一、單選題
1．“”是“”的（ ）條件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
2．如圖，在四面體中，，，.點在上，且，為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知、分別為隨機(jī)事件A、B的對立事件，，，則下列等式錯誤的是（ ）
A．B．
C．若A、B獨(dú)立，則D．若A、B互斥，則
4．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線：為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的有（ ）

（1）方程，表示的曲線在第二和第四象限；
（2）曲線上任一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過；
（3）曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；
（4）曲線上有個整點橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點.
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（3）（4）
二、填空題
5．已知集合，，則
6．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則z= ．
7．若是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角大小為 ．
8．底面半徑都是3且高都是4的圓錐和圓柱的全面積之比為 ．
9．已知，則= ．
10．某產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：
己知y關(guān)于x的線性回歸方程為，則表格中實數(shù)a的值為 ．
11．高三年級某8位同學(xué)的體重分別為45，50，55，60，70，75，76，80（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是 .
12．某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為 ．
13．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前n項和為，則 ．
14．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則 .
15．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是 ．
16．人臉識別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣木之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點）．已知點，，則的最大值為 ．
三、解答題
17．如圖,棱錐的底面是矩形,PA平面ABCD，,.
(1)求證: 平面;
(2)求點到平面的距離.
18．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，a，b，c為角A，B，C的對邊，且滿足，且，求角A的值，進(jìn)而再求的取值范圍．
19．在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù)現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：
測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；
(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差設(shè)為第題的實測難度，請用和設(shè)計一個統(tǒng)計量，并制定一個標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理．
20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右焦點外別為，，設(shè)P是第一象限內(nèi)上的一點，、的延長線分別交于點、．
（1）求的周長；
（2）求面積的取值范圍；
（3）設(shè)、分別為、的內(nèi)切圓半徑，求的最大值．
21．已知函數(shù)，，令
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)當(dāng)a為正數(shù)且時，，求a的最小值；
(3)若對一切都成立，求a的取值范圍.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
a
50
70
題號
1
2
3
4
5
考前預(yù)估難度
題號
1
2
3
4
5
實測答對人數(shù)
16
16
14
14
4
參考答案：
1．B
【分析】
根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若，則或，解得或，
所以由能夠得到，故充分性成立，
由得不到，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
2．D
【分析】
利用空間向量的線性運(yùn)算及空間向量基本定理，結(jié)合圖像即可得解.
【詳解】由題意可知，，，
所以.
故選：D.
3．A
【分析】
結(jié)合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可.
【詳解】對A，由，故選項A錯誤；
對B，根據(jù)條件概率的乘法公式得，故B正確；
對C，若、獨(dú)立，則,
，故C正確；
對D，若、互斥，則，
，D正確.
故選：A
4．A
【分析】因為，所以與異號，從而可判斷（1）；利用基本不等可判斷（2）；將以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成區(qū)域的面積進(jìn)行比較即可判斷（3）；先確定曲線經(jīng)過點，再將第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點，，逐一代入曲線的方程進(jìn)行檢驗，根據(jù)對稱性即可判斷（4）.
【詳解】對于（1）：因為，所以x與y異號，故圖象在第二和第四象限，正確；
對于（2）：因為，所以，
所以，所以，正確；
對于（3）：以O(shè)為圓點，2為半徑的圓O的面積為，
結(jié)合（2）知然曲線C圍成的區(qū)域的面積小于圓O的面積，錯誤；
對于（4）：將和聯(lián)立，解得，
所以可得圓與曲線C相切于點，，，，
點的位置是圖中的點M，

由曲線的對稱性可知，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點即可，
把，和代入曲線C的方程驗證可知，等號不成立，
所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點，再結(jié)合曲線的對稱性可知，曲線C只經(jīng)過整點，錯誤.
故選：A
5．
【分析】先求解集合中的不等式,再根據(jù)交集的定義即可求解
【詳解】由題,,,,即為
故答案為
【點睛】本題考查交集的定義,考查解絕對值不等式,屬于基礎(chǔ)題
6．
【分析】先求，再把已知變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.
【詳解】，
.
故答案為：.
7．
【分析】先根據(jù)直線方向向量求出斜率，再由直線方向向量和傾斜角關(guān)系求出傾斜角.
【詳解】因為是直線的一個方向向量，所以直線的斜率，
所以直線的傾斜角大小為．
故答案為：．
8．
【分析】利用底面半徑都是3且高都是4，直接求出圓錐或圓柱的全面積，即可確定二者的比值．
【詳解】圓柱與圓錐的底面半徑，
圓柱與圓錐的高，
可得圓錐的母線長為，
則圓錐的全面積為：；
圓柱的全面積為：．
圓錐的全面積與圓柱的全面積之比為：．
故答案為．
【點睛】本題主要考查圓錐與圓柱的性質(zhì)，以及圓錐、圓柱的全面積，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．
【分析】
先令求，再令即可得答案.
【詳解】令得，
令得，
所以.
故答案為：.
10．
【分析】
先求出，代入回歸方程求出，再列方程求實數(shù)a的值.
【詳解】由條件得，
則，
所以，
解得.
故答案為：.
11．
【分析】
根據(jù)百分位數(shù)和古典概型分析運(yùn)算.
【詳解】因為，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6位數(shù)75，
所以選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是.
故答案為：.
12．1200
【分析】
根據(jù)總體密度函數(shù)可知，結(jié)合對稱性求解即可.
【詳解】因為總體密度函數(shù)為：，則，
由得,
所以超過100分 人數(shù)大約為：人，
故答案為：1200.
13．/
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得.
【詳解】為等比數(shù)列，，所以，
為等差數(shù)列，所以．
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，得到，求得，進(jìn)而求得，得到，結(jié)合，即可求得的值.
【詳解】如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，可得陰影部分的面積等于矩形和的面積之和，即，
因為函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，
所以，
又因為圖中陰影部分的面積為，所以，解得，
又由圖象可得，可得，所以，所以，
所以，
因為，可得，即，
因為，所以.
故答案為：
15．
【分析】設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】設(shè)，則，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，取得最小值．
故答案為：．
16．
【分析】
根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點在正方形的邊上運(yùn)動，
因為，由圖可知：
當(dāng)取到最小值，即最大，
點有如下兩種可能：
①點為點A，則，可得；
②點在線段上運(yùn)動時，此時與同向，不妨取，
則；
因為，
所以的最大值為.
故答案為：.
17．（1）見解析；（2）
【分析】（1）證明直線BD所在的向量與平面內(nèi)兩個不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而得到線面垂直；
（2）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜線PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到點到平面的距離．
【詳解】（1）建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,在中, ,,

∴,∴,,∴,,.∵,,即,.又,
∴平面.
（2）由（1）題得,,
設(shè)平面的法向量為,則,,
即,∴.
故平面的法向量可取為.∵,
∴到平面的距離為.
【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
18．(1)
(2)，的取值范圍是
【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.
（2）利用正弦定理、二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.
【詳解】（1）解：由題意，，
由，
解得：，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）解：∵，
∴由正弦定理，，
∵在中，則，
∴，即，
∴
當(dāng)時，；
當(dāng)即時，．
∵，∴．
由（1）知，則，
∵，則，
∴，
∴，
∴，
即的取值范圍是.
綜上知，，的取值范圍是.
19．(1)48
(2)
(3)合理
【分析】（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，于是可求出240人中實測答對第5題的人數(shù)．
（2）的可能取值是0,1,2，根據(jù)超幾何分布即可求出概率和分布列，進(jìn)而求出期望；
（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為240名學(xué)生第題的實測難度．定義統(tǒng)計量，其中為第題的預(yù)估難度. 并規(guī)定：若，則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．計算值即可判斷.
【詳解】（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，
所以估計240人中有人實測答對第5題．
（2）的可能取值是0,1,2，
；；．
的分布列為：
．
（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為240名學(xué)生第題的實測難度．
定義統(tǒng)計量，
其中為第題的預(yù)估難度.
并規(guī)定：若，則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．
.
因為，
所以該次測試的難度預(yù)估是合理的．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解；
（2）設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立橢圓方程消元后，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，換元后可求，代入三角形面積公式即可求解；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及（1）可得，即可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)三角形面積可化為，利用直線與橢圓聯(lián)立求出，代入化簡后利用均值不等式即可求解.
【詳解】（1），為橢圓的兩焦點，且，為橢圓上的點，
，從而的周長為．
由題意，得，即的周長為.
（2）由題意可設(shè)過的直線方程為，
聯(lián)立，消去x得，
則，
所以，
令，
則（當(dāng)時等號成立，即時）
所以,
故面積的取值范圍為.
（3）設(shè)，直線的方程為：，將其代入橢圓的方程可得，
整理可得，
則，得，，
故．
當(dāng)時，直線的方程為：，將其代入橢圓方程并整理可得，
同理，可得，
因為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
若軸時，易知，，，
此時，
綜上，的最大值為.
21．(1)
(2)1
(3)
【分析】
（1）求出，求導(dǎo)，得到切線斜率，求出切線方程；
（2）求導(dǎo)，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)最小值，結(jié)合，求出的取值范圍，得到最小值；
（3）變形得到，令，則在上單調(diào)遞增，其中，求導(dǎo)，分和，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
故，則，
故函數(shù)在處的切線方程為，即；
（2）因為，，
則，
因為，
當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，
故，
又，故，解得，
其中，故不合要求，舍去；
當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故在取得極小值，也是最小值，
故，
令，整理得，
令，，可得看出，
又恒成立，故在上單調(diào)遞減，
所以上不能成立，
當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
故，
綜上，要想滿足當(dāng)為正數(shù)且時，，
的取值范圍是，的最小值為1；
（3）由，，變形為，
令，則在上單調(diào)遞增，
其中，，
則，
若，此時在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，滿足要求，
若，此時要滿足在恒成立，
令，對稱軸為，
故要滿足，解得，
綜上：，即的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：
一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；
二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；
三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.
0
1
2

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