一、單選題
1．已知單位向量，的夾角為120°，則（ ）
A．B．0C．1D．2
2．在正方體中，下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（ ）
A．25B．30C．35D．40
4．已知函數(shù)則（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
6．若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過A的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線MN的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則（ ）
A．C的虛軸長為B．C的離心率為
C．的最小值為2D．直線PF的斜率不等于
10．已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（ ）
A．B．C．D．
11．已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱，，，則（ ）
A．為偶函數(shù)B．為偶函數(shù)C．D．
三、填空題
12．設(shè)，i為虛數(shù)單位.若集合，，且，則m＝ .
13．在中，，，M為BC的中點(diǎn)，，則 .
14．若正四棱錐的棱長均為2，則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為 ，該十面體的外接球的表面積為 .
四、解答題
15．甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了1000名消費(fèi)者，得到下表：
(1)能否有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；
(2)若用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)消費(fèi)者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：，.
16．設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.
(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).
17．如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線AB與平面相交于點(diǎn)H.
(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線HE，GF，AC相交于一點(diǎn)；
注：若兩個(gè)問題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.
(2)求直線BD與平面的距離.
18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.
(1)求Γ的方程；
(2)對于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.
（?。┤鬗，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；
（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.
滿意
不滿意
男
440
60
女
460
40
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
參考答案：
1．A
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律整理式子，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.
【詳解】.
故選：A.
2．D
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，
，，
對于A，，故A錯(cuò)誤；
對于B，，故B錯(cuò)誤；
對于C，，故C錯(cuò)誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
3．B
【分析】
根據(jù)給定條件，利用中位數(shù)的定義求解即得.
【詳解】依題意，新數(shù)據(jù)組有6個(gè)數(shù)，其中位數(shù)是，
顯然原數(shù)據(jù)組有7個(gè)數(shù)，因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.
故選：B
4．B
【分析】
由已知函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)恒等式即可求解．
【詳解】由于，所以，
故選：B
5．C
【分析】
由不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，，所?br>.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：C.
6．C
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)大于0，求出的范圍．
【詳解】
函數(shù)，
可得，
若，此時(shí)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，
故，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故是的極值點(diǎn)
由于函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，
，解得．
故選：C．
7．A
【分析】
根據(jù)題意可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解，
【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
則有，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，可得，
則，得，故，
設(shè)，，
到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，
又，有，即，得，
，又，解得，
，又，解得.
故選：A
8．B
【分析】
利用等比中項(xiàng)，結(jié)合三角恒等變換求解即得.
【詳解】由，，成等比數(shù)列，得，
即，
，所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.
9．AD
【分析】
根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，求出，再逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，解得，
對于A，的虛軸長，A正確；
對于B，的離心率，B錯(cuò)誤；
對于C，點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為，C錯(cuò)誤；
對于D，直線的斜率為，而點(diǎn)不在上，點(diǎn)在上，則直線PF的斜率不等于，D正確.
故選：AD
10．BCD
【分析】
根據(jù)條件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D.
【詳解】對B，，B正確；
對A，，，A錯(cuò)誤；
對C，，，C正確；
對D，
，D正確.
故選：BCD.
11．ACD
【分析】
由賦值法，函數(shù)奇偶性，對稱性對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】令，則，注意到不恒為，
故，故A正確；
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱，所以，
令，得，
故，故B錯(cuò)誤；
令，得，
令，得，故，
從而，故,
令，得，化簡得，故C正確；
令，得，而，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的對稱性常有以下結(jié)論
（1）關(guān)于軸對稱，
（2）關(guān)于中心對稱，
12．1
【分析】
由集合的包含關(guān)系得兩個(gè)集合中元素的關(guān)系，由復(fù)數(shù)的相等解的值.
【詳解】集合，，且，
則有或，解得.
故答案為：1
13．
【分析】
根據(jù)給定條件，取的中點(diǎn)，利用余弦定理求解即得.
【詳解】在中，取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，
在中，由余弦定理得，
則，即，而，所以.
故答案為：
14． /
【分析】
根據(jù)給定條件，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積公式計(jì)算體積；建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接球半徑即可求出表面積.
【詳解】正四棱錐的所有棱長為2，點(diǎn)是所在棱的中點(diǎn)，如圖，
顯然，即有，則正四棱錐的高為，
于是，
到平面的距離，
所以所求十面體的體積為；
令，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，則，
，設(shè)外接球球心，半徑，
則，因此，解得，
所以十面體的外接球的表面積為.
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.
15．(1)有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)
(2)分布列見解析，期望
【分析】
（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善列聯(lián)表，再利用公式求出，利用臨界值表進(jìn)行判定；
（2）先求出不滿意的概率為，由二項(xiàng)分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進(jìn)行求解
【詳解】（1）
補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：
，故有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．
（2）
由題知，從該地區(qū)的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，
且．
，
所以的分布列為：
所以．16．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，
（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）由題意可得周期，故，
，
由于，故，
故，
當(dāng)時(shí)，，
由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，
故
（2），，
，
故直線方程為，
令，則，
故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，
因此有唯一的的零點(diǎn)，
故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.
17．(1)證明見解析；
(2).
【分析】
（1）選擇條件①，利用線面平行的判定性質(zhì)推理即得；選擇條件②，利用平面的基本事實(shí)推理即得.
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.
【詳解】（1）
選擇條件①，由,分別為,的中點(diǎn)，得，
又平面平面，則平面，
又平面，平面平面，所以.
選擇條件②，在中，為中點(diǎn)，則與不平行，
設(shè)，則，又平面平面，
于是平面平面，又平面平面，因此，
所以,,相交于一點(diǎn).
（2）
若第（1）問中選①，由（1）知，平面，
則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，
若第（1）問中選②，由,分別為,的中點(diǎn)，則，
又平面平面，于是平面，
因此點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，
連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，
又平面平面，平面平面平面，
于是平面，又平面，則，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，,，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，令，得，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以與平面的距離為.
18．(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】
（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理即得.
（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
（3）由（1）求出，由已知建立等式，驗(yàn)證計(jì)算出，再分析求解即可.
【詳解】（1）
，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
則有，當(dāng)時(shí)，，則，即，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
（2）
由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，
于是，解得，則，
所以的前項(xiàng)和
.
（3）
由（1）知，，
由成等差數(shù)列，得，整理得，
由，得，又，，不等式成立，
因此，即，令，則,
從而，顯然，即，
所以存在，使得成等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
19．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合離心率求出即得.
（2）（ⅰ）在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出圓心到距離，列出的面積關(guān)系求解，再驗(yàn)證斜率不存在的情況；（ⅱ）利用新定義，結(jié)合對稱性推理即得.
【詳解】（1）
因?yàn)楫?dāng)垂直于軸時(shí)，，而直線與Γ相切，則，解得，
又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，
所以的方程為.
（2）
（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為：，
由消去得：，
由直線與橢圓相切，得，整理得，
于是圓心到直線的距離，
則的面積為，
設(shè)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，由（1）知，，
由，得，則.
對于線段上任意點(diǎn)，連接并延長與圓交于點(diǎn)，則是圓上與最近的點(diǎn)，
當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以.
（ii）因?yàn)榫嬖冢?br>設(shè)點(diǎn)，且，
設(shè)是集合中到的最近點(diǎn)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，
令點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，
因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，
因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，
因此，
而在坐標(biāo)平面中，，又點(diǎn)是集合中到點(diǎn)的最近點(diǎn)，則，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）問涉及新定義問題，反復(fù)認(rèn)真讀題，理解最小距離的最大值的含義是解題的關(guān)鍵.
滿意
不滿意
總計(jì)
男
440
60
500
女
460
40
500
總計(jì)
900
100
1000
0
1
2
3

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