一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合 ，，，則=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，故.
故選：A.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】因為命題，的否定是，．
故選：C.
3. 不等式的解集為（ ）
A. 或x>2B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】因為不等式，所以.
故選：C.
4. 若，則下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，，
所以兩邊同時除以得，即，A不正確；
兩邊同時除以得，B不正確；
兩邊同時乘得，C正確；
由可得，兩邊同時除以得，D錯誤.
故選：C.
5. 二次函數有零點的充要條件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由二次函數有零點，
即方程上有實數根，
則滿足，解得，
即二次函數有零點的充要條件為.
故選：B.
6. 的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】，
當且僅當即時取等號.
故選：B.
7. 設，不等式的解集為或，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意可知是方程的兩根，
則，∴，∴.
故選：D.
8. 已知為全集的兩個不相等的非空子集，若，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，，，，.
故選：．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 命題“，”是真命題
B. 命題“若，則”是真命題
C. “”是“”的必要且不充分條件
D. 設，則“且”的充分且不必要條件是“”
【答案】BC
【解析】對于A，因為所以命題“，”是假命題，錯誤；
對于B，若，則，所以命題“若，則”是真命題，正確；
對于C，不能判斷出，可以判斷出，所以“”是“”的必要不充分條件，正確；
對于D，不能得到且，但且可以得到，則“且”的必要不充分條件是“”，錯誤.
故選：BC.
10. 已知，，且，則（ ）
A. ab的最大值為B. 的最大值為
C. 的最小值為9D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】對A，，所以，當且僅當時成立，故A正確；
對B，由，可得，可得，的最小值為，故B不正確；
對C，，
當且僅當即時成立，故C正確；
對D，，當且僅當時成立，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知集合是由個正整數組成的集合，如果任意去掉其中一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”．（ ）
A. 不是“可分集合”
B. 是“可分集合”
C. 四個元素的集合可能是“可分集合”
D. 五個元素的集合不是“可分集合”
【答案】ABD
【解析】對于A，去掉后，不滿足定義，不是“可分集合”，A正確；
對于B，集合所有元素之和為，
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意；
當去掉元素時，剩下的元素之和為，集合與的元素和相等，符合題意，
因此集合是“可分集合”，B正確；
對于C，不妨設，去掉，則，去掉，則，
于是，與矛盾，因此一定不是“可分集合”，C錯誤；
對于D，不妨設，
若去掉元素，將集合分成兩個交集為空集的子集，
且兩個子集元素之和相等，則有①，或者②，
若去掉元素，將集合分成兩個交集為空集的子集，
且兩個子集元素之和相等，則有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾，
因此集合不是“可分集合”，D正確．
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若命題“，使”是真命題，則實數a的取值范圍是__________．
【答案】或
【解析】由題意得，有兩個不相等的實數根，
∴，即，
∴或.
13. 若集合，則__________．
【答案】或
【解析】集合，即方程有唯一根，
所以或，
解得或，所以或.
14. 設表示a，b，c中最大的數．設.，且，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此，故，則，
可知的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，．
（1）求，；
（2）求圖中陰影部分表示的集合．
解：（1）由題意，
，
所以，.
（2）由題意，陰影部分表示的集合是，
所以或.
16. （1）計算：；
（2）計算：；
（3）已知，求的值．
解：（1）.
（2）.
（3）由，得，，
所以.
17. 甲、乙兩地相距，動車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過，已知動車每小時的運輸成本（單位：元）是可變成本與固定成本之和，其中可變成本是速度的平方的倍，固定成本為元．
（1）用速度v表示動車每小時的運輸成本，并指出v的取值范圍；
（2）用速度v表示全程運輸成本y；
（3）求全程運輸成本的最小值及此時動車的行駛速度．
解：（1）由題意得，可變成本為，固定成本為元，
∴每小時的運輸成本為.
（2）由題意得，運輸時間為，
∴.
（3）由（2）得，，
當，即時，有最小值，最小值為.
18. 已知集合，．
（1）若“”是“”的充分條件，求m的取值范圍；
（2）若，求m的取值范圍；
（3）若集合的元素中有且只有兩個是整數，求m的取值范圍．
解：（1）因或，
所以，
因為“”是“”充分條件，
所以，，所以，解得，
所以，m的取值范圍為.
（2）因為，所以，
①當時，，解得，符合題意；
②當時，或，
解得：或，
綜上所述，m的取值范圍為或.
（3）因，
若的元素中有且只有兩個是整數，
則或，
當時，則有，解得；
當時，則有，解得，
綜上所述，m的取值范圍為或.
19. 記關于的不等式的解集為.
（1）設，求；
（2）設，若，求的取值范圍；
（3）設，若，求的取值范圍.
解：（1）由，得，所以.
（2）由題意得對恒成立，
當，即時，恒成立，滿足題意，
當，即時，
解得，綜上，.
（3）由，得，解得.
由，得，等價于，
方程的兩個根為.
先考慮.
①當時，即，
要，需滿足解得.
若使，則.
②當時，即，
要，需滿足解得.
若使，則.
③當時，即，
由不等式，解得，
由不等式，解得且，
滿足，所以符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.

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