一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項符合要求）
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 下列所給四個命題中，不是真命題的為
A. 兩個共軛復數(shù)的模相等B.
C. D.
3. 已知命題p：，是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，且，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
5. 已知實數(shù)，，則下列不等式中成立是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小值是2
B. 函數(shù)的最小值等于4
C. 若，，則的最小值2
D. 函數(shù)最小值是2
8. 雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A. B. C. D.
二、多選題（共4小題，每題5分，共20分.全部選對5分，部分選對2分，有選錯0分）
9. 在平面直角坐標系中，下列說法不正確是（ ）
A. 任意一條直線都有傾斜角和斜率
B. 直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C. 若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D. 與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或
10. 已知數(shù)列中，，則能使的可以為（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關于點對稱
C. 函數(shù)為偶函數(shù)
D. 若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則可以為
12. 如圖所示，棱長為3的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（ ）

A. B. 與所成的角可能是
C. 是定值D. 當時，點到平面的距離為2
三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知分別為三個內角的對邊，若，，則= ____.
14. 若圓與圓有且僅有一條公切線，則_________.
15. 已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,的面積為,則_________.
16. 已知正三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．
四、解答題（共6道大題，共70分）
17. 已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前項和．
18. 法國著名的數(shù)學家笛卡爾曾經說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們（書籍的作者）一一進行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進行交流，閱讀會讓精神世界閃光”.某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本每天閱讀時間的第75百分位數(shù)；
（3）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再從中任選3人進行調查，求其中恰好有2人每天閱讀時間位于的概率.
19. 已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個零點是．
（1）求解析式；
（2）當時，的最小值為，求的取值范圍．
20. 已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，且不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
21. 如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.
（1）求證：面；
（2）點在棱上，設，若二面角余弦值為，求.
22. 如圖所示：已知橢圓的短軸長為2，A是橢圓的右頂點，直線過點交橢圓于兩點，交軸于點.記的面積為.

（1）若離心率，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下①求證：為定值；②求的取值范圍；
大慶外國語學校高二年級寒假開學質量檢測
數(shù)學試題
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項符合要求）
1. 已知集合，集合，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】解不等式確定集合A、B后再求并集即可.
【詳解】∵，，
∴.
故選:A.
2. 下列所給的四個命題中，不是真命題的為
A. 兩個共軛復數(shù)的模相等B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設，根據(jù)已知中的條件，將代入，解關于，的方程，求出滿足條件的，的值，可以判斷出，，為真命題，舉出反例說明，也可能不成立，即可判斷錯誤，進而得到答案．
【詳解】對于，設，其共軛復數(shù)為，兩個共軛復數(shù)的模相等，故正確；
對于，，故正確；
對于，例如，，滿足但不滿足，故錯誤；
對于，設，其共軛復數(shù)為，此時，，故正確.
故選C.
【點睛】本題考查的知識點是復數(shù)的基本概念，其中根據(jù)復數(shù)模的計算方法及復數(shù)的基本運算法則，設復數(shù)為代入各個選項，判斷命題的真假是解答本題的關鍵．
3. 已知命題p：，是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由命題p的否定“，”為真命題求解．
【詳解】解：由題意，命題p的否定“，”為真命題．
當時，恒成立；
當時，，解得．
綜上，．
故選：A．
4. 已知向量，且，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示計算即可.
【詳解】由.
因為，所以．
故選:A.
5. 已知實數(shù)，，則下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性，及特殊值，逐一分析選項即可.
【詳解】對于A：當時，不成立，所以A錯誤；
對于B：由指數(shù)函數(shù)圖象與性質得，其在是減函數(shù)，
，，所以B正確；
對于C：當時，不成立，所以C錯誤；
對于D：冪函數(shù)在 單調遞減，而，
所以，所以D錯誤.
故選：.
【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調性應用，考查分析理解，計算化簡的能力，屬基礎題.
6. 已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，由函數(shù)的奇偶性可得，解之即可求解.
【詳解】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
則，
所以，即，
解得.
故選：D
7. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小值是2
B. 函數(shù)的最小值等于4
C. 若，，則的最小值2
D. 函數(shù)的最小值是2
【答案】D
【解析】
【分析】選項AC可以取特殊值舉反例；選項B不符合取等號的條件；選項D用基本不等式求得.
【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；
對于B，，當且僅當，不符合余弦函數(shù)的最值，故取不到等號，B錯誤；
對于C，當時，，故C錯誤；
對于D，，當且僅當時，取等號，故D正確；
故選：D
8. 雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發(fā)出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結合題意作出圖形，然后結合雙曲線的定義表示出，進而利用勾股定理可得的關系，從而可求出結果.
詳解】由題意知延長則必過點,如圖：

由雙曲線的定義知，
又因為，所以，
因為，所以，
設，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因為，所以，
即，即，
故選：B.
二、多選題（共4小題，每題5分，共20分.全部選對5分，部分選對2分，有選錯0分）
9. 在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（ ）
A. 任意一條直線都有傾斜角和斜率
B. 直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C. 若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D. 與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當直線的傾斜角為時，直線沒有斜率，故A錯誤；
對于B，當直線的傾斜角為時，斜率為，
當直線的傾斜角為時，斜率為，故B錯誤；
對于C，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；
對于D，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
即與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或，故D正確.
故選：ABC.
10. 已知數(shù)列中，，則能使的可以為（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】AD
【解析】
【分析】證明數(shù)列的周期，然后算第一個周期中等于的項.
【詳解】
又
是以為周期的周期數(shù)列.
又因為，所以，故時
經檢驗A D都符合.
故選：AD
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關于點對稱
C. 函數(shù)為偶函數(shù)
D. 若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則可以為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，利用輔助角公式和周期公式即可判斷；對于B，求出后利用對稱中心點的計算即可判斷；對于C，利用偶函數(shù)的判斷標準判斷即可；對于D，根據(jù)三角函數(shù)變換法則進行變換后，利用關于軸對稱進行判斷即可.
【詳解】因為，
所以的最小正周期為，故A正確；
當時，，
所以函數(shù)的圖象關于點對稱，B正確；
易知函數(shù)的定義域為，
又
，
所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；
函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應的函數(shù)為，
由題意，函數(shù)的圖象關于軸對稱，
所以，，即，，
當時，，故D正確．
故選：ABD
12. 如圖所示，棱長為3的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（ ）

A. B. 與所成的角可能是
C. 是定值D. 當時，點到平面的距離為2
【答案】AC
【解析】
【分析】建立適當空間直角坐標系后，借助數(shù)量積公式與點平面距離公式逐項計算即可得.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，
則有、、、、、
、、、則，，
，，，
設，，則，，
故，即，故A正確；
若與所成的角可能為，
則存在，使得成立，
即，
化簡得，即，由，故舍去，
即與所成的角故可能是，故B錯誤；
，
故，故C正確；
當時，有，故，，
設平面的法向量為，
則有，令，則有，
則點到平面距離，
故D錯誤.
故選：AC.

三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知分別為三個內角的對邊，若，，則= ____.
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理代入求解即可.
【詳解】由余弦定理，則，
又，所以，
故答案為：.
14. 若圓與圓有且僅有一條公切線，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】由兩圓有且僅有一條公切線，故兩圓內切，故兩圓圓心距離為半徑之差，計算即可得.
【詳解】由兩圓有且僅有一條公切線，故兩圓內切，
由可得，
即該圓以為圓心，為半徑，
圓，圓心為，
故有且，
解得.
故答案為：.
15. 已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,的面積為,則_________.
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：有得所以雙曲線的漸近線為又拋物線的準線方程為聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得在中，到的距離為..
考點：雙曲線與拋物線的幾何性質.
16. 已知正三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．
【答案】##
【解析】
【分析】據(jù)題意，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證得面，進而證明面，由此可得到兩兩垂直，將三棱錐補形成正方體，即可求出外接圓半徑.
【詳解】設正三棱錐的底面中心為點，連接，則面，
連接并延長，交于點，連接，如圖所示，
因為底面是正三角形，
則為的中點，，，
又，面，面，
所以面，又因為面，
所以，又因為，，
因為，所以，故面，又因為面，
所以面，
因為面，面，所以，
因為三棱錐是正三棱錐，且底面是邊長為2的正三角形，
所以兩兩垂直，且，
將其補形成棱長為正方體，如圖：
所以正三棱錐外接球的半徑為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求幾何體外接球半徑或體積（表面積），常用方法有：補形法，利用射影定理，建立空間直角坐標系.
四、解答題（共6道大題，共70分）
17. 已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等比中項性質可構造方程求得，由等差數(shù)列通項公式可求得結果；
（2）由（1）可得，可知為等比數(shù)列，利用分組求和法，結合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結果.
【詳解】（1）成等比數(shù)列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
．
【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項和的問題；關鍵是能夠根據(jù)通項公式證得數(shù)列為等比數(shù)列，進而采用分組求和法，結合等差和等比數(shù)列求和公式求得結果.
18. 法國著名的數(shù)學家笛卡爾曾經說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們（書籍的作者）一一進行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進行交流，閱讀會讓精神世界閃光”.某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本每天閱讀時間的第75百分位數(shù)；
（3）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再從中任選3人進行調查，求其中恰好有2人每天閱讀時間位于的概率.
【答案】（1）
（2）84分鐘 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1列出方程即可求解.
（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義先確定第75百分位數(shù)的位置；再列出方程即可求解.
（3）先根據(jù)分層抽樣的方法確定位于分組，和的年輕人的人數(shù)；再利用古典概型的概率公式即可求解.
【小問1詳解】
因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，
所以，解得.
【小問2詳解】
因為成績落在內的頻率為，
落在內的頻率為，
所以第75百分位數(shù)落在.
設第75百分位數(shù)為m，
由，解得，
故第75百分位數(shù)為84，
所以估計該地年輕人閱讀時間的第75百分位數(shù)約為84分鐘.
【小問3詳解】
由題意，閱讀時間位于的人數(shù)為，
閱讀時間位于的人數(shù)為，
閱讀時間位于的人數(shù)為，
所以在這三組中按照分層抽樣抽取5人的抽樣比例為，
則抽取的5人中位于區(qū)間有1人，設為a，位于區(qū)間有3人，設為，，，位于區(qū)間有1人，設為.
則從5人中任取3人，樣本空間共含有10個樣本點.
設事件A為“恰有2人每天閱讀時間在”，
，含有6個樣本點.
所以，
所以恰好有2人每天閱讀時間位于的概率為.
19. 已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個零點是．
（1）求的解析式；
（2）當時，的最小值為，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設中周期求得，再由零點條件可求，即得函數(shù)解析式；
（2）由的范圍求出整體角的范圍，結合正弦函數(shù)的圖象，依題意須使，解之即得的取值范圍.
【小問1詳解】
由題知，所以．
又因為，所以，，即：，
又，則，
所以．
【小問2詳解】
因為，，令，
因為在上的最小值為，如圖，
可知須使，解得，
所以的取值范圍是．
20. 已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，且不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由與的關系式易得關于通項的遞推式，根據(jù)等比特征求出通項，代入的通項可求出；
（2）因屬于“差比數(shù)列”，運用錯位相減法可求得，由恒成立，即恒成立，利用數(shù)列的函數(shù)思想，求函數(shù)的最大值即可.
【小問1詳解】
當時，，解得．
當時，，兩式相減得，
即，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故．
又，故．
【小問2詳解】
因為，所以①，②，
①②得:．
所以．
不等式對一切恒成立，轉化為對一切恒成立．
令，
單調遞減，
所以實數(shù)的取值范圍為.
21. 如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.
（1）求證：面；
（2）點在棱上，設，若二面角余弦值為，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)四邊形為平行四邊形可得，知，由面面垂直和線面垂直性質可得，結合可證得結論；
（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可構造方程求得.
【小問1詳解】
取中點，連接，，

，，四邊形為平行四邊形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，平面，
平面.
【小問2詳解】
取中點，連接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以為坐標原點，正方向為軸正方向，作軸平行于直線，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，
，，，
，，
設平面的法向量，
則，令，解得：，，；
平面軸，平面的一個法向量，
，解得：，滿足，
.
22. 如圖所示：已知橢圓的短軸長為2，A是橢圓的右頂點，直線過點交橢圓于兩點，交軸于點.記的面積為.

（1）若離心率，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下①求證：為定值；②求的取值范圍；
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質即可求解的值，
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程得韋達定理給，結合向量的坐標運算即可求解，由弦長公式，結合對勾函數(shù)的單調性即可求解面積的范圍.
【小問1詳解】
由題意可知，，
所以，
故橢圓方程為：
【小問2詳解】
由（1）得，依題意，直線不垂直于坐標軸，
①設直線，設，

由消去并整理得：，
則，
由得，即，
而，同理，
因此，，
所以為定值.
②，
由，則有，
令，顯然函數(shù)在上單調遞增，，則，
所以的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷

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33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷(3)

33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷(3)
33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷(2)

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33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷(1)

33，黑龍江省大慶外國語學校2023-2024學年高二下學期開學質量檢測數(shù)學試卷(1)
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