)整順序后可為等差數(shù)列，也可為等比數(shù)列，則不等式的解集為（ ）
A.B.
C.D.
7.已知，，，則有（ ）
A.B.C.D.
8.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點，，且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知直線，，平面，，則下列說法錯誤的是（ ）
A.，，則
B.，，，，則
C.，，，則
D.，，，，，則
10.如圖，已知拋物線的焦點為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，過點的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于，兩點（在軸的上方，在軸的下方），過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，則（ ）
A.當(dāng)直線的斜率為1時，
B.若，則直線的斜率為2
C.存在直線使得
D.若，則直線的傾斜角為
11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù).則（ ）
A.
B.
C.是與的等差中項
D.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為______.
13.在四面體中，，，若，則四面體體積的最大值是______，它的外接球表面積的最小值為______.
14.已知反比例函數(shù)圖象上三點，，的坐標(biāo)分別，與，過作直線的垂線，垂足為.若恒成立，則的取值范圍為______.
四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15.（13分）某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標(biāo)號為，，的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語.每次隨機抽取2個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲.已知標(biāo)號為1，2，3的小球個數(shù)比為，且取到異號球的概率為.
（1）求盒中2號球的個數(shù)；
（2）若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應(yīng)獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨立）
16.（15分）“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：
已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點為的費馬點，求.
17.（15分）如圖，正方體的棱長為2，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點，在正方形的內(nèi)切圓上任取一點.
（1）若，，分別是棱，，的中點，，求棱和平面所成角的余弦值；
（2）求的最小值與最大值.
18.（17分）如圖，已知拋物線，點，過點任作兩條直線，分別與拋物線交于，與，.
（1）若，的斜率分別為，，求四邊形的面積；
（2）設(shè)，，，
（i）找到，滿足的等量關(guān)系；
（ii），交于點，證明：點在定直線上.
19.（17分）置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合，的函數(shù)稱為次置換.滿足對任意，的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對于，我們可用列表法表示此置換：，記，，，…，，，.
（1）若，，計算；
（2）證明：對任意，存在，使得為恒等置換；
（3）對編號從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯插入，即第1張不動，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請說明理由.
長沙市一中2024屆高考適應(yīng)性演練（一）
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.A
【解析】由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
故選：A.
2.A
【解析】由，對應(yīng)點為在第一象限.
故選：A
3.C
【解析】由題意得，，成等差數(shù)列，
即，，成等差數(shù)列，
即，解得.
故選：C
4.A【解析】因為為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，
，所以，
二項式的通項公式為，
令，所以常數(shù)項為，
故選：A
5.D
【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：
圖中，，，
過點向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺的高，
則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：
，
故選：D.
6.A
【解析】由函數(shù)的兩個零點分別為，，
即，是的兩個實數(shù)根據(jù)，則，
因為，，可得，，
又因為，，適當(dāng)調(diào)整可以是等差數(shù)列和等比數(shù)列，
不妨設(shè)，可得，解得，，
所以，，所以，，
則不等式，即為，解得，所以不等式的解集為.
故選：A.
7.C
【解析】令，，則.
當(dāng)時，有，，所以，
所以，在上恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，，即，所以
令，，則在時恒大于零，故為增函數(shù)，
所以，，而，所以，
所以，
故選：C
8.D
【解析】設(shè)雙曲線焦距為，則、，
不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：
因為直線與直線垂直，則直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點，
所以，，
因為，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故該雙曲線的漸近線方程為.
故選：D.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.ABC
【解析】選項A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯誤；
選項B中，與也可能相交，故B錯誤；
選項C中，與也可能相交，故C錯誤；
選項D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確.
故選：ABC.
10.AD
【解析】易知，可設(shè)，設(shè)，，
與拋物線方程聯(lián)立得，
則，，
對于A項，當(dāng)直線的斜率為1時，此時，
由拋物線定義可知，故A正確；
易知是直角三角形，若，
則，
又，所以為等邊三角形，即，
此時，故B錯誤；
由上可知
，
即，故C錯誤；
若，
又知，，所以，
則，即直線的傾斜角為，故D正確.
故選：AD
11.ACD
【解析】因為，所以，
兩式相減得，所以的周期為4.
因為是奇函數(shù)，
所以，所以，
即，
令，得.因為，
令，得，所以，即.
因為，
令，得，所以，
所以，所以，故A正確.
因為，所以，
即，所以.
因為，，
所以B錯誤.
因為，，
所以，
所以是與的等差中項，故C正確.
因為，
所以，故D正確.
故選：ACD
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.
【解析】由題設(shè)，
所以.
故答案為：
13.①.②.
【解析】由余弦定理可得，
故，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，
故面積的最大值為，
，
由于，所以點在以為直徑的球上（不包括平面），
故當(dāng)平面平面時，此時最大為半徑，
故，
由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，
設(shè)四面體外接球半徑為，則，
其中，分別為球心和外接圓的圓心，
故當(dāng)時，此時最小，
故外接球的表面積為，
故答案為：，
14.
【解析】由題意得：反比例函數(shù)為，因為點在反比例函數(shù)圖象上，
所以，，
所以，
記，
由題意得：恒成立，
當(dāng)，則，解得：，由于，故；
下面證明當(dāng)時，恒成立，即
因為是開口向上的二次函數(shù)，
所以
；
②，
令，則，開口向下，對稱軸為，
故在上單調(diào)遞減，
故.
所以當(dāng)時，恒成立，故的取值范圍是
故答案為：
四、解答題（本題共6小題，共70分）
15.解：（1）由題意可設(shè)，，號球的個數(shù)分別為，，，
則取到異號球的概率，
，即.解得.
所以盒中2號球的個數(shù)為4個.
（2）若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，
因為猜對謎語的概率相互獨立，記為甲獲得的獎金總額，
則可能的取值為0元，100元，600元，
，
，
.
的分布列為
的均值為，
若甲先回答3號球再回答1號球，因為猜對謎語的概率相互獨立，
記為甲獲得的獎金總額，則可能的取值為0元，500元，600元，
.
的分布列為
的均值為，
因為，所以推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語.
16.解：（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三個角都小于，
則由費馬點定義可知：，
設(shè)，，，由
得：，整理得，
則
17.解：（1）以正方體的中心為原點，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量，
則有，
令，則，，所以，
所以
所以棱和平面所成角的余弦值為.
（2）由條件，可設(shè)，，，
記，，，則
①（其中）
記，先求的最小值：
由①及均值不等式，
所以
所以
所以當(dāng)時，可取到最小值.
再求的最大值：
由①知
所以
由柯西不等式，
，即，
故當(dāng)時，可取到最大值.
綜上所述，的最小值為，最大值為.
18.解：（1）由已知，，
聯(lián)立直線與拋物線得，
設(shè)，，則，，
所以，
聯(lián)立直線與拋物線得，
設(shè)，，則，，
所以，
因為，所以.
（2）（i）因為，所以的直線方程為，
整理得，因為過點，
所以①，
因為過點，所以；
（ii）證明：由（i）同理可得②，
同理可得，，
聯(lián)立與方程，解出點坐標(biāo)，
，，
由①②得，代入點縱坐標(biāo)
則
，
所以點坐標(biāo)在直線上.
19.解：（1），
由題意可知，；
（2）解法一：①若，則為恒等置換；
②若存在兩個不同的，使得，不妨設(shè)，，則.
所以，即為恒等置換；
③若存在唯一的，使得，不妨設(shè)，
則或.
當(dāng)時，由（1）可知為恒等置換；
同理可知，當(dāng)時，也是恒等置換；
④若對任意的，，
則情形一：或或；
情形二：或或
或或或；
對于情形一：為恒等置換；
對于情形二：為恒等置換；
綜上，對任意，存在，使得為恒等置換；
解法二：對于任意，都有，，，，
所以，，，中，至少有一個滿足，
即使得的的取值可能為，，，.
當(dāng)分別取，，，時，記使得的值分別為，，，，
只需取為，，，的最小公倍數(shù)即可.
所以對任意，存在，使得為恒等置換；
（3）不妨設(shè)原始牌型從上到下依次編號為1到52，則洗牌一次相當(dāng)于對作
一次如下置換：，即
其中，，…，.
注意到各編號在置換中的如下變化：
，，
，
，
，
，
，
，
，
所有編號在連續(xù)置換中只有三種循環(huán)：一階循環(huán)2個，二階循環(huán)2個，八階循環(huán)48個，注意到，，的最小公倍數(shù)為8，由此可見，最少8次這樣的置換即為恒等置換，故這樣洗牌最少8次就能恢復(fù)原來的牌型.球號
1號球
3號球
答對概率
0.8
0.5
獎金
100
500
0
100
600
0.2
0.4
0.4
0
500
600
0.5
0.1
0.4

相關(guān)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高一下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題：

這是一份2022-2023學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高一下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題，文件包含湖南省長沙市長郡中學(xué)高一下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題原卷版docx、湖南省長沙市長郡中學(xué)高一下學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共25頁， 歡迎下載使用。

2023年湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題及答案：

這是一份2023年湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題及答案，共12頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題：

這是一份湖南省長沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題，文件包含數(shù)學(xué)答案pdf、湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023屆高三下學(xué)期月考八數(shù)學(xué)試題docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

湖南省長沙市雅禮中學(xué)2021屆高三下學(xué)期高考模擬(一)數(shù)學(xué)試題

湖南省長沙市雅禮中學(xué)2021屆高三下學(xué)期高考模擬(一)數(shù)學(xué)試題
2022屆湖南省長沙市高三新高考適應(yīng)性考試（1月）數(shù)學(xué)試題含答案

2022屆湖南省長沙市高三新高考適應(yīng)性考試（1月）數(shù)學(xué)試題含答案
湖南省長沙市2022屆高三新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

湖南省長沙市2022屆高三新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題
湖南省長沙市2021-2022學(xué)年高三新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案

湖南省長沙市2021-2022學(xué)年高三新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部