上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.
1. 若，則______.
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，則，
由，解得.
故答案為：7
2. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.
【詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線的方法，屬于基礎(chǔ)題.
3. 方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.
【詳解】方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
則，
即．
故答案為：.
4. 某醫(yī)療機(jī)構(gòu)有4名新冠疫情防控志愿者，現(xiàn)要從這4人中選3個(gè)人去3個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)、則不同的選擇辦法共有______種．
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)題意分兩步，第一步先從4人中選出3人，第二步再安排到3個(gè)不同社區(qū)，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可分兩步，第一步先從4名新冠疫情防控志愿者選出3人，共有種方法；
第二步選出的3人去3個(gè)不同的社區(qū)，共有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，
不同的選擇辦法共有種，
故答案為：24
5. 已知直線，.若時(shí)，則直線與之間的距離________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的等價(jià)條件求出的值，再由兩平行線間的距離公式即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€，，且，
可得，解得：，
所以，，即，
所以直線與之間的距離為，
故答案為：.
6. 直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于，則________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)弦心距，半弦長(zhǎng)，半徑構(gòu)成的直角三角形可求解.
【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為d,
則，
由平面幾何知識(shí)知，弦心距，半弦長(zhǎng)，半徑構(gòu)成的直角三角形，
所以，
解得，
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.
7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.
【答案】448
【解析】
【分析】直接利用計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知.
故答案為：448
8. 無(wú)窮等比數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用無(wú)窮等比數(shù)列極限公式計(jì)算即可.
【詳解】依題意：，且，
則.
故答案為：.
9. 空間內(nèi)7個(gè)點(diǎn)，若其中有且只有4點(diǎn)共面，但無(wú)3點(diǎn)共線，可組成______個(gè)四面體
【答案】34
【解析】
【分析】分析題意，用組合數(shù)求解即可.
【詳解】由題意得空間內(nèi)7個(gè)點(diǎn)，若其中有且只有4點(diǎn)共面，且需圍成立體圖形，故圍成四面體個(gè)數(shù)為個(gè)
故答案為：34
10. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E、F分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為____________.
【答案】
【解析】
【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，0，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，，所以平面的一個(gè)法向量．
點(diǎn)到平面的距離為．
故答案為: .
11. 已知拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為是這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出橢圓方程，聯(lián)立橢圓與拋物線可求出P坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算焦點(diǎn)三角形的面積即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得；
橢圓方程為，聯(lián)立橢圓與拋物線：
得，解得或（舍去）
所以，即點(diǎn)，又因?yàn)?，所?
故答案為：
12. 已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，則的值為__________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由條件結(jié)合內(nèi)心的定義及三角形面積公式可得，再根據(jù)雙曲線的定義化簡(jiǎn)可求.
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
由雙曲線的定義得
由題意得，
故，
又雙曲線的，
代入上式得：，
故答案為：.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）．
13. 給定空間中的直線與平面，則“直線與平面垂直”是“直線垂直于平面內(nèi)所有直線”的（）條件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線與平面垂直的定義，結(jié)合充分條件與必要條件定義判斷即可.
【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的定義，
若直線與平面垂直，則直線垂直于平面內(nèi)所有直線，充分性成立，
直線垂直于平面內(nèi)所有直線，則內(nèi)必存在兩直線與垂直，則直線與平面垂直，必要性成立，
所以“直線與平面垂直”是“直線垂直于平面內(nèi)所有直線”的充要條件，
故選：C.
14. 用數(shù)學(xué)歸納法證明，在證明等式成立時(shí)，等式的左邊是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由知，時(shí)，等式的左邊是，即可得到答案．
【詳解】由知，時(shí)，等式的左邊是，故答案為D.
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的步驟，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，在平常學(xué)習(xí)中要重視基礎(chǔ)知識(shí)．
15. 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N+），若當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時(shí)，a5+a8+a11是一個(gè)定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是（）
A. S17B. S16C. S15D. S14
【答案】C
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即為定值，根據(jù)各選項(xiàng)的n項(xiàng)和與的關(guān)系，判斷是否為定值即可.
【詳解】由題設(shè)，，即為定值，
A：，不是定值；
B：，不是定值；
C：，定值；
D：，不是定值.
故選：C
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）
A. 橢圓B. 雙曲線C. 拋物線D. 圓
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示的幾何意義結(jié)合拋物線定義，即可判斷出答案.
【詳解】方程變形為，
表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，
故選：C.
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟
17. 某班級(jí)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮垼褒垺笨ㄈ龔垼總€(gè)學(xué)生從卡箱中隨機(jī)抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，則額外獲得2分．
（1）求學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；
（2）求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識(shí)求得正確答案.
（2）根據(jù)分的組合情況進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.
小問(wèn)1詳解】
學(xué)生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.
【小問(wèn)2詳解】
學(xué)生乙最終獲得分，有兩種情況：
①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.
②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，方法數(shù)有種.
所以學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.
18. 在長(zhǎng)方體中（如圖），，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
（1）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．試問(wèn)四面體是否為鱉臑？并說(shuō)明理由；
（2）求直線與直線所成角的大?。?br>【答案】（1）是，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)證得，，即可下結(jié)論；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
在長(zhǎng)方體中，，，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，
平面平面，
，平面，平面，
平面，
四面體為鱉臑．
【小問(wèn)2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
得，
故，
直線與直線所成角的大小為．
19. 已知雙曲線為雙曲線上的任意點(diǎn).
（1）求雙曲線的兩條漸近線方程及漸近線夾角的大小；
（2）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合向量夾角公式或直線的夾角公式計(jì)算即可；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
雙曲線的漸近線方程為和，
法一：在兩漸近線上分別取點(diǎn)，
則漸近線的夾角為；
法二：夾角為；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，由（1）及點(diǎn)到直線的距離公式可知：
該點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別是和，
為雙曲線上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)需要符合雙曲線的方程，
即：，
它們乘積是，
點(diǎn)到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).
.
20. 設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列滿足，且對(duì)所有，，均成立．
（1）求的所有可能值；
（2）若數(shù)列使得無(wú)窮數(shù)列，，，…，，…是公差為1的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求證：存在滿足條件的數(shù)列，使得在該數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)為2024．
【答案】（1），，
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）用列舉法寫出，的值，計(jì)算出可得；
（2）由題意可得出奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由相鄰兩項(xiàng)差的絕對(duì)值求得偶數(shù)項(xiàng)；
（3）利用（2）中數(shù)列構(gòu)造一個(gè)循環(huán)數(shù)列，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
，對(duì)所有，，，
，則或，
，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，
所以或或，
即的可能值為，，；
【小問(wèn)2詳解】
，，，…，，…是公差為1的等差數(shù)列，，
則，，
即，，所以，
所以；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知存在一個(gè)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，易知，
然后從第項(xiàng)開始，構(gòu)造奇數(shù)項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列，
這樣由（2）知，當(dāng)，，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，時(shí)，，解得，
則當(dāng)奇數(shù)取至1時(shí)，重復(fù)第一段的數(shù)列，得到一個(gè)周期數(shù)列，在此周期數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)為2024.即證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用和數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，解題關(guān)鍵是通過(guò)（2）構(gòu)造一個(gè)循環(huán)數(shù)列，以此解決出現(xiàn)無(wú)窮多項(xiàng)為2024的數(shù)出現(xiàn)的問(wèn)題.
21. 已知橢圓的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2. 已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求k的值；
（3）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出，則橢圓方程可得；
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量相等的坐標(biāo)關(guān)系即可求出；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．
【小問(wèn)1詳解】
，，代入得.
又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，
以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.
【小問(wèn)2詳解】
直線與軸交點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為，
聯(lián)立，消去得:，，
設(shè)，則，
，，
由得，解得:，
由得.
【小問(wèn)3詳解】
證明：由（2）知，，
.
為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線中的定值問(wèn)題常見的方法：
從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．

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