注意事項(xiàng)：
1．本試題共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，時(shí)間120分鐘
2．答卷前，考生務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫(xiě)清楚
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收。
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符題目要求的。
1．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知在邊長(zhǎng)為1的菱形中，角為，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，財(cái)（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
6．執(zhí)行下側(cè)的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ）
A．5050 B．4950 C．166650 D．171700
7．已知平面區(qū)域中的點(diǎn)滿(mǎn)足，若在圓面中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自區(qū)域的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
9．為了強(qiáng)化學(xué)生安全意識(shí)，落實(shí)“12530”安全教育，某學(xué)校讓學(xué)生用這5個(gè)數(shù)字再加一個(gè)0來(lái)設(shè)定自己教室儲(chǔ)物柜密碼，若兩個(gè)0之間至少有一個(gè)數(shù)字，且兩0不都在首末兩位，可以設(shè)置的密碼共有（ ）
A．72 B．120 C．216 D．240
10．若將確定的兩個(gè)變量與之間的關(guān)系看成，則函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B． C． D．
11．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率為）交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若線段的中垂線交軸于一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為_(kāi)_______。
14．為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為_(kāi)_______。
15．已知分別為三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若，設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，則________。
16．已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_______。
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足。
（1）若，請(qǐng)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
18．（本小題滿(mǎn)分12分）
陜西省從2022年秋季啟動(dòng)新高考，新高考“”模式中“3”為全國(guó)統(tǒng)一高考科目的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，“1”為首選科目，要求從物理、歷史2門(mén)科目中確定1門(mén)，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門(mén)科目中確定2門(mén)，共計(jì)產(chǎn)生12種組合。某班有學(xué)生50名，在選科時(shí)，首選科目選歷史和物理的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
附：，其中。
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)；
（2）從選擇歷史的10名學(xué)生中任意抽取3名同學(xué)參加學(xué)?！般懹洑v史，強(qiáng)國(guó)有我”演講比賽，設(shè)為抽取的三名學(xué)生中女生的人數(shù)，求的分布列，并求數(shù)學(xué)期望和方差。
19．（本小題滿(mǎn)分12分）
在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形。平面，若。
（1）求證：平面平面；
（2）是否在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為。若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
20．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知兩圓，動(dòng)圓在圓的內(nèi)部，且與圓相內(nèi)切，與圓相外切。
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值。
21．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)。
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍。
（二）選考題：共10分，考生從22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極原點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系。曲線的極坐標(biāo)方程為。
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的一般方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值。
23．（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-5：不等式選講】
已知函數(shù)。
（1）解不等式；
（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍。
咸陽(yáng)市2024年高考模擬檢測(cè)（二）
數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．解：（1）因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，②
①-②得：，
又時(shí)，，
又，所以，
則，
又
所以，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。（9分）
（2）由（1）知，
則
（12分）
18．解：（1）將表中的數(shù)據(jù)帶入，得到，
所以沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)。（5分）
（2）由題意知，的可能取值為，
則，
所以分布列為：
則數(shù)學(xué)期望，
方差．（12分）
19．解：（1）證明：如圖，設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，且，
即四邊形為平行四邊形，可得，
在底面正三角形中，為邊的中點(diǎn)，則，
又平面，且平面，所以。
由于，且平面，所以平面。
因?yàn)槠矫?，則平面，
又平面，則平面平面。
（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則。
設(shè)點(diǎn)，則。
設(shè)平面的法向量為，平面的法向
量為。
由題意知即
令，則，即，
同理可得：，
由，將的坐標(biāo)帶入計(jì)算，
可得：，由于點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，故，所以，
即存在點(diǎn)滿(mǎn)足，此時(shí)．（12分）
20．解：（1）設(shè)點(diǎn)為所求曲線軌跡上任意一點(diǎn)，
由題意知，其中為圓的半徑，
則，
由橢圓的定義知，點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，的橢圓。
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）由題意知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去得，
設(shè)點(diǎn)，則，
，
又的周長(zhǎng)為，
所以的內(nèi)切圓半徑，
令，則，
設(shè)函數(shù)，則，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，即，
則，此時(shí)的內(nèi)切圓面積的最大值。（12分）
21．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，令，解得?br>當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；
綜上：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
（2）因?yàn)?，所以等價(jià)于
，
令，上述不等式等價(jià)于，
顯然為單調(diào)增函數(shù)，所求不等式等價(jià)于，即，
令，則，
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
，
，即的取值范圍是。
（二）選考題：共10分，考生從22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，
曲線的直角坐標(biāo)方程為，即。（2分）
又直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
直線的一般方程為。
（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）帶入中，
得到，
化簡(jiǎn)可以得到：，
則，
圓心到直線的距離，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。
所以的面積的最大值為2。（10分）
23．（本小題滿(mǎn)分10分）【選修4-5：不等式選講】
解：（1）
若，即或或
解之得：或。
則原不等式的解集為或。（5分）
（2）函數(shù)，若函數(shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，即
在上無(wú)解，
可得：在上無(wú)解，
即，
因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)，
所以，即的取值范圍為。（10分）歷史
物理
合計(jì)
男生
2
23
25
女生
8
17
25
合計(jì)
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3

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