一、選擇題
1．帕普斯：（Pappus）古希臘數(shù)學(xué)家，3﹣4世紀(jì)人，偉大的幾何學(xué)家，著有《數(shù)學(xué)匯編》.此書對(duì)數(shù)學(xué)史具有重大的意義，是對(duì)前輩學(xué)者的著作作了系統(tǒng)整理，并發(fā)展了前輩的某些思想，保存了很多古代珍貴的數(shù)學(xué)證明的資料.如圖1，圖2，利用帕普斯的幾何圖形直觀證明思想，能簡明快捷地證明一個(gè)數(shù)學(xué)公式，這個(gè)公式是( )
A.B.
C.D.
2．函數(shù)的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是( )
A.
B.
C.
D.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).
3．已知雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為，，點(diǎn)A在C上，若，則( )
A.B.C.D.
4．將邊長為的正方形沿對(duì)角線折起，使得，則異面直線和所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
5．設(shè)數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則( )
A.B.C.D.
6．若，則( )
A.0B.C.1D.129
7．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線l恰有3條，則( )
A.2B.3C.4D.6
二、多項(xiàng)選擇題
9．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是( )
A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)
B.
C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大
D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為
10．如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則( )
A.橢圓C的中心不在直線上
B.
C.直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為
D.橢圓C的離心率為
11．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根b，c，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說法正確的是( )
A.（其中）
B.數(shù)列是遞減數(shù)列
C.
D.數(shù)列的前n項(xiàng)和
三、填空題
12．方程在區(qū)間上的所有解的和為____________.
13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩個(gè)完全相同的圓錐對(duì)頂放置（兩圓錐的頂點(diǎn)和軸都重合），已知兩個(gè)圓錐的底面直徑均為2，側(cè)面積均為，記過兩個(gè)圓錐軸的截面為平面，平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為、.已知平面平行于平面，平面與兩個(gè)圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于、，則該雙曲線C的離心率為____________.
四、雙空題
14．我國古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.已知長度為的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則____________，____________.
五、解答題
15．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；
（2）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為的平分線，若的最小正周期是，，，，求的面積.
16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，的前n項(xiàng)和為，求.
17．已知函數(shù).
（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：.
（2）若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn).
18．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點(diǎn)A，B.
（1）求雙曲線的方程；
（2）是雙曲線上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.
19．同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為：設(shè)a，，且.若，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號(hào)）.
（1）解同余方程：；
（2）設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中.
①若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；
②若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案
1．答案：C
解析：如圖，知，，，
結(jié)合圖形知，，即，
故選：C.
2．答案：C
解析：，
由圖知時(shí)，為增函數(shù)，可知，所以，B錯(cuò)誤；
又由，
所以，，，，故A錯(cuò)誤；
，，，故C正確；
開口向上，對(duì)稱軸小于0，函數(shù)在上是增函數(shù)，
故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．答案：B
解析：由題意雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為、，點(diǎn)A在C上，
故不妨設(shè)為左、右焦點(diǎn)，由可知A在雙曲線右支上，
則，故，，
由于雙曲線C的離心率為，則，即，
在中，
，
故選：B.
4．答案：A
解析：如圖所示：
分別取，，中點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，
連接，，，，，，
則，，
所以為異面直線與所成的角，
因?yàn)檎叫芜呴L為，則，，
在等腰直角三角形中，
因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，
所以，
同理可得，.
因?yàn)椋?br>所以是等腰直角三角形.
又因?yàn)辄c(diǎn)F為的中點(diǎn)，
所以.
在中，，
所以是等邊三角形，
所以，
所以.
故選：A.
5．答案：D
解析：由可得，
，，
則可得數(shù)列為常數(shù)列0，即，，
，
.
故選:D.
6．答案：C
解析：令，得.
故選：C.
7．答案：B
解析：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
由題意得方程有兩個(gè)根，設(shè)，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又，
設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞減，又
當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)時(shí)，，則，即在上單調(diào)遞減，但恒正.
作出函數(shù)的大致圖象如下：
要使的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
8．答案：C
解析：左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦，又，
所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長，
因?yàn)閷?shí)數(shù)使得的直線l恰有3條，
根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱.
如圖所示：
所以當(dāng)時(shí)，有3條直線滿足題意.
故選：C.
9．答案：ABD
解析：對(duì)于A：第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為；
而第9行第8個(gè)數(shù)字就是36，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，?br>所以，故B正確；
對(duì)于C：由圖可知：第n行有個(gè)數(shù)字，
如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；
如果n是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，
所以第行的第個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：依題意：第12行從左到右第2個(gè)數(shù)為，第12行從左到右第3個(gè)數(shù)為，
所以第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為，故D正確；
故答案為：ABD.
10．答案：ACD
解析：依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，
得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，
點(diǎn)A，B分別為圓，與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長軸，
可知橢圓C的中心（即線段的中點(diǎn)）不在直線上，故A正確；
橢圓長軸長，
過作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，，，
則，
過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，故B錯(cuò)誤；
所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；
所以橢圓的離心率，故D正確；
故選：ACD.
11．答案：AD
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由得，所以，故A正確.
二次函數(shù)有兩個(gè)不等式實(shí)根b，c，
不妨設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為：，
令，則，
因?yàn)?br>所以，即：
所以為公比是2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.
所以故BC錯(cuò).
對(duì)于D選項(xiàng)，，得故D正確.
故選：AD.
12．答案：π
解析：由得，解得，在區(qū)間上，或，故所有解的和為.
故答案為π.
13．答案：
解析：以矩形的中心為原點(diǎn)，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由圓錐的底面直徑為2，側(cè)面積為，得，，
顯然，，即，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
14．答案：/；
解析：由題可得，，
從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的，
故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以.
.
，
故答案為：；.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
，
當(dāng)時(shí)，，又，故，
又在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，，，
故函數(shù)在上的值域?yàn)?
（2）由（1）知，，由其最小正周期為，
可得，又，解得，則；
由，即，又，可得，則，即；
為的平分線，故可得，，
則，即，；
在三角形中由余弦定理可得，即，
將代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面積為.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）①，②，
①-②整理得，，
數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，，，
當(dāng)時(shí)，由，可得.
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
.
（2）由題意知，，
故
.
17．答案：（1）證明見解析
（2）證明見解析
解析：（1）證明：因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）.
令，則.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
則在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn).
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意得：，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）方法一：設(shè)直線AP：，，
則，消y得：，
得：，
又因?yàn)樵陔p曲線上，滿足，即，
所以，即.
同理設(shè)直線BP：，，可得，所以.
因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?
把代入雙曲線方程得，解得，則點(diǎn).
設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，
由正弦定理得，，
因?yàn)椋?
則.
因?yàn)?，所以，所?
方法二：設(shè)直線DE：，，，
則，消x得：，
所以，，得，
因?yàn)镻，A，D三點(diǎn)共線，則，
因?yàn)镻，B，E三點(diǎn)共線，則，兩式相除得，
而
.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所以，得?br>把代入雙曲線方程得，解得，則點(diǎn).
設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，
由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>則，
因?yàn)椋裕?
19．答案：（1）或
（2）6072；
解析：（1）由題意（md3），所以或（），
即或（）.
（2）由（1）可得為，所以.
①因?yàn)椋ǎ?
則.
②（）.
因?yàn)椋?br>所以
.

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