重慶市2024屆高三下學(xué)期2月月度質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份重慶市2024屆高三下學(xué)期2月月度質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共12頁。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類,某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量;②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測;上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是( )
A.①用簡單隨機(jī)抽樣,②用分層隨機(jī)抽樣
B.①用簡單隨機(jī)抽樣,②用簡單隨機(jī)抽樣
C.①用分層隨機(jī)抽樣,②用簡單隨機(jī)抽樣
D.①用分層隨機(jī)抽樣,②用分層隨機(jī)抽樣
2．下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A.B.C.D.
3．已知是公比為2的等比數(shù)列,若,則( )
A.100B.80C.50D.40
4．若,則( )
A.B.C.D.
5．已知圓,直線與圓C交于A,B兩點(diǎn).若為直角三角形,則( )
D.
6．已知數(shù)列滿足,,若,則正整數(shù)k的值是( )
A.8B.12C.16D.20
7．已知橢圓的左焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,點(diǎn)Q在直線上,若,,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
8．對于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A,B,C,D,其中,,,,,,,,則( )
A.A與B不互斥B.A與D互斥但不對立
C.C與D互斥D.A與C相互獨(dú)立
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知,若,且p是q的必要條件,則q可能為( )
A.的最小正周期為B.是圖象的一條對稱軸
C.在上單調(diào)遞增D.在上沒有零點(diǎn)
10．設(shè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為R,且在區(qū)間I上都是單調(diào)增函數(shù),則( )
A.不具有奇偶性,且在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)
B.不具有奇偶性,且在區(qū)間I上的單調(diào)性不能確定
C.是奇函數(shù),且在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)
D.是偶函數(shù),且在區(qū)間I上的單調(diào)性不能確定
11．對于任意兩個(gè)正數(shù)u,,記曲線與直線,,x軸圍成的曲邊梯形的面積為,并約定和,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關(guān)于,下列說法正確的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．若命題,為真命題,則m的取值范圍為_____________.
13．已知,為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,,,則的最大值為____________.
四、雙空題
14．在多面體PABCQ中,,且QA,QB,QC兩兩垂直,則該多面體的外接球半徑為____________,內(nèi)切球半徑為_____________.
五、解答題
15．已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同,其余完全相同）,某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次,每次抽取一個(gè)小球,從第一輪開始,若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球,則該試驗(yàn)成功,并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同,其余完全相同）放入盒中,然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).
(1)若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功,也停止試驗(yàn)）,記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第n輪不成功,也停止試驗(yàn)）,記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為,則乙能試驗(yàn)成功的概率為,證明：.
16．如圖,是半球O的直徑,,M,N是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn),P是半球面上一點(diǎn),且.
(1)證明：平面：
(2)若點(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影恰在上,求直線與平面所成角的正弦值.
17．設(shè),函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,試證明：.
18．已知拋物線：,直線,且點(diǎn)B,D在拋物線上.
(1)若點(diǎn)A,C在直線l上,且A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成菱形,求直線的方程;
(2)若點(diǎn)A為拋物線和直線l的交點(diǎn)（位于x軸下方）,點(diǎn)C在直線l上,且A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成矩形,求直線的斜率.
19．固定項(xiàng)鏈的兩端,在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年,萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程,其中c為參數(shù).當(dāng)時(shí),就是雙曲余弦函數(shù),類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式,請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫出即可,不要求證明）;
(2),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若,試比較與的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
參考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：AC
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ABC
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：；
解析：
15．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）由題意得,X的可能取值為1,2,3,
在第一輪中,試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為,,
依題意,在第二輪中,盒中有一個(gè)白球,兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球,每次摸到白球的概率為,,易知,
的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望.
（2）證明：當(dāng)時(shí),不難知道,
,
,
由（1）可知,又,
,
.即.
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）連接,,
因?yàn)镸,N是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn),
所以有,又因?yàn)?
所以,都為正三角形,所以,四邊形是菱形,
記與的交點(diǎn)為Q,Q為和的中點(diǎn),因?yàn)?
所以三角形為正三角形,所以,所以,
因?yàn)镻是半球面上一點(diǎn),是半球O的直徑,所以,
因?yàn)?,平面,所以平面.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影恰在上,
由（1）知Q為的中點(diǎn),為正三角形,所以,
所以底面,因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以,
即,,兩兩互相垂直,以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則,,,,
所以,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,所以,
取,則,設(shè)直線與平面的所成角為,
所以,
故直線與平面所成角的正弦值為.
17．答案：（1）或時(shí),無零點(diǎn);時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)
（2）見解析
解析：（1）,令,即,
當(dāng)時(shí),令,所以,
則即,
所以當(dāng)或時(shí),即或時(shí),無解;
當(dāng)時(shí),即時(shí),僅有一解;
當(dāng)即時(shí),有兩解,
綜上,或時(shí),無零點(diǎn);時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn),,令,,則,為兩解,
則,則,則,
由,可得,,則,
所以,所以,
由可得,
所以,則,
由在遞減,可得,
所以,所以
令,則
要證成立,
即證：;
即證：,因?yàn)轱@然成立,故原式成立.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意知,設(shè)直線.
聯(lián)立得,
則,,,
則的中點(diǎn)在直線上,
代入可解得,,滿足直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),
所以直線的方程為,即.

（2）當(dāng)直線,的斜率為0或不存在時(shí),均不滿足題意.
由得或（舍去）,故.
方法一：當(dāng)直線,的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線.
聯(lián)立得,所以.
所以.同理得.
由的中點(diǎn)在直線上,
得,
即.
令,則,解得或.
當(dāng)時(shí),直線的斜率;
當(dāng)時(shí),直線的斜率不存在.
所以直線的斜率為.
方法二：設(shè),,線段的中點(diǎn),
則,.
由,得,即.
所以.
又
,
故可轉(zhuǎn)化為,
即.解得或.
所以直線的斜率.
當(dāng)時(shí),斜率不存在;當(dāng)時(shí),斜率.
所以直線的斜率為.
19．答案：（1）
（2）
（3）見解析
解析：（1）.
（2）依題意,,不等式,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,,令,
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,
又,于是,,
因此,,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,從而,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（3）,.
依題意,,
,
當(dāng)時(shí),,,即,
于是,而,因此,
當(dāng)時(shí),,則,,
即,而,因此,
于是,,所以.
X
1
2
3
P