1. 直線的傾斜角為（ ）
A.B.150° C.120° D.60°
2．在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC＝3：5：7，那么△ABC最大內(nèi)角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3. 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒過(guò)的定點(diǎn)是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3）C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) D．（－2，0）
4. 設(shè)α，β，γ是三個(gè)互不重合的平面，m，n是兩條互不重合的直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若m∥α，n∥α，則m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，則α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，則α∥β
5．若點(diǎn)M(a，b)在圓x2＋y2＝R2外，則直線ax＋by＝R2與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
6. 已知圓錐的表面積為9π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（ ）A．1 B． C．2 D．
7. 在中，角所對(duì)的邊分別為，且.若，則的形狀是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形D.等腰直角三角形
8. 如果圓（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則a的取值范圍（ ）
A．0＜a＜3B．0≤a≤3C．a(chǎn)＜﹣1或a＞4D．a(chǎn)≤﹣1或a≥4
9. 第41屆世界博覽會(huì)于2010年月1日至10月31日，在中國(guó)上海舉行,氣勢(shì)磅礴的中國(guó)館一一“東方之冠”令人印象深刻,該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”為設(shè)計(jì)理念,代表中國(guó)文化的精神與氣質(zhì).其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗狀的主體建筑，總高度為60.3米，上方的“斗冠”類似一個(gè)倒置的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)是139.4米,下底面邊長(zhǎng)是69.9米，則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為（ ）
A.20° B.28° C.38° D.48°
10. 已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線是的兩條切線，為切點(diǎn)，C為圓心，則四邊形面積的最小值是（ ）
A. 2B.C.D.4
11. 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BD上任意一點(diǎn)，則一定有（ ）
A．PC1與AA1異面 B. PC1與A1C垂直
C．PC1與平面AB1D1相交 D. PC1與平面AB1D1平行
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為_(kāi)________.
14. 直線和互相平行，則的值為 ．
15. 2019年10月1日，在慶祝新中國(guó)成立70周年閱兵中，由我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員高超的飛行技術(shù)離不開(kāi)艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測(cè)站觀測(cè)到一架參閱直升機(jī)以千米/小時(shí)的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西60°的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東75°的方向上，仰角為30°，則直升機(jī)飛行的高度為_(kāi)_______千米（觀測(cè)站高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）．
16. 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. （本小題滿分10分）
（1）已知△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圓的方程；
求直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng).
18. （本小題滿分10分）
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，它的面積為S且滿足
（1）求角B的大??；
（2）當(dāng)a+c＝9時(shí)，求S.
19. (本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱錐C﹣AA1B的體積．
20．（本小題滿分12分）
在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40eq \r(2)海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°＋θ(其中sinθ＝eq \f(\r(26),26)，0°＜θ＜90°)且與點(diǎn)A相距10eq \r(13)海里的位置C.
(1) 求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；
(2) 若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由．
21. （本小題滿分12分）
已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．
（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程.
22. （本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且
（1）證明：平面平面；
（2）求棱與所成的角的大?。?br>（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，并求出二面角的平面角的余弦值．
高一數(shù)學(xué)期中考試
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A.B.150° C.120° D.60°
【答案】B
2．在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC＝3：5：7，那么△ABC最大內(nèi)角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
3. 當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒過(guò)的定點(diǎn)是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3）C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) D．（－2，0）
【答案】B
4. 設(shè)α，β，γ是三個(gè)互不重合的平面，m，n是兩條互不重合的直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若m∥α，n∥α，則m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，則α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，則α∥β
【答案】C
5．若點(diǎn)M(a，b)在圓x2＋y2＝R2外，則直線ax＋by＝R2與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
【答案】B
6. 已知圓錐的表面積為9π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】B
7. 在中，角所對(duì)的邊分別為，且.若，則的形狀是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形D.等腰直角三角形
【答案】C
8. 如果圓（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則a的取值范圍（ ）
A．0＜a＜3B．0≤a≤3C．a(chǎn)＜﹣1或a＞4D．a(chǎn)≤﹣1或a≥4
【答案】A
9. 第41屆世界博覽會(huì)于2010年月1日至10月31日，在中國(guó)上海舉行,氣勢(shì)磅礴的中國(guó)館一一“東方之冠”令人印象深刻,該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”為設(shè)計(jì)理念,代表中國(guó)文化的精神與氣質(zhì).其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗狀的主體建筑，總高度為60.3米，上方的“斗冠”類似一個(gè)倒置的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)是139.4米,下底面邊長(zhǎng)是69.9米，則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為（ ）
A.20°B.28°C.38°D.48°
【答案】C
10. 已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線是的兩條切線，為切點(diǎn)，C為圓心，則四邊形面積的最小值是（ ）
A. 2B.C.D.4
【答案】A
11. 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BD上任意一點(diǎn)，則一定有（ ）
A．PC1與AA1異面 B. PC1與A1C垂直
C．PC1與平面AB1D1相交 D. PC1與平面AB1D1平行
【答案】D
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為_(kāi)________.
【答案】eq \r(2)
14. 直線和互相平行，則的值為 ．
【答案】-1
15. 2019年10月1日，在慶祝新中國(guó)成立70周年閱兵中，由我國(guó)自主研制的軍用飛機(jī)和軍用無(wú)人機(jī)等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員高超的飛行技術(shù)離不開(kāi)艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測(cè)站觀測(cè)到一架參閱直升機(jī)以千米/小時(shí)的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏西60°的方向上，1分鐘后第二次觀測(cè)到該飛機(jī)在北偏東75°的方向上，仰角為30°，則直升機(jī)飛行的高度為_(kāi)_______千米（觀測(cè)站高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】
16. 在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 .
【答案】
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. （本小題滿分10分）
（1）已知△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圓的方程；
求直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng).
【解析】（1）設(shè)所求圓的方程為.
因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在所求的圓上，故有
故所求圓的方程為. ………………………5分
（2）圓心（2，-1）到直線x+2y-3=0的距離，圓半徑r=2，
故弦長(zhǎng)為. ………………………10分
18. （本小題滿分10分）
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，它的面積為S且滿足
（1）求角B的大??；
（2）當(dāng)a+c＝9時(shí)，求S.
【解析】（1）由，得，……………2分
∵ac >0，∴，∵，∴. ……………4分
又0＜B＜π，∴B＝60°． ……………5分
（2）由（1）及余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accs60°=21，
∴a2+c2﹣ac＝21，又a+c＝9，∴（a+c）2-3ac=81-3ac=21，ac=20， ……………8分
故 ……………10分
19. (本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱錐C﹣AA1B的體積．
【解析】（1）證明：連結(jié)AB1交A1B于點(diǎn)O.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，,四邊形AA1B1B為平行四邊形，
∴O為AB1的中點(diǎn)，又∵△AB1C中，D是AC的中點(diǎn)，∴OD∥B1C， ……………3分
又OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD. ……………6分
（2）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，
∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cs∠ACB＝3，得．
∴AC2＝AB2+BC2，則AB⊥BC．
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B． ……………8分
∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．
∴ ……………10分
……………12分
20．（本小題滿分12分）
在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40eq \r(2)海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°＋θ(其中sinθ＝eq \f(\r(26),26)，0°＜θ＜90°)且與點(diǎn)A相距10eq \r(13)海里的位置C.
(1) 求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；
(2) 若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由．
【解析】(1) 如圖，AB＝40eq \r(2)，AC＝10eq \r(13)，∠BAC＝θ，sinθ＝eq \f(\r(26),26)，
由于0°＜θ＜90°，所以csθ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(26),26)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(26),26).
由余弦定理得
BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·AC·csθ)＝10eq \r(5)， ……………3分
所以v=eq \f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq \r(5) .
答：船的行駛速度為15eq \r(5)海里/小時(shí)． ……………4分
(2) 設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.
在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(3\r(10),10). ……………6分
從而sin∠ABC＝eq \r(1－cs2∠ABC)＝eq \r(1－\f(9,10))＝eq \f(\r(10),10).
在△ABQ中，由正弦定理得AQ＝eq \f(ABsin∠ABC,sin（45°－∠ABC）)＝eq \f(40\r(2)×\f(\r(10),10),\f(\r(2),2)×\f(2\r(10),10))＝40. ……………8分
由于AE＝55＞40＝AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE＝AE－AQ＝15.……9分
過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×eq \f(\r(5),5)＝3eq \r(5)
……………11分
因?yàn)?eq \r(5)＜7，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
答：若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．則它會(huì)進(jìn)入警戒水域. ……………12分
（說(shuō)明：若用解析幾何方法證明直線BC和圓E相交也相應(yīng)給分.）
21. （本小題滿分12分）
已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．
（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程.
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)槭菆A的切線， ，
所以∠APM=30°，， ……………2分
所以，解之得,
故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或． ……………3分
（2）的中點(diǎn)，
因?yàn)槭菆A的切線，所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，
故其方程為：， ……………5分
化簡(jiǎn)得：，
此式是關(guān)于的恒等式，故解得或.
所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)和. ……………7分
（3）由
可得AB：2mx+（m-2）y+3-2m=0，即m（2x+y-2）-2y+3=0，
由可得AB過(guò)定點(diǎn). ……………9分
因?yàn)镹為圓M的弦AB的中點(diǎn)，所以MN⊥AB，即MN⊥RN，
故點(diǎn)N在以MR為直徑的圓上， ……………11分
點(diǎn)N的軌跡方程為. ……………12分
（說(shuō)明：如果求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再消參求出軌跡方程的相應(yīng)給分.）
22. （本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，且
（1）證明：平面平面；
（2）求棱與所成的角的大??；
（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，并求出二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）證明：∵頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，，
,， ……………2分
又，，，
，． ……………4分
（2）∵在三棱柱中，,
∴與所成的角為∠C1CB(或其補(bǔ)角). ……………6分
連BC1.三棱柱中，,
.
.
，,，又，,則，從而△BCC1為正三角形，∠C1CB=60°，……8分
故與所成的角為60°. ……………9分
（3）取A1C1中點(diǎn)Q，∵P為的中點(diǎn)，∴,
∵三棱柱中，,∴，P,Q,A,B四點(diǎn)共面.
由（1）（2）可知，
又，,
∴.
又∵,又，
故∠QBA1為二面角的一個(gè)平面角. ……………12分
,,，…………13分
即二面角的平面角的余弦值為． ……………14
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江蘇省揚(yáng)州市2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

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