一、單選題
1．若集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若向量，則（ ）
A．-4B．-3C．D．-2
3．若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．某工廠要對(duì)1110個(gè)零件進(jìn)行抽檢，這1110個(gè)零件的編號(hào)為.若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽檢30個(gè)零件，且編號(hào)為0005的零件被抽檢，則下列編號(hào)是被抽檢的編號(hào)的是（ ）
A．0040B．0041C．0042D．0043
5．若滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．甲?乙?丙?丁四人計(jì)劃一起去陜西省榆林市旅游，他們從榆林古城?鎮(zhèn)北臺(tái)?紅石峽?榆林沙漠國(guó)家森林公園?紅堿淖?白云山?易馬城遺址這7個(gè)景點(diǎn)中選4個(gè)游玩（按照游玩的順序，最先到達(dá)的稱為第一站，后面到達(dá)的依次稱為第二?三?四站），已知他們第一站不去榆林沙漠國(guó)家森林公園，且第四站去紅堿淖或白云山，則他們這四站景點(diǎn)的選擇共有（ ）
A．180種B．200種C．240種D．300種
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．1B．2C．D．-2
9．如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線繪制的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
10．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，且為等腰三角形，則的離心率為（ ）
A．B．2C．或D．2或3
11．已知曲線與曲線的公共點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
13．在中，，則 .
14．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫(xiě)出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程： .
15．過(guò)球外一點(diǎn)作球的切線，若切線長(zhǎng)為5，且，則球的體積為 .
16．已知函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
三、解答題
17．藍(lán)莓富含花青素，具有活化視網(wǎng)膜的功效，可以強(qiáng)化視力，防止眼球疲勞，是世界糧農(nóng)組織推薦的五大健康水果之一.截至2023年，全國(guó)藍(lán)?種植面積達(dá)到110萬(wàn)畝，其中云南藍(lán)莓種植面積達(dá)到17.6萬(wàn)畝，產(chǎn)量達(dá)到10.5萬(wàn)噸，是藍(lán)莓鮮果產(chǎn)量第一省.已知甲農(nóng)戶種植了矮叢藍(lán)莓?高叢藍(lán)莓?兔眼藍(lán)莓3種藍(lán)莓，這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量各自達(dá)到1000斤的概率分別為.
(1)求這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量都達(dá)到1000斤的概率；
(2)求這3種藍(lán)莓中至多有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率.
18．已知數(shù)列滿足.
(1)證明：為等差數(shù)列.
(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
19．如圖，在底面是正方形的四棱柱中，平面，.

(1)證明：四棱柱為正四棱柱.
(2)設(shè)二面角為，求.
20．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．
21．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)，且.
(1)求的方程.
(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù).
(1)求曲線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求曲線的普通方程.
23．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)集合知識(shí)逐項(xiàng)求解，從而可判斷求解.
【詳解】對(duì)A：依題意可得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：即為與的交點(diǎn)，即，解得或，即，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，故C正確.
對(duì)D：，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)，從而可得，從而可求解.
【詳解】若，則，即，解得.故A正確.
故選：A.
3．D
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的充要條件可得即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以解?br>所以.
故選：D
4．C
【分析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義結(jié)合已知條件求出抽樣間隔，從而可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榱慵膫€(gè)數(shù)為1110，抽取30個(gè)零件，
所以抽樣間隔為，
因?yàn)榫幪?hào)為0005的零件被抽檢，
所以所有被抽檢的編號(hào)為，
所以當(dāng)時(shí)，，得被抽檢的編號(hào)可以是0042，
當(dāng)時(shí)，，得被抽檢的編號(hào)可以是0079，
故選：C
5．A
【分析】
作出可行域，利用截距式數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】作出約束條件表示的可行域，設(shè)，
如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，
縱截距取得最大值12，所以的取值范圍是.

故選：A
6．B
【分析】
根據(jù)分步乘法原理，結(jié)合排列組合即可求解.
【詳解】
先考慮第四站，第四站去紅堿淖或白云山，故有種安排方法，
接著考慮第一站，去掉榆林沙漠國(guó)家森林公園以及第四站去的景點(diǎn)，有種選擇，
最后從剩下的景點(diǎn)中選擇任意兩個(gè)景點(diǎn)游玩有
故可得他們這四站景點(diǎn)的選擇共有種.
故選：B
7．A
【分析】
根據(jù)正切的和差角公式以及二倍角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>.
故選：A
8．B
【分析】
根據(jù)周期性即可代入求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以是以4為周期的周期函數(shù)，
所以.
故選：B
9．D
【分析】
根據(jù)三視圖可得幾何體的結(jié)構(gòu)特征，即可根據(jù)表面積公式求解.
【詳解】由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體和一個(gè)底面半徑為，高為2的圓柱拼接而成，故該幾何體的表面積為.
故選：D
10．C
【分析】
利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)，
依題意可得：，則的離心率；
或，則的離心率.
故選：C
11．B
【分析】
聯(lián)立方程后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，結(jié)合可得,即可求導(dǎo)結(jié)合點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而可得求解切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可求解面積.
【詳解】由得，
設(shè)，則,故為增函數(shù)，
因?yàn)?，所以方程的解為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
設(shè)，則，則，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
令，得；令，得.所以所求三角形的面積為.
故選：B
12．B
【分析】
根據(jù)的對(duì)稱性求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍，即可確定k的值，一一驗(yàn)證k的取值，是否符合題意，即可確定的可能值，從而得解.
【詳解】
由題意得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，
故，則，
即，
由函數(shù)在上單調(diào)，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上不單調(diào)，
故在上不單調(diào)，此時(shí)不合題意；
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
綜上，或.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用的對(duì)稱性與單調(diào)性得到的可能取值，從而檢驗(yàn)得解.
13．
【分析】
利用余弦定理結(jié)合已知條件直接求解即可
【詳解】
因?yàn)樵谥?，?br>所以由余弦定理，得
，
所以.
故答案為：
14．（答案不唯一）
【分析】
利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.
【詳解】依題意可得的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為或，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故答案為：（答案不唯一）.
15．
【分析】
利用球的切線性質(zhì)求出球半徑，再利用球的體積公式計(jì)算得解.
【詳解】切點(diǎn)為，則，則球半徑，
所以球的體積為.
故答案為：
16．
【分析】
將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求解范圍.
【詳解】令，得或.
作出的大致圖象，如圖所示，
這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，因?yàn)?，?br>所以由圖可知的取值范圍是.
故答案為：
17．(1)
(2)
【分析】
（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式結(jié)合已知條件求解即可；
（2）分別求出這3種藍(lán)莓中沒(méi)有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率和這3種藍(lán)莓中恰有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)檫@3種藍(lán)莓年產(chǎn)量各自達(dá)到1000斤的概率分別為，
所以這3種藍(lán)莓年產(chǎn)量都達(dá)到1000斤的概率為.
（2）這3種藍(lán)莓中沒(méi)有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為，
這3種藍(lán)莓中恰有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為，
則這3種藍(lán)莓中至多有1種藍(lán)莓年產(chǎn)量達(dá)到1000斤的概率為.
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求證，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋裕?br>所以，
所以為公差是8的等差數(shù)列.
（2）解：因?yàn)椋裕?br>所以，則，
所以
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由題中幾何條件可得，即，再證明，利用線面垂直定理證明平面，從而可求解.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，再利用向量法求解二面角的余弦值，從而可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，則.
又平面，所以
因?yàn)?，平面，所以平?
又底面為正方形，所以四棱柱為正四棱柱.
（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則
令，得.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
令，得.
由，
所以.
20．(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)后，令，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合找到臨界點(diǎn)對(duì)分類討論即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，由結(jié)合（1）中結(jié)論可得，即可得證.
【詳解】（1），
令，則，
若，則，從而，所以即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
綜上所述，若，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
（2）不妨設(shè)，
則，
由（1）可知若，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
從而，
即在上是增函數(shù)，
從而，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，.
21．(1)
(2)是定點(diǎn)，定點(diǎn)為
【分析】
（1）根據(jù)向量運(yùn)算可推導(dǎo)得到，得到；根據(jù)橢圓定義和關(guān)系可求得方程；
（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；求得坐標(biāo)后，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)縱坐標(biāo)之和可得定值，由此可得中點(diǎn)為定點(diǎn).
【詳解】（1），，
整理可得：，，
，，解得：，，
橢圓的方程為：.
（2）
由（1）可得：，則直線的斜率存在，可設(shè)，，
由得：，
，，，
直線過(guò)點(diǎn)，，
直線方程為：，令得：，即；
同理可得：；
，
線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用坐標(biāo)表示法表示出所求量，代入韋達(dá)定理可整理得到所求定點(diǎn).
22．(1)
(2)
【分析】
（1）先求出曲線的普通方程為，再將曲線的參數(shù)方程代入可求得，從而可求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由曲線的參數(shù)方程得，得，代入化簡(jiǎn)可得曲線的普通方程.
【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程，得，
由，得，
則，
故曲線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）由，得，
則，代入，得，
整理得，
因?yàn)椋?br>所以曲線的普通方程為.
23．(1)
(2)
【分析】
（1）分，和三種情況求解即可；
（2）先將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值為，則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，從而可求出的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可化為.
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得.
故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
（2）因?yàn)椋?br>所以等價(jià)于.
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，所以，
解得或，
故的取值范圍是.

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