一、選擇題（每小題5分，共50分）
1. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
比較大小可采用作差法比較，一般步驟是作差、變形、定號(hào)，從而得到大小關(guān)系.
【詳解】，
，即，故A不正確；
，即，故B不正確；
，即，故C正確；
，即，故D不正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式大小比較，作差法比較式子的大小，屬于基礎(chǔ)題.
2. 下列各函數(shù)中，最小值為的是（ ）
A. B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式的使用條件：“一正二定三相等”分別對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，，令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)取不到，所以，故B不正確；
，由于無解，所以等號(hào)不能取得，故C不正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，一定要注意一正，二定，三相等，缺一不可，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道中檔題.
3. 等差數(shù)列中，已知，則為（ ）
A. 48B. 49C. 50D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出公差，再由通項(xiàng)公式列方程求得．
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，
所以，解得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量運(yùn)算．在等差數(shù)列的五個(gè)量中，知三求二是常見題型，解題方法是基本量法．
4. 數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（ ）
A. 1010B. C. D. 2017
【答案】A
【解析】
【分析】
通項(xiàng)公式中出現(xiàn)，可把相鄰兩項(xiàng)先相加，然后再計(jì)算．
【詳解】
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列并項(xiàng)求和法，，在數(shù)列的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間時(shí)，可以用并項(xiàng)求和法求和．
5. 已知函數(shù)的最小值為（ ）
A. 6B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
用絕對(duì)值三角不等式求得最小值．
詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式，利用絕對(duì)值三角不等式可以很快求得其最值，本題也可以利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后利用分段函數(shù)性質(zhì)求得最值．
6. 若不等式的解集為R，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，分為和兩種情形，結(jié)合判別式與0的關(guān)系即可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)即時(shí)，恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，不等式的解為一切實(shí)數(shù)，
所以，解得，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題，正確分類討論和熟練掌握一元二次不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
7. 關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出對(duì)應(yīng)方程的根，比較兩根大小，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象寫出解集即可.
【詳解】方程的兩根分別為，
又，所以，故此不等式的解集為.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含參的一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.
8. 坐標(biāo)滿足，且，則的最小值為（ ）
A. 9B. 6C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】
代入已知點(diǎn)坐標(biāo)得的關(guān)系式，然后用基本不等式中“1”的代換法求得最小值．
【詳解】因?yàn)樽鴺?biāo)滿足，所以，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值，解題方法是“1”的代換法，目的是湊配出定值．
9. 數(shù)列中，，且，則為（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由已知遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列是周期數(shù)列，從而由周期性求得．
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，同理，，，，，
所以數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為6，
所以．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，通過遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列的性質(zhì)是解決數(shù)列的一種常用方法，考查了從特殊到一般的思想方法．
10. 為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先由題設(shè)條件求出，得到：，整理得：，從而有數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項(xiàng)相消法整理可得，解出的最小值．
【詳解】解：依題意知：當(dāng)時(shí)有，，，，
，，即，
，即，，
又，，，
數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，
故，，，，，
由上面的式子累加可得：，，
，．
由可得：
，
整理得， 且，
解得：．所以的最小值為6．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查式子的變形、構(gòu)造等差數(shù)列、累加法求和及裂項(xiàng)相消法求和、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．
二、填空題（每小題4分，共28分）
11. 已知數(shù)列的，前項(xiàng)和為，且，則的通項(xiàng)為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出，再求出可得通項(xiàng)公式．
【詳解】由題意時(shí)，，
又，
所以．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題根據(jù)是，但要注意這個(gè)等式只針對(duì)適用，需另外計(jì)算．
12. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ．
【答案】72
【解析】
試題分析:由等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)可得,所以,故應(yīng)填答案.
考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式的運(yùn)用．
13. 若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，，則____．
【答案】511
【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得： ，
即： ，解得： .
14. 已知數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>即數(shù)列為首項(xiàng)3，公比為3的等比數(shù)列，
則=，
所以．
故答案：.
【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造數(shù)列法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.
15. 不等式的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用因式分解將，轉(zhuǎn)化為，再利用穿根法求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
解得或.
所以不等式的解集為：.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查高次不等式的解法，還考查了轉(zhuǎn)化求解的能力，屬于中檔題.
16. 不等式解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)絕對(duì)值定義用分類討論的方法解不等式．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，原不等式無解，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上或，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式，解題方法是根據(jù)絕對(duì)值定義用分類討論方法去掉絕對(duì)值符號(hào)后求解．
17. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則_________.
【答案】26
【解析】
【分析】
由題意可得等差數(shù)列遞減且，可得，可得結(jié)論.
【詳解】等差數(shù)列中，
等差數(shù)列遞減且，
，
滿足的k值為,
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，得出項(xiàng)的正負(fù)和前項(xiàng)和的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題.
三、解答題（共72分）
18. 若不等式的解集為
（1）求值
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)不等式的解集為，由1，2為方程的兩根求解.
（2）由（1）得到不等式，再移項(xiàng)通分，然后利用分式不等式的解法求解.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以，1，2是方程的兩根，
所以 ，
解得，
所以的值分別是2，6.
（2）由（1）知，
所以不等式，即為，
所以，
所以，
即，
解得，
所以不等式的解集是.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及應(yīng)用以及分式不等式的解法，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.
19. 為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，已知.
（1）求的通項(xiàng)公式和的最小值；
（2）設(shè) ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1），的最小值為-30；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程組，求得，之后求出公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)果，并求出，利用配方法，結(jié)合的取值求出最小值；
（2）將代入，求出，進(jìn)一步求得，裂項(xiàng)相消求得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，且，
解得，所以，
所以，
，
所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值；
（2）因?yàn)?，且?br>所以，即，
所以，
.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式以及最值，裂項(xiàng)相消法求和，屬于簡(jiǎn)單題目.
20. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（2）若存在，使得成立，求取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）函數(shù)，利用基本不等式求解的最小值即可；
（2）由題可得，即，求解此不等式即得取值范圍.
【詳解】（1），
，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，；
（2）因?yàn)榇嬖?，使得成立?br>所以，即，
則，解得：，
所以取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求函數(shù)的最值，不等式的能成立問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
21. 正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
（3）設(shè)，求的最小項(xiàng).
【答案】（1）；（2）；（3）最小項(xiàng)為.
【解析】
【分析】
（1）由已知條件是和的等差中項(xiàng)可求得公比，然后可得通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可求得；
（3）用作差法確定的單調(diào)性后可得最小項(xiàng)．
【詳解】（1）設(shè)的公比為（），因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得（舍去），所以；
（2）由（1），
，①，
，②，
①－②得，
所以；
（3）由（1），，
所以當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，
所以或時(shí)，即是數(shù)列的最小項(xiàng)，且．
【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求和，考查求數(shù)列的最值．其中求數(shù)列的最值，可用作差法確定數(shù)列的單調(diào)性，得出結(jié)論．
22. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，，成等比.
（1）求值；
（2）證明:為等比數(shù)列，并求；
（3）設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立.試求取值范圍.
【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，又，，成等比，求解即得；
當(dāng)時(shí)，得到，化簡(jiǎn)變形，由等比數(shù)列定義即可證明并求出；
由得，代入化簡(jiǎn)得，即，又，可得取值范圍.
【詳解】（1）在中
令，得即，①
又，，成等比，所以，②
則由①②解得或，
因?yàn)?，所以?br>（2）當(dāng)時(shí)，由 ，得到，
所以，則，
又，則
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
，即.
（3）由（2）得，
不等式恒成立，代入化簡(jiǎn)得，
即，又，所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系，等比數(shù)列的證明，數(shù)列不等式的恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.
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