注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊(cè).
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A.1或B.C.1D.0
2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A.15B.10C.25D.20
3.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A.4B.16C.12D.8
4.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（ ）
A.B.C.D.
5.已知直線與拋物線：（）交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
6.給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A.若向量，，共面，則它們所在的直線共面
B.已知，若，，，四點(diǎn)共面，則
C.為單位向量
D.已知向量，，則在上的投影向量為
7.已知數(shù)列滿足，（），則滿足的的最小取值為（ ）
A.5B.6C.7D.8
8.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的左頂點(diǎn)，，（在第一象限）是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，直線與雙曲線的右支交于另一點(diǎn)，且，的周長(zhǎng)為20，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A.若，則B.
C.D.
10.已知圓：，圓：，則（ ）
A.兩個(gè)圓心所在直線的斜率為
B.兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為
C.過(guò)點(diǎn)作直線使圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則直線的方程為
D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，則直線的方程為
11.如圖，該形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.（）
C.D.數(shù)列的前100項(xiàng)和為
12.如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.若，則與的夾角為
B.若，，則平面
C.若，，則四面體的外接球的表面積為
D.若，，則三棱錐的體積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.過(guò)點(diǎn)且橫截距是縱截距2倍的直線方程為______.（寫成一般式方程）
14.已知函數(shù)，若，則______.
15.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則______.
16.已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，不等式成立，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）
已知圓：，直線：.
（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).
（2）設(shè)直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值.
18.（12分）
已知函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且.
（1）求，的值；
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.
19.（12分）
已知函數(shù)（）.
（1）討論的極值；
（2）求在上的最小值.
20.（12分）
若數(shù)列滿足，（）.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21.（12分）
如圖，在四棱錐中，，且，，，，，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面.
（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
22.（12分）
已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為4.
（1）求橢圓的方程.
（2）平行于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為，且，位于軸兩側(cè)，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.證明：為定值.
河北省強(qiáng)基名校聯(lián)盟高二年級(jí)第二學(xué)期開學(xué)聯(lián)考
數(shù)學(xué)試卷參考答案
1. B 【詳解】若直線與直線平行，則需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，因此.故選B.
2. A 【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，
則，則.故選A.
3. B 【詳解】由，可得，根據(jù)橢圓的定義得，
所以.故選B.
4. D 【詳解】由已知得
.故選D.
5. A 【詳解】，.，，直線的方程為.
設(shè)，，由得，，.
，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A.
6. D 【詳解】對(duì)于A，直線可以是異面直線；對(duì)于B，若與，，，共面，則系數(shù)和不確定；對(duì)于C，，不是單位向量；對(duì)于D，在上的投影向量為.故選D.
7. C 【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.由，得，即，解得.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為7.故選C.
8. C 【詳解】設(shè)雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，則，所以，所以.因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于另一點(diǎn)，所以，，即，，則的周長(zhǎng)為，所以，則，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選C.
9. AC 【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選AC.
10. AD 【詳解】根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑.
圓：，即，其圓心為，半徑，
則兩個(gè)圓心所在直線的斜率，故A正確；
圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故B不正確；
因?yàn)閳A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到的距離為1，所以點(diǎn)到的距離為3，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，滿足題意，故C不正確；
連接，（圖略），則，，，四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，
而圓：，且為圓與圓的公共弦，
兩式相減得直線的方程為，故D正確.故選AD.
11. ACD 【詳解】對(duì)于A，，，，，A正確.
對(duì)于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知（），B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足，（）.
，
，C正確.
對(duì)于D，，則其前100項(xiàng)和為，D正確.故選ACD.
12. BC 【詳解】對(duì)于A，若，則在線段（不含）上，與的夾角為，向量與的夾角為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如圖1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
圖1
則，，，，，，，
則，，，
則，，
又，，所以，，
則是平面的一個(gè)法向量，所以平面，故B正確；
對(duì)于C，若，，則點(diǎn)即點(diǎn)，連接，
由正方體的性質(zhì)可知幾何體是側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，
而底面是直角三角形，易得，
所以外接圓的半徑，
設(shè)其外接球的半徑為，則，
所以四面體即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；
對(duì)于D，若，，則為的中點(diǎn)，如圖2，取點(diǎn)，滿足，連接，易知，故，也可以將三棱錐的高轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，用空間向量求解，故D錯(cuò)誤.故選BC.
圖2
13.或 【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為（），即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，解得，此時(shí)直線的方程為.因此，所求直線方程為或.
14. 【詳解】由，倒序相加可得，則.
15. 【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，所以.又，所以.設(shè)，則.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，即.（或由，得）
故拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，
所以直線的方程為.
聯(lián)立方程得，解得，，
所以.（或）
16. 5 【詳解】令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式成立，
所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由題意得，且，
所以是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
所以，所以，所以.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上式顯然成立.
當(dāng)時(shí)，，令（），
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以正整數(shù)的最大值為5.
17.【詳解】（1）直線的方程可化為，…………2分
聯(lián)立解得故直線恒過(guò)定點(diǎn).…………4分
（2）可化為，則圓心為，.
設(shè)圓心到直線的距離為，要使直線被圓截得的線段長(zhǎng)度最小，則需最大，
當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，取得最大值，最大值為的線段長(zhǎng)度.
因?yàn)?，所以，解?…………6分
由兩點(diǎn)間距離公式可得，…………7分
所以直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為.…………8分
綜上，弦長(zhǎng)的最小值為，對(duì)應(yīng)的值為.…………10分
18.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①.
又，，所以②，…………3分
由①②解得，.…………5分
（2）由（1）知，
設(shè)所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，…………7分
所以切線方程為，…………8分
又切線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，…………10分
所以切點(diǎn)為，切線方程為.
故曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為.…………12分
19.【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)?，?…………1分
①若，則，所以在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值；…………2分
②若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，…………4分
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值. …………5分
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；…………7分
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；…………9分
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.…………11分
綜上，…………12分
20.【詳解】（1）由，知（），
兩式相減得（），…………2分
則，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列. …………4分
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即.又不適合上式，
所以…………6分
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，…………7分
，
，
兩式相減得
，…………10分
…………11分
所以，又符合式子，
所以（）. …………12分
21.【詳解】（1）如圖1，取的中點(diǎn)，連接，.
圖1
因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以.
又，所以，又，
所以四邊形為平行四邊形，…………2分
則，又平面，平面，…………3分
所以平面.…………4分
（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接.
圖2
由且，得四邊形是平行四邊形，
所以，又，，所以，
所以.由，得.
在中，，，，
由余弦定理得，
則，又，，所以，
所以，則，又，所以平面.…………6分
在平面內(nèi)作交于.
以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，.
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)（），
則，.…………8分
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則.…………9分
設(shè)平面的法向量為，
則令，則，…………10分
所以，
整理得，解得或，與矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在，使得平面與平面的夾角的余弦值為.…………12分
22.【詳解】（1）由題意知，，.…………2分
又，，，
橢圓的方程為.…………4分
（2）如圖，設(shè)，則的方程為（），令，得，
由得，，，
，即.
又，，…………8分
的方程為，令，得.
設(shè)，則，
，，
，…………10分
代入，化簡(jiǎn)得，即，，得證. …………12分

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