1．（5分）數(shù)據(jù)68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位數(shù)為（ ）
A．69B．70C．75D．96
2．（5分）已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝±3x，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．3
3．（5分）等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn與Tn，若，則（ ）
A．B．C．D．2
4．（5分）已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題錯誤的是（ ）
A．如果α∥β，n?α，那么n∥β
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．如果m∥n，m⊥α，那么n⊥α
D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
5．（5分）為了更好的了解黨的歷史，宣傳黨的知識，傳頌英雄事跡．某校團(tuán)支部6人組建了黨史宣講，歌曲演唱，詩歌創(chuàng)作三個小組，每組2人，其中甲不會唱歌，乙不能勝任詩歌創(chuàng)作，則組建方法有（ ）種
A．60B．72C．30D．42
6．（5分）已知直線l1：（m﹣1）x+my+3＝0與直線l2：（m﹣1）x+2y﹣1＝0平行，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的（ ）
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
7．（5分）已知α，β∈（0，），2tanα，則tan（2α+β）＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）雙曲線C：x2﹣y2＝4的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2，△F1AB的內(nèi)切圓圓心分別為O1，O2，O3，則△O1O2O3的面積是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論錯誤的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增
C．f（x）在[﹣π，π]有4個零點(diǎn)
D．f（x）的最大值為2
（多選）10．（6分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，滿足|z1|?|z2|≠0，下列說法正確的是（ ）
A．若|z1|＝|z2|，則
B．|z1+z2|≤|z1|+|z2|
C．若z1z2∈R，則
D．|z1z2|＝|z1||z2|
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），f（1），f（）為偶函數(shù)，則（ ）
A．f（0）＝0B．f（x）為偶函數(shù)
C．f（3+x）＝﹣f（3﹣x）D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）定義集合運(yùn)算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則集合A⊙B所有元素之和為 ．
13．（5分）早在南北朝時期，祖沖之和他的兒子祖暅在研究幾何體的體積時，得到了如下的祖暅原理：冪勢既同，則積不容異．這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．將雙曲線C1：與y＝0，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體Γ，其中線段OA為雙曲線的實(shí)半軸，點(diǎn)B和C為直線分別與雙曲線一條漸近線及右支的交點(diǎn)，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積是 ，幾何體Γ的體積為 ．
14．（5分）已知X為包含v個元素的集合（v∈N*，v≥3）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個，元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱（X，A）組成一個v階的Steiner三元系．若（X，A）為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax﹣a2x2（a≥0）．
（1）若x＝1是函數(shù)y＝f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．
16．（15分）A，B，C，D四人進(jìn)行羽毛球單打循環(huán)練習(xí)賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方下場，第1局由A，B對賽，接下來按照C，D的順序上場第2局、第3局（來替換負(fù)的那個人），每次負(fù)的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后（即排到最后一個），需要再等2局（即下場后的第3局）才能參加下一場練習(xí)賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求前4局A都不下場的概率；
（2）用X表示前4局中B獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
17．（15分）四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，AD＝2，∠BAD＝60°，平面PBD⊥平面ABCD．
（1）證明：PB⊥AC；
（2）若PB＝PD，且PA與平面ABCD成角為60°，點(diǎn)E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．
18．（17分）如圖，已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，|F1F2|＝2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（4，m）的直線PA1，PA2與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，其中m＞0，求△OMN的面積S的最大值．
19．（17分）已知是m2個正整數(shù)組成的m行m列的數(shù)表，當(dāng)1≤i＜s≤m，1≤j＜t≤m時，記d（ai，j，as，t）＝|ai，j﹣as，j|+|as，j﹣as，t|．設(shè)n∈N*，若Am滿足如下兩個性質(zhì)：
①ai，j∈{1，2，3；?，n}（i＝1，2，?，m；j＝1，2，?，m）；
②對任意k∈{1，2，3，?，n}，存在i∈{1，2，?，m}，j∈{1，2，?，m}，使得ai，j＝k，則稱Am為Γn數(shù)表．
（1）判斷是否為Γ3數(shù)表，并求d（a1，1，a2，2）+d（a2，2，a3，3）的值；
（2）若Γ2數(shù)表A4滿足d（ai，j，ai+1，j+1）＝1（i＝1，2，3；j＝1，2，3），求A4中各數(shù)之和的最小值；
（3）證明：對任意Γ4數(shù)表A10，存在1≤i＜s≤10，1≤j＜t≤10，使得d（ai，j，as，t）＝0．
2024年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷
參考答案與試題解析
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）數(shù)據(jù)68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位數(shù)為（ ）
A．69B．70C．75D．96
【解答】解：因?yàn)?×15%＝1.2，
根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，該數(shù)學(xué)成績的15%分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)70．
故選：B．
2．（5分）已知雙曲線1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝±3x，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線為：yx，
所以由題意可得：3，
所以離心率e，
故選：A．
3．（5分）等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn與Tn，若，則（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：根據(jù)題意，2．
故選：D．
4．（5分）已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題錯誤的是（ ）
A．如果α∥β，n?α，那么n∥β
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．如果m∥n，m⊥α，那么n⊥α
D．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
【解答】解：α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，
對于A，α∥β，n?α，則由面面平行的性質(zhì)得n∥β，故A正確；
對于B，m⊥α，n∥α，則由線面垂直的性質(zhì)得m⊥n，故B正確；
對于C，m∥n，m⊥α，則由線面垂直的判定定理得n⊥α，故C正確；
對于D，m⊥n，m⊥α，n∥β，則α與β相交或平行，故D錯誤．
故選：D．
5．（5分）為了更好的了解黨的歷史，宣傳黨的知識，傳頌英雄事跡．某校團(tuán)支部6人組建了黨史宣講，歌曲演唱，詩歌創(chuàng)作三個小組，每組2人，其中甲不會唱歌，乙不能勝任詩歌創(chuàng)作，則組建方法有（ ）種
A．60B．72C．30D．42
【解答】解：6人平均分3個不同組，共種，
甲在歌曲演唱小組，此時有種，
乙在歌曲詩歌創(chuàng)作小組，此時有種，
甲在歌曲演唱小組且乙在歌曲詩歌創(chuàng)作有種，
故共有90﹣30﹣30+12＝42種，
故選：D．
6．（5分）已知直線l1：（m﹣1）x+my+3＝0與直線l2：（m﹣1）x+2y﹣1＝0平行，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的（ ）
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：當(dāng)l1∥l2時，（m﹣1）×2＝m（m﹣1），
解得m＝1或m＝2，經(jīng)檢驗(yàn)可知m＝1或m＝2都符合，
所以“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．
故選：B．
7．（5分）已知α，β∈（0，），2tanα，則tan（2α+β）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)?tanα，
所以，
所以sinα+sinαsinβ＝csαcsβ，
即sinα＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝cs（α+β），
因?yàn)棣?，β∈?，），所以α+α+β，
所以tan（2α+β）＝tan．
故選：B．
8．（5分）雙曲線C：x2﹣y2＝4的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2，△F1AB的內(nèi)切圓圓心分別為O1，O2，O3，則△O1O2O3的面積是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意如圖所示：由雙曲線C：x2﹣y2＝4，
知a2＝b2＝4，
所以c2＝a2+b2＝8，
所以，
所以過F2作垂直于x軸的直線為，
代入C中，解出，
由題知△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓的半徑相等，
且|AF1|＝|BF1|，△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)切圓圓心
O1，O2的連線垂直于x軸于點(diǎn)P，
設(shè)為r，在△AF1F2中，
由等面積法得：，
由雙曲線的定義可知：|AF1|﹣|AF2|＝2a＝4，
由|AF2|＝2，所以|AF1|＝6，
所以，
解得：，
因?yàn)镕1F2為△F1AB的∠AF1B的角平分線，
所以O(shè)3一定在F1F2上，即x軸上，令圓O3半徑為R，
在△AF1B中，由等面積法得：，
又，
所以，
所以，
所以，，
所以，
故選：A．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論錯誤的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增
C．f（x）在[﹣π，π]有4個零點(diǎn)
D．f（x）的最大值為2
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sin|x|+|sinx|的定義域?yàn)镽，
又f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故A正確．
當(dāng)時，f（x）＝2sinx，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯誤．
當(dāng)0≤x≤π時，f（x）＝2sinx，它有兩個零點(diǎn)：0，π；
當(dāng)﹣π≤x＜0時，f（x）＝sin（﹣x）﹣sinx＝﹣2sinx，
它有一個零點(diǎn)：﹣π，故f（x）在[﹣π，π]有3個零點(diǎn)：﹣π，0，π，故C錯誤．
當(dāng)x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈N*）時，f（x）＝2sinx；
當(dāng)x∈[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈N*）時，f（x）＝sinx﹣sinx＝0，
又f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）的最大值為2，故D正確．
故選：BC．
（多選）10．（6分）已知復(fù)數(shù)z1，z2，滿足|z1|?|z2|≠0，下列說法正確的是（ ）
A．若|z1|＝|z2|，則
B．|z1+z2|≤|z1|+|z2|
C．若z1z2∈R，則
D．|z1z2|＝|z1||z2|
【解答】解：對選項(xiàng)A，設(shè)，
則，，不滿足，故A錯誤；
對選項(xiàng)B，設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為，且，
當(dāng)方向相同時，，
當(dāng)方向不相同時，，
綜上|z1+z2|≤|z1|+|z2|，故B正確；
對選項(xiàng)C，設(shè)z1＝1+i，z2＝1﹣i，z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R，
，故C錯誤；
對選項(xiàng)D，設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d≠0，
z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，
則，
，
故D正確．
故選：BD．
（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），f（1），f（）為偶函數(shù)，則（ ）
A．f（0）＝0B．f（x）為偶函數(shù)
C．f（3+x）＝﹣f（3﹣x）D．
【解答】解：對于A，因?yàn)閒（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），令x＝y(tǒng)＝0，則f2（0）＝0，故A正確；
對于B，因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
令x＝0，則f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y）＝﹣f2（y），
又f（y）不恒為0，故f（﹣y）＝﹣f（y），
所以f（x）為奇函數(shù)，故B錯誤；
對于C，因?yàn)閒（）為偶函數(shù)，所以f（）＝f（），
即f（x）＝f（﹣x），
所以f（x）的圖象關(guān)于x對稱，
所以f（x+3）＝f（﹣x），f（x）＝f（﹣x+3），
由B選項(xiàng)可知，f（x）為奇函數(shù)，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即f（x+3）＝﹣f（﹣x+3），故正確；
對于D，由選項(xiàng)C可知f（x+3）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
所以f（x）的周期為6，
又因?yàn)閒（1），
所以f（﹣1）＝﹣f（1），
由f（x）＝f（﹣x+3）可得：f（2）＝f（1），
f（3）＝f（0）＝0，f（4）＝f（﹣1），
f（5）＝f（﹣2）＝﹣f（2），
f（6）＝f（0）＝0，
所以f（1）+f（2）+…+f（6）00＝0，
所以f（1）+f（2）+…+f（2023）＝337[f（1）+f（2）+…+f（6）]+f（1）＝337×0+f（1）＝f（1），故正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）定義集合運(yùn)算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，則集合A⊙B所有元素之和為 18 ．
【解答】解：∵A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，
∴z＝0×2×（0+2）＝0，z＝0×3×（0+3）＝0，z＝1×2×（1+2）＝6，z＝1×3×（1+3）＝12，
∴A⊙B＝{0，6，12}，
∴集合A⊙B所有元素之和為18．
故答案為：18．
13．（5分）早在南北朝時期，祖沖之和他的兒子祖暅在研究幾何體的體積時，得到了如下的祖暅原理：冪勢既同，則積不容異．這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．將雙曲線C1：與y＝0，所圍成的平面圖形（含邊界）繞其虛軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體Γ，其中線段OA為雙曲線的實(shí)半軸，點(diǎn)B和C為直線分別與雙曲線一條漸近線及右支的交點(diǎn)，則線段BC旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積是 π ，幾何體Γ的體積為 ．
【解答】解：由雙曲線得，則漸近線方程為
所以，所以，則；又，所以，則
則線段旋轉(zhuǎn)一周所得的圖形的面積為：；
因?yàn)楸黄叫杏谶@兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總想等，
又雙曲線的實(shí)半軸OA＝a＝1，此時截面面積為
所以根據(jù)祖暅定理可得：幾何體Γ的體積為；
故答案為：π；．
14．（5分）已知X為包含v個元素的集合（v∈N*，v≥3）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個，元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱（X，A）組成一個v階的Steiner三元系．若（X，A）為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為 7 ．
【解答】解：由題設(shè)，令集合X＝{a，b，c，d，e，f，g}，共7個元素，
所以X的三元子集，如下共35個：
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，f}，{a．b．g}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，c，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{a，d，f}{a，d，g}，{a，e，f}，{a，e，g}，{a，f，g}，{b，c，d}，{b，c，e}，{b，c，f}，{b，c，g}，{b，d，e}，{b，d，f}，{b，d，g}，{b，e，f}，{b，e，g}，{b，f，g}，{c，d，e}，{c，d，f}，{c，d，g}，{c，e，f}，{c，e，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，{d，e，g}，{d，f，g}，{e，f，g}，
因?yàn)锳中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以A中元素滿足：
{a，b，c}，{a，d，e}，{a，f，g}，{b，d，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共7個；
{a，b，c}，{a，d，f}，{a，e，g}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{c，e，f}，共7個；
{a，b，c}，{a，d，g}，{a，e，f}，{b，d，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{c，e，g}，共7個；
{a，b，d}，{a，c，e}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，e，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共7個；
{a，b，d}，{a，c，g}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，f}，{d，e，g}，共7個；
{a，b，d}，{a，c，f}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，f，g}，{c，d，g}，{d，e，f}，共7個；
{a，b，e}，{a，c，d}，{a，f，g}，{b，c，f}，{b，d，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共7個；
{a，b，e}，{a，c，f}，{a，d，g}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，g}，{d，e，f}，共7個；
{a，b，e}，{a，c，g}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，f，g}，{c，e，f}，{d，e，g}，共7個；
{a，b，f}，{a，c，d}，{a，e，g}，{b，c，e}，{b，d，g}，{c，f，g}，{d，e，f}，共7個；
{a，b，f}，{a，c，g}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，g}，{c，e，f}，{d，f，g}，共7個；
{a，b，g}，{a，c，d}，{a，e，f}，{b，c，e}，{b，d，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共7個；
{a，b，g}，{a，c，e}，{a，d，f}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，f，g}，{d，e，g}，共7個；
{a，b，g}，{a，c，f}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，e，f}，{c，e，g}，{d，f，g}共7個；
共有15種滿足要求的集合A，都只有7個元素．
故答案為：7．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ax﹣a2x2（a≥0）．
（1）若x＝1是函數(shù)y＝f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
因?yàn)閤＝1是函數(shù)y＝f（x）的極值點(diǎn)，所以f′（1）＝1+a﹣2a2＝0，解得或a＝1，
因?yàn)閍＞0，所以a＝1；
（2）若a＝0，0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
若a≠0，則a＞0，，
由f′（x）＞0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得0＜x；
由f′（x）＜0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得x；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，）；單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）．
16．（15分）A，B，C，D四人進(jìn)行羽毛球單打循環(huán)練習(xí)賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方下場，第1局由A，B對賽，接下來按照C，D的順序上場第2局、第3局（來替換負(fù)的那個人），每次負(fù)的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后（即排到最后一個），需要再等2局（即下場后的第3局）才能參加下一場練習(xí)賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求前4局A都不下場的概率；
（2）用X表示前4局中B獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）前4局A都不下場說明前4局A都獲勝，
故前4局A都不下場的概率為；
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
其中，X＝0表示第1局B輸，第4局是B上場，且B輸，則；
X＝1表示第1局B輸，第4局是B上場，且B贏；或第1局B贏，且第2局B輸，則；
X＝2表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B輸，
則；
X＝3表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B贏，第4局B輸，
則；
X＝4表示第1局B贏，且第2局B贏，第3局B贏，第4局B贏，則；
所以X的分布列為：
故X的數(shù)學(xué)期望為．
17．（15分）四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，AD＝2，∠BAD＝60°，平面PBD⊥平面ABCD．
（1）證明：PB⊥AC；
（2）若PB＝PD，且PA與平面ABCD成角為60°，點(diǎn)E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，
所以BD⊥AC，
因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面PBD，
因?yàn)镻B?平面PBD，故AC⊥PB．
（2）設(shè)AC∩BD＝O，則O為AC、BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)镻B＝PD，
所以PO⊥BD，
又因?yàn)锳C⊥平面PBD，PO?平面PBD，
所以PO⊥AC，
因?yàn)锳C∩BD＝O，AC、BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
所以∠PAO為PA與平面ABCD所成角，故∠PAO＝60°，
由于四邊形ABCD為邊長為AD＝2，∠BAD＝60°的菱形，
所以，，
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
則，，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，3），
由，
得，且，
設(shè)平面BEC的法向量為，
則，
取，則z＝1，y＝0，
所以，
又平面BCD的一個法向量為，
所以，
所以平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值為．
18．（17分）如圖，已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，|F1F2|＝2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（4，m）的直線PA1，PA2與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，其中m＞0，求△OMN的面積S的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵離心率為，|F1F2|＝2，∴，∴a＝2，c，則b＝1
∴橢圓C的方程的方程為：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1（﹣2，0），A2（2，0），
直線PA1，PA1的方程分別為：y，y
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2﹣36＝0
∴﹣2+xM，可得.，
由，可得（1+m2）x2﹣4mx+4m2﹣4＝0
∴2+xN，可得xN，
，
直線MN的方程為：，
y
可得直線MN過定點(diǎn)（1，0），故設(shè)MN的方程為：x＝ty+1
由得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，
|y1﹣y2|
∴△OMN的面積S（y1﹣y2）＝2
令，則s
∵，且函數(shù)f（d）＝d在[，+∞）遞增，
∴當(dāng)d，s取得最小值
19．（17分）已知是m2個正整數(shù)組成的m行m列的數(shù)表，當(dāng)1≤i＜s≤m，1≤j＜t≤m時，記d（ai，j，as，t）＝|ai，j﹣as，j|+|as，j﹣as，t|．設(shè)n∈N*，若Am滿足如下兩個性質(zhì)：
①ai，j∈{1，2，3；?，n}（i＝1，2，?，m；j＝1，2，?，m）；
②對任意k∈{1，2，3，?，n}，存在i∈{1，2，?，m}，j∈{1，2，?，m}，使得ai，j＝k，則稱Am為Γn數(shù)表．
（1）判斷是否為Γ3數(shù)表，并求d（a1，1，a2，2）+d（a2，2，a3，3）的值；
（2）若Γ2數(shù)表A4滿足d（ai，j，ai+1，j+1）＝1（i＝1，2，3；j＝1，2，3），求A4中各數(shù)之和的最小值；
（3）證明：對任意Γ4數(shù)表A10，存在1≤i＜s≤10，1≤j＜t≤10，使得d（ai，j，as，t）＝0．
【解答】解：（1）是Γ3數(shù)表，
d（a1，1，a2，2）+d（a2，2，a3，3）＝2+3＝5；
（2）由題可知d（ai，j，as，t）＝|ai，j﹣as，j|+|as，j﹣as，t|＝1（i＝1，2，3；j＝1，2，3），
當(dāng)ai+1，j＝1時，有d（ai，j，ai+1，j+1）＝（ai，j﹣1）（ai+1，j+1﹣1）＝1，
所以ai，j+ai+1，j+1＝3，
當(dāng)ai+1，j＝2時，有d（ai，j，ai+1，j+1）＝（2﹣ai，j）（2﹣ai+1，j+1）＝1，
所以ai，j+ai+1，j+1＝3，
所以ai，j+ai+1，j+1＝3（i＝1，2，3；j＝1，2，3），
所以a1，1+a2，2+a3，3+a4，4＝3+3＝6，a1，3+a2，4＝3，a3，1+a4，2＝3，
a1，2+a2，3+a3，4＝3+1＝4或者a1，2+a2，3+a3，4＝3+2＝5，
a2，1+a3，2+a4，3＝3+1＝4或者a2，1+a3，2+a4，3＝3+2＝5，
a1，4＝1或a1，4＝2，a4，1＝1或a4，1＝2，
故各數(shù)之和≥6+3+3+4+4+1+1＝22，
當(dāng)時，
各數(shù)之和取得最小值22；
（3）證明：由于Γ4數(shù)表A10中共100個數(shù)字，
必然存在k∈{1，2，3，4}，使得數(shù)表中k的個數(shù)滿足T≥25，
設(shè)第i行中k的個數(shù)為ri（i＝1，2，…，10），
當(dāng)ri≥2時，將橫向相鄰兩個k用從左向右的有向線段連接，
則該行有ri﹣1條有向線段，
所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)RT﹣10，
設(shè)第j列中k的個數(shù)為cj（j＝1，2，…，10）．
當(dāng)cj≥2時，將縱向相鄰兩個k用從上到下的有向線段連接，
則該列有cj﹣1條有向線段，
所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)CT﹣10，
所以R+C≥2T﹣20，
因?yàn)門≥25，所以R+C﹣T≥2T﹣20﹣T＝T﹣20＞0．
所以必存在某個k既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，
即存在1＜u＜v≤10，1＜p＜q≤10，
使得au，p＝av，p＝av，q＝k，
所以d（au，p，av，q）＝|au，p﹣av，p|+|av，p﹣av，q|＝0，
則命題得證．
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