一、選擇題
1．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.1或-1B.-1C.1D.0
2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則( )
A.15B.10C.25D.20
3．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則( )
A.4B.16C.12D.8
4．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于a，則的值為( )
A.aB.C.D.
5．已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
6．給出下列命題，其中正確的命題是( )
A.若向量，，共面，則它們所在的直線共面
B.已知，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則
C.為單位向量
D.已知向量，，則在上的投影向量為
7．已知數(shù)列滿足，，則滿足的n的最小取值為( )
A.5B.6C.7D.8
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，P，QQ在第一象限）是雙曲線C上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，若直線AP與直線AQ的斜率之積為.直線與雙曲線C的右支交于另一點(diǎn)M，且，的周長(zhǎng)為20，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A.若，則
B.
C.
D.
10．已知圓，圓，則( )
A.兩個(gè)圓心所在直線的斜率為
B.兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為
C.過(guò)點(diǎn)作直線l使圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則直線l的方程為
D.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則直線AB的方程為
11．如圖，該形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.
D.數(shù)列的前100項(xiàng)和為
12．如圖，在正方體中，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，，.下列說(shuō)法正確的是( )
A.若，則與的夾角為
B.若，，則平面
C.若，，則四面體的外接球的表面積為
D.若，，則三棱錐的體積為
三、填空題
13．過(guò)點(diǎn)且橫截距是縱截距2倍的直線方程為_(kāi)______.（寫(xiě)成一般式方程）
14．已知函數(shù)，若，則_______.
15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與l交于點(diǎn)D，若，，則_______.
16．已知定義在R上的連續(xù)偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，不等式成立，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則正整數(shù)a的最大值為_(kāi)______.
四、解答題
17．已知圓，直線.
（1）證明:直線l恒過(guò)定點(diǎn).
（2）設(shè)直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)m的值.
18．已知函數(shù)(a，)的圖象過(guò)點(diǎn)，且.
（1）求a，b的值;
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.
19．已知函數(shù).
（1）討論的極值;
（2）求在上的最小值.
20．若數(shù)列滿足，.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
21．如圖，在四棱錐中，，且，，，，，E為PA的中點(diǎn).
（1）證明:平面PDC.
（2）在線段PD（不含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)K，使得平面KEB與平面PDC的夾角的余弦值為?若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由.
22．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為4.
（1）求橢圓C的方程.
（2）平行于x軸的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為P，與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為Q，且P，Q位于y軸兩側(cè)，M，N分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線MP，NP分別與軸交于點(diǎn)E，F(xiàn).證明:為定值.
參考答案
1．答案：B
解析：若直線與直線平行，則需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，因此.故選B.
2．答案：A
解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則，則.故選A.
3．答案：B
解析：由，可得，根據(jù)橢圓的定義得，所以.故選B.
4．答案：D
解析：由已知得.故選D.
5．答案：A
解析：，.，，直線AB的方程為.設(shè)，，由得，，，，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A.
6．答案：D
解析：對(duì)于A，直線可以是異面直線;對(duì)于B，若O與P，A，B，C共面，則系數(shù)和不確定;對(duì)于C，，不是單位向量;對(duì)于D，在上的投影向量為.故選D.
7．答案：C
解析：因?yàn)?，所以，所以，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.由，得，即，解得.因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n的最小值為7.故選C.
8．答案：C
解析：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，則，所以，所以.因?yàn)橹本€與雙曲線C的右支交于另一點(diǎn)M，所以，，即，，則的周長(zhǎng)為，所以，則1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選C.
9．答案：AC
解析：對(duì)于A，若，則，故A正確;對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，，故C正確;對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選AC.
10．答案：AD
解析：根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，圓，即，其圓心為，半徑，則兩個(gè)圓心所在直線的斜率，故A正確;
圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故B不正確;
因?yàn)閳A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，所以點(diǎn)到l的距離為3，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，l的方程為，滿足題意，故C不正確;
連接，（圖略），則，A，，B四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，而圓，且AB為圓與圓的公共弦，兩式相減得直線AB的方程為，故D正確.故選AD.
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A，，，，，A正確.
對(duì)于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知，B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足，.
，
，C正確.
對(duì)于D，，則其前100項(xiàng)和為，D正確.故選ACD.
12．答案：BC
解析：對(duì)于A，若，則P在線段（不含A）上，與的夾角為，向量與的夾角為，故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B，如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，則，，，
則，，又，，
所以，，
則是平面的一個(gè)法向量，所以平面，故B正確;
對(duì)于C，若，，則點(diǎn)P即點(diǎn)D，連接DF，
由正方體的性質(zhì)可知幾何體是側(cè)棱垂直于底面DCF的三棱錐，
而底面DCF是直角三角形，易得，所以外接圓的半徑，
設(shè)其外接球的半徑為R，則，
所以四面體即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確;
對(duì)于D，若，，則P為的中點(diǎn)，如圖2，取點(diǎn)H，滿足，連接FH，易知，故，也可以將三棱錐的高轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距，用空間向量求解，故D錯(cuò)誤.故選BC.
13．答案：或
解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，即;當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線的方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，解得，此時(shí)直線的方程為.因此，所求直線方程為或.
14．答案：
解析：由，倒序相加可得，則.
15．答案：
解析：如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，作，，垂足分別為，，所以.又，所以.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，?（或由，得），故拋物線C的方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以直線AF的方程為.聯(lián)立方程，得，解得，，所以.（或）.
16．答案：5
解析：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式成立，
所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由題意得，且，
所以是奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減.
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
所以，所以，所以.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上式顯然成立.
當(dāng)時(shí)，，令，
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以正整數(shù)a的最大值為5.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）直線l的方程可化為，聯(lián)立解得故直線l恒過(guò)定點(diǎn).
（2）可化為，則圓心為，.
設(shè)圓心C到直線l的距離為d，要使直線l被圓C截得的線段長(zhǎng)度最小，則需d最大，
當(dāng)直線CP垂直于直線l時(shí)，d取得最大值，最大值為的線段長(zhǎng)度.
因?yàn)?，所以，解?
由兩點(diǎn)間距離公式可得，
所以直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為.
綜上，弦長(zhǎng)的最小值為，對(duì)應(yīng)m的值為.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①.
又，，所以②，
由①②解得，.
（2）由（1）知，
設(shè)所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以切點(diǎn)為，切線方程為.
故曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程為.
19．答案：（1）的極小值為，無(wú)極大值
（2）
解析：（1）由題意得的定義域?yàn)?，?
①若，則，所以在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值;
②若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值.
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以;
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以;
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以.
綜上，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，知，
兩式相減得，
則，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列.
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，即.又不適合上式，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
兩式相減得，
所以，又符合式子，
所以.
21．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）如圖1，取PD的中點(diǎn)M，連接ME，CM.因?yàn)镸，E分別為PD，PA的中點(diǎn)，所以.又，所以，又，
所以四邊形CMEB為平行四邊形，則，又平面，平面PDC，所以平面PDC.
（2）如圖2，取DA的中點(diǎn)N，連接CN.
由且，得四邊形NABC是平行四邊形，
所以，又，，所以，
所以.由，得.
在中，，，，
由余弦定理得，
則，又，，所以，
所以，則，又，所以平面PAB.
在平面PAB內(nèi)作交BP于F.
以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，.
假設(shè)存在點(diǎn)K滿足題意，設(shè)，
則，.
設(shè)平面KEB的法向量為，
則
令，則.
設(shè)平面PDC的法向量為，
則令，則，
所以，
整理得，解得或，與矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在K，使得平面KEB與平面PDC的夾角的余弦值為.
22．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由題意知，，.
又，，，
橢圓C的方程為.
（2）如圖，設(shè)，則MP的方程為，令，得，
由得，，，
，即.
又，，
的方程為，令，得.
設(shè)，則，
，，
，
代入，化簡(jiǎn)得，即，，得證.

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