第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（練習(xí)）2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc157955608" 題型01 理解正弦、余弦、正切的概念
\l "_Tc157955609" 題型02 求角的正弦值
\l "_Tc157955610" 題型03 求角的余弦值
\l "_Tc157955611" 題型04 求角的正切值
\l "_Tc157955612" 題型05 已知正弦值求邊長(zhǎng)
\l "_Tc157955613" 題型06 已知余弦值求邊長(zhǎng)
\l "_Tc157955614" 題型07 已知正切值求邊長(zhǎng)
\l "_Tc157955615" 題型08 含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算
\l "_Tc157955616" 題型09 求特殊角的三角函數(shù)值
\l "_Tc157955617" 題型10 由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀
\l "_Tc157955618" 題型11 用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值
\l "_Tc157955619" 題型12 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)
\l "_Tc157955620" 題型13 已知角度比較三角函數(shù)值大小
\l "_Tc157955621" 題型14 根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍
\l "_Tc157955622" 題型15 利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解
\l "_Tc157955623" 題型16 互余兩角三角函數(shù)關(guān)系
\l "_Tc157955624" 題型17 構(gòu)造直角三角形解直角三角形
\l "_Tc157955625" 題型18 網(wǎng)格中解直角三角形
\l "_Tc157955626" 題型19 在坐標(biāo)系中解直角三角形
\l "_Tc157955627" 題型20 解直角三角形的相關(guān)計(jì)算
\l "_Tc157955628" 題型21 構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積
\l "_Tc157955629" 題型22 仰角、俯角問(wèn)題
\l "_Tc157955630" 題型23 方位角問(wèn)題
\l "_Tc157955631" 題型24 坡度坡比問(wèn)題
\l "_Tc157955632" 題型25 坡度坡比與仰角俯角問(wèn)題綜合
題型01 理解正弦、余弦、正切的概念
1．（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（）．
A．ADABB．BDADC．BDBCD．DCBC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；
【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．ADAB=csA，不符合題意；
B．BDAD=tanA，不符合題意；
C．BDBC=cs∠DBC=csA，不符合題意；
D．DCBC=sin∠DBC=sinA，符合題意；
故選： D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊是解題關(guān)鍵．
2．（2023·安徽合肥·一模）一個(gè)鋼球沿坡角31°的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（單位：米）（）
A．5cs31°B．5sin31°C．5sin31°D．5tan31°
【答案】B
【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對(duì)邊，可利用正弦函數(shù)求解．
【詳解】∵鐵球上滾的距離× sin31° =鐵球距地面的高度，
∴鐵球距地面的高度= 5sin31°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一個(gè)角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于csB的是（）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴csB=CDAC，
故A不符合題意；
B．在Rt△DBC中，csB=BDCB，故B不符合題意；
C．在Rt△DBC中，cs∠BCD=CDCB，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴csB≠CDCB，
故C符合題意；
D．在Rt△ABC中，csB=CBAB，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)關(guān)是解題的關(guān)鍵．
題型02 求角的正弦值
1．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PC,PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C，D．若AB=6,PC=4，則sin∠CAD等于（）
A．35B．25C．34D．45
【答案】D
【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線(xiàn)，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可．
【詳解】解：連接OC，
CP，DP是⊙O的切線(xiàn)，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵AB=6
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5．
∴sin∠CAD=sin∠COP=45
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題利用了切線(xiàn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解．
2．（2017·廣東東莞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,3，那么sinα的值是（）
A．34B．43C．45D．35
【答案】D
【分析】過(guò)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根據(jù)正弦的定義即可求解.
【詳解】如圖，過(guò)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，
∵A的坐標(biāo)為(4,3)
∴OB=4，AB=3，
在Rt△AOB中，OA=OB2+AB2=42+32=5
∴sinα=ABOA=35
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查求正弦值，利用坐標(biāo)求出直角三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·浙江金華·?？家荒＃┤鐖D，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線(xiàn)上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA= ．
【答案】45/0.8
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
由題意得CE=4，AE=3，
∴AC=AE2+CE2=5，
∴sinA=CEAC=45，
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
題型03 求角的余弦值
1．（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cs∠ABC的值為（）
A．45B．35C．43D．34
【答案】A
【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cs∠ABC的值．
【詳解】解：連接AD，如右圖所示，
∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD=CD2-AC2=8，
∴cs∠ADC=ADCD=810=45，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值為45，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cs∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
2．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，則csA=（）
A．5-14B．5+14C．5-12D．3-52
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠ABD和∠CBD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BDC，根據(jù)等角對(duì)等邊確定AD=BD=BC，并用b表示出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出DC的長(zhǎng)度，根據(jù)該等腰三角形的性質(zhì)用a來(lái)表示AE的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)列出比例式，并用a表示b，進(jìn)而用a表示AD的長(zhǎng)度，最后根據(jù)余弦的定義即可求解．
【詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°-∠A2=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°．
∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
∴∠BDC=∠C，AD=BD．
∴AD=BD=BC=b．
∴DC=AC-AD=a-b．
∵DE⊥AB，
∴AE=12AB=12a．
∵∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BDC．
∴ABBD=BCDC．
∴ab=ba-b．
∴用a表示b得b1=5-12a，b2=-1-52a（舍）．
∴b=5-12a．
∴AD=5-12a．
∴csA=AEAD=12a5-12a=5+14．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，余弦的定義，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
3．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，則csC的值為（）
A．0.5B．0.6C．0.8D．32
【答案】C
【分析】根據(jù)tanB的值，把AC、AB邊長(zhǎng)設(shè)為3t、4t，勾股定理求出BC邊，再利用三角函數(shù)的定義求解csC．
【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
tanB=ACAB=0.75=34，
設(shè)AC=3t，AB=4t，則BC=5t，
故，csC=ACBC=4t5t=0.8.
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
題型04 求角的正切值
1．（2022·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D，則tan∠ADC＝（）
A．43B．32C．1D．32
【答案】D
【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定義得到tan∠ABC=32，從而得到tan∠ADC的值．
【詳解】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC=32，
∵∠ADC=∠ABC，
∴tan∠ADC=32，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了解直角三角形．
2．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（）
A．33B．22C．13D．3
【答案】C
【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)镺P∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線(xiàn)段進(jìn)而求解．
【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵OP∥AB，
則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，
∴OA=OB，
設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴tan∠OAP=OCOA=x3x=13．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，CD是平面鏡，光線(xiàn)從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為．
【答案】43
【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)可得∠A=α,∠B=β，從而可得∠A=∠B，再根據(jù)相似三角形的判定證出△AOC～△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義即可得．
【詳解】解：如圖，由題意得：OP⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴AC∥OP，
∴∠A=α，
同理可得：∠B=β，
∵α=β，
∴∠A=∠B，
在△AOC和△BOD中，∠A=∠B∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC～△BOD，
∴OCOD=ACBD，
∵AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD-OC，
∴OC12-OC=36，
解得OC=4，
經(jīng)檢驗(yàn)，OC=4是所列分式方程的解，
則tanα=tanA=OCAC=43，
故答案為：43．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．
題型05 已知正弦值求邊長(zhǎng)
1．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F，若BC=4，sin∠CEF=35，則△AEF的面積為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】連接BF，由已知CE=AE=BE得到∠A=∠FBA=∠ACE，再得出∠CEF與∠CBF的關(guān)系，由三角函數(shù)關(guān)系求得CF、BF的值，通過(guò)BF=AF，用三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：連接BF，
∵CE是斜邊AB上的中線(xiàn)，
∵CE=AE=BE=12AB（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半），
∴∠A=∠FBA=∠ACE，
又∵∠BCA=∠BEF=90°，
在△ABC中，∠CBF=180°-∠ACB-∠A-∠ABF=90°-2∠A，
在△AEC中，∠CEF=180°-∠AEF-∠A-∠ACE=90°-2∠A，
∴∠CEF=∠CBF，
∴sin∠CBF=sin∠CEF=35，
∵BC=4，設(shè)CF=3x,BF=5x，
則BC2+CF2=BF2，即42+(3x)2=(5x)2，
解得x=1（負(fù)值舍掉），
∴CF=3,BF=5，
∴EF是AB的垂直平分線(xiàn)， ∴BF=AF=5，
∴S△AFB=12AF·BC=12×5×4=10，
∴S△AEF=12S△ABF=5，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，熟練利用相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2020·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑作圓．若點(diǎn)P是該圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且OP與x軸正方向組成的角為α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）
A．csα,1B．1,sinαC．sinα,csαD．csα,sinα
【答案】D
【分析】作PA⊥x軸于點(diǎn)A．那么OA是α的鄰邊，是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，為csα；PA是α的對(duì)邊，是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，為sinα．
【詳解】解：如圖，作PA⊥x軸于點(diǎn)A，
則∠POA=α，則sinα=PAPO，
∴PA=OPsinα，
∵csα=AOPO，
∴OA=OPcsα．
∵OP=1，
∴PA=sinα，OA=csα．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(csα,sinα)，
故選D.
【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)與相應(yīng)的函數(shù)和半徑之間的關(guān)系．
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若EB=1，且sin∠CFD=35，求DF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)103
【分析】（1）連接OD，直接利用切線(xiàn)判定定理證明即可；
（2）根據(jù)sin∠CFD=ODOF，則設(shè)OD=3x，OF=5x，可得EB=65x=1，解出x，用勾股定理即可．
【詳解】（1）(1)連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD//AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵ sin∠CFD=35，
設(shè)OD=3x，OF=5x，
則AB=AC=6x，AF=8x，
∴AE=AFsin∠AFE=245x，
∴EB=AB-AE=65x，
∴65x=1，
∴x=56，
∴OD=52，OF=256，
∴DF=OF2-OD2=103．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合問(wèn)題，涉及到切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題第二問(wèn)關(guān)鍵在于能夠用表示OD的字母表示出EB．
題型06 已知余弦值求邊長(zhǎng)
1．（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,csA=32,AC=43，則AB長(zhǎng)為（）
A．4B．8C．83D．12
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．
【詳解】解：∵ ∠C=90°,csA=32,AC=43，
∴AB=ACcsA=4332=8，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DA，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求證：四邊形EBFD是矩形；
(2)若AB=5，cs∠OBC=45，求BF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)BF的長(zhǎng)為325．
【分析】（1）利用“SAS”證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可證明四邊形EBFD是矩形；
（2）在Rt△BCO中，利用余弦函數(shù)求得OB的長(zhǎng)，在Rt△BDF中，再利用余弦函數(shù)即可求得BF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵∠E=90°，
∴四邊形EBFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中，cs∠OBC=45，BC=5，
∴OBBC=45，
∴OB=4，則BD=2OB=8，
在Rt△BDF中，cs∠OBC=45，BD=8，
∴BFBD=45，
∴BF=45×8=325．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上且不與點(diǎn)A，B重合，CD是⊙O的切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．
(1)證明：點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；
(2)若BD=4，cs∠ABD=13，求⊙O的半徑．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)3
【分析】（1）連接OC,AE，根據(jù)題意證明AE⊥OC，根據(jù)垂徑定理即可求解；
（2）先證明四邊形CDEF是矩形，根據(jù)cs∠ABD=13，設(shè)BE=a，則AB=3a，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)求得DE，根據(jù)DB=4，求得a的值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）如圖，連接OC,AE，
∵ AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°,即AE⊥BD
∵ CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴CO⊥CD，
∵ BD⊥CD，
∴AE∥CD，
∴CO⊥AE，
∴AC=CE，
∴點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；
（2）如圖，連接OC,AE，設(shè)AE,CO交于點(diǎn)F，
由（1）可知OC⊥CD,CO⊥AD,AE⊥BD，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴CF=DE，
∵ cs∠ABD=13，
設(shè)BE=a，則AB=3a，
∴AE=AB2-BE2=22a，
∴AF=FE=CD=2a，
∵AO=BO,AF=EF，
∴OF=12BE=12a，
∴DE=CF=CO-FO=32a-12a=a，
∴DB=DE+EB=a+a=2a，
∵DB=4，
∴a=2，
∴AB=3a=6，
∴⊙O的半徑為12AB=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，矩形的性質(zhì)與判定，已知余弦求邊長(zhǎng)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
題型07 已知正切值求邊長(zhǎng)
1．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長(zhǎng)的最大值是（）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)A作∠DAP=∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作AD⊥DP交AP于點(diǎn)P，分別求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三邊關(guān)系即可求出CD長(zhǎng)的最大值．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作∠DAP=∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作AD⊥DP交AP于點(diǎn)P，
∵∠ABC=90°，tan∠BAC=12，
∴tan∠DAP=tan∠BAC=12，
∴DPAD=12，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴APAC=ADAB，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，APAC=ADAB，
∴△ADB∽△APC，
∴ADAP=DBPC，
∵AP=AD2+DP2=22+12=5，
∴PC=AP?DBAD=5×42=25，
∴PD+PC=1+25，PC-PD=25-1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC?PDcsA，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊值法在選擇題中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）比較大?。簊in54° cs35°（填“”）．
【答案】

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