1. 下列垃圾分類的標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. 可回收物B. 廚余垃圾
C. 有害垃圾D. 其它垃圾物
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【詳解】解：A．既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2. 下列調(diào)查中最適合用普查的方式是（ ）
A. 市場(chǎng)上某品牌黑水筆芯的使用質(zhì)量B. 某校八年級(jí)1班學(xué)生的視力情況
C. 公民保護(hù)環(huán)境的意識(shí)D. 全國(guó)中學(xué)生1周課外閱讀的時(shí)間
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．
【詳解】解：A、市場(chǎng)上某品牌黑水筆芯的使用質(zhì)量，適合用抽樣調(diào)查的方式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、某校八年級(jí)1班學(xué)生的視力情況，適合用普查的方式，故本選項(xiàng)符合題意；
C、公民保護(hù)環(huán)境的意識(shí)，適合用抽樣調(diào)查的方式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、全國(guó)中學(xué)生1周課外閱讀的時(shí)間，適合用抽樣調(diào)查的方式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，熟練掌握選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用是解題的關(guān)鍵．一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：A選項(xiàng)，當(dāng)，，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B選項(xiàng)，所以正確，符合題意；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以錯(cuò)誤，不符合題意；
D選項(xiàng)，所以錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
4. 下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，任意摸出1個(gè)球，摸到紅球可能性最大的是（ ）
A. 1個(gè)紅球、5個(gè)白球B. 2個(gè)紅球、4個(gè)白球
C. 3個(gè)紅球、3個(gè)白球D. 4個(gè)紅球、2個(gè)白球
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)概率公式先求出每組紅球的概率，再進(jìn)行比較即可得出答案．
【詳解】解：A、袋子中有1個(gè)紅球、5個(gè)白球，摸到紅球的概率是；
B、袋子中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球，摸到紅球的概率是；
C、袋子中有3個(gè)紅球、3個(gè)白球，摸到紅球的概率是；
D、袋子中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，摸到紅球的概率是；
，
摸到紅球可能性最大的是4個(gè)紅球、2個(gè)白球．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
5. 平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，，則的周長(zhǎng)可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知得出，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)而求出答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，，
，
的周長(zhǎng)，
則的周長(zhǎng)可能是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正確得出平行四邊形的對(duì)角線關(guān)系是解題關(guān)鍵．
6. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】已知等式左邊兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，變形后即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，化簡(jiǎn)求值的方法有直接代入法，整體代入法等常用的方法，解題時(shí)可根據(jù)題目具體條件選擇合適的方法，當(dāng)未知的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
7. 將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形與一個(gè)長(zhǎng)，寬分別為，的矩形重疊放在一起，在下列三個(gè)圖形中，重疊部分的面積從小到大排列正確的是（ ）

A. ①②③B. ①③②C. ③①②D. ②③①
【答案】B
【解析】
【分析】分別計(jì)算出各個(gè)圖形的重疊部分面積即可求解．
【詳解】解：①、；
②、設(shè)圖2重疊的平行四邊形的較短邊為，由圖可知，
，
③、圖③與圖②對(duì)比，因?yàn)閳D③的底比圖②的底小，兩圖為等高不等底，所以圖③陰影部分的面積小于圖②陰影部分的面積，但大于圖①陰影部分的面積；
重疊部分的面積從小到大排列正確①③②，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算，找出陰影部分四邊形等高不等底的特征，傾斜度越大的面積越大，是解答本題的關(guān)鍵．
8. 已知 ，則值為（ ）
A. 10B. 11C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知變形得到，進(jìn)而可得，求出，再將所求代數(shù)式變形得到即可答案．
【詳解】解：∵，且根據(jù)題意有：，
∴，即，
即，
∴， 即，
則
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由， 得到，是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10題，每題3分，計(jì)30分）
9. 如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a+b＝b+a，這個(gè)事件是_____事件，（填“隨機(jī)“、“不可能”或“必然“）．
【答案】必然．
【解析】
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．
【詳解】如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a+b＝b+a，是必然事件，
故答案為：必然．
【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
10. 一組數(shù)據(jù)分成四組后其中前三組的頻率分別是0.14，0.20，0.36．則第四組數(shù)據(jù)的頻率為_(kāi)____________．
【答案】0.3
【解析】
【分析】根據(jù)各小組的頻率和是1，求得第四組的頻率．
【詳解】解：∵其中前三組的頻率分別是0.14，0.20，0.36，
∴第四組的頻率為：1-0.14-0.20-0.36=0.3，
故答案為0.3．
【點(diǎn)睛】本題考查了頻率，解題的關(guān)鍵是掌握各小組的頻率和是1．
11. 在式子中，字母x的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)分式的分母不能為0、二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0列出式子求解即可得．
【詳解】解：由題意得：，
解得且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，熟練掌握分式和二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
12. 如圖，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則旋轉(zhuǎn)角度是 _______．

【答案】##度
【解析】
【分析】對(duì)應(yīng)線段構(gòu)成的即為旋轉(zhuǎn)角度．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)角度的定義可知：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)角度的定義．掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
13. “七巧板”是古代中國(guó)勞動(dòng)人民的發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔板”．若已知圖中陰影部分的面積為1，則該圖用“七巧板”拼出的大正方形的面積為 _____．

【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)陰影部分的面積為1，得出用“七巧板”拼出的大正方形的對(duì)角線為4，求出大正方形的面積即可．
【詳解】解：∵陰影部分的面積為1，
∴大正方形的對(duì)角線為4，
∴大正方形的面積為，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查七巧板各個(gè)圖形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，熟練掌握七巧板各個(gè)圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14. 當(dāng)正整數(shù)_____，分式的值是整數(shù)（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的值即可）．
【答案】1或2或5（任填一個(gè)即可）
【解析】
【分析】根據(jù)題意進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：∵分式的值是整數(shù)，
∴正整數(shù)，，3，
故答案為：1或2或5（任填一個(gè)即可）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算．
15. 如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則菱形的面積為 ______．

【答案】
【解析】
【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得到，再根據(jù)菱形對(duì)角線乘積的一半計(jì)算菱形的面積即可 ．
【詳解】解：在菱形中，點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形性質(zhì)，菱形面積的計(jì)算，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解題關(guān)鍵．
16. 若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m 的值為_(kāi)________．
【答案】3或1
【解析】
【分析】先去分母，將分式方化為整式方程求解，再根據(jù)分式方程無(wú)解的情況：有增根或解無(wú)意義，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：，
，
，
，
∵原方程無(wú)解，
∴或，
解得：或1，
故答案為：3或1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無(wú)解的情況，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式方程無(wú)解的情況：有增根或解無(wú)意義．
17. 如圖，，，，，則的面積為_(kāi)___．

【答案】
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，利用勾股定理得出，進(jìn)而利用平行四邊形的面積公式解答即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，
四邊形為平行四邊形，
，

設(shè)，則，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
的面積，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理得出解答．
18. 如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，交所在直線于點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)， 則下列結(jié)果始終不變的有_______________．（將正確答案題號(hào)填到橫線上）①的度數(shù) ②的周長(zhǎng) ③四邊形面積 ④與的和

【答案】①③④
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形性質(zhì)可證明四邊形和四邊形都是矩形，得到，，，再證明，得到，，所以，故得到①符合題意；由勾股定理可得的周長(zhǎng)為，隨的變化而變化，故②不符合題意；設(shè)，則，則得到，故③符合題意；由可知與的和不變，故④符合題意．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，
四邊形為矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，，，
四邊形和四邊形都是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
的度數(shù)不變，故①符合題意；
，
，
的周長(zhǎng)，
的周長(zhǎng)隨的變化而變化，故②不符合題意；
設(shè)，則，
，
四邊形的面積不變，故③符合題意；
，
與的和不變，故④符合題意，
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10題，計(jì)96分）
19. 計(jì)算
(1) (2)
【答案】(1)1；(2).
【解析】
【分析】(1)通分后根據(jù)同分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
(2)括號(hào)內(nèi)先通分進(jìn)行分式的減法運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的除法運(yùn)算即可.
【詳解】(1)
=
=
=
；
(2)
=
=
=.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
20. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）無(wú)解
【解析】
【分析】（1）先去分母變?yōu)檎椒匠蹋缓笤俳庹椒匠?，得出x的值，最后進(jìn)行檢驗(yàn)；
（2）先去分母，再去括號(hào)，然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，將未知數(shù)系數(shù)化1，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；
【小問(wèn)2詳解】
解：去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，
將未知數(shù)系數(shù)化為1得：，
檢驗(yàn)：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程無(wú)解．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解，解方程時(shí)忘記檢驗(yàn)是易錯(cuò)點(diǎn)．
21. 先化簡(jiǎn)，再?gòu)?2、2、0 、1四個(gè)數(shù)中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為a的值代入求值．
【答案】原式=，當(dāng)時(shí)，原式=2
【解析】
【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)=0代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：原式=，
∵a≠－2，a≠1，a≠2
當(dāng)時(shí)，原式=．
22. 如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1，畫(huà)出△AB1C1．
（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1），則點(diǎn)C2的坐標(biāo)為 ．
【答案】(1)見(jiàn)解析,（2）圖見(jiàn)解析；（4，1）
【解析】
【分析】（1）讓三角形各頂點(diǎn)都繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；
（2）根據(jù)△ABC的各頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱，得出A2、B2、C2的坐標(biāo)，連接各點(diǎn)，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）所畫(huà)圖形如下所示，△A1B1C1即為所求；
（2）所畫(huà)圖形如下所示，△AB2C2即為所求．
點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（4，1），
故答案為（4，1）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換圖形的方法，圖形的中心對(duì)稱問(wèn)題和平移的性質(zhì)，考查了利用直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題的能力，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
23. 推行“雙減”政策后，為了解某市初中生每周校外鍛煉身體的時(shí)長(zhǎng)t（單位：小時(shí)）的情況，在全市隨機(jī)抽取部分初中生進(jìn)行調(diào)查，按五個(gè)組別：A組（3≤t＜4），B組（4≤t＜5），C組（5≤t＜6），D組（6≤t＜7），E組（7≤t＜8）進(jìn)行整理，繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，解決下列問(wèn)題：
（1）這次抽樣調(diào)查的樣本容量是________，E組所在扇形的圓心角的大小是________；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（3）若該市共有5萬(wàn)名初中生，請(qǐng)你估計(jì)該市每周校外鍛煉身體時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的初中學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）500，28.8°
（2）見(jiàn)解析 （3）該市每周校外鍛煉身體時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的初中學(xué)生人數(shù)為19000人
【解析】
【分析】（1）由B組人數(shù)及其所占百分比可得樣本容量，用360°乘以E組人數(shù)所占比例即可；
（2）根據(jù)各組人數(shù)之和等于樣本容量求出D組人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中D、E組人數(shù)和所占比例即可．
【小問(wèn)1詳解】
這次抽樣調(diào)查的樣本容量是100÷20%＝500，
所以E組所在扇形的圓心角的大小是360°28.8°，
故答案為：500、28.8°；
【小問(wèn)2詳解】
D組人數(shù)為500﹣（50+100+160+40）＝150（人），
補(bǔ)全圖形如下：
【小問(wèn)3詳解】
估計(jì)該市每周校外鍛煉身體時(shí)長(zhǎng)不少于6小時(shí)的初中學(xué)生人數(shù)為5000019000（人）．
【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，理解兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的前提，掌握頻率=頻數(shù)÷總數(shù)是正確解答的關(guān)鍵．
24. 如圖，在中，E、F分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N在對(duì)角線上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)滿足條件___________時(shí)，求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2），證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）四邊形是平行四邊形得到，則，由E、F分別為的中點(diǎn)得到，即可證明，則，則，得到，即可得到結(jié)論；
（2）連接交于O，由（1）得：，則四邊形是平行四邊形，則，由得到，則，則，即可得到結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵E、F分別為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
滿足條件時(shí)，四邊形是菱形．
連接交于O，如圖所示：
由（1）得：，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形．
故滿足時(shí)四邊形是菱形．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在四邊形中，，．

（1）作的平分線交于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并給出證明過(guò)程．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析
（2）四邊形是菱形．理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作出圖形即可；
（2）先證明，再證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結(jié)論成立．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖即為所求作的圖形；
；
【小問(wèn)2詳解】
解：四邊形是菱形．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
26. 今年的3月12日植樹(shù)節(jié)當(dāng)天，某學(xué)校組織了該校九年級(jí)學(xué)生參加“用勞動(dòng)創(chuàng)造美，讓校園更綠色”的主題教育活動(dòng)．本次主題教育活動(dòng)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了相同數(shù)量的桃樹(shù)、梨樹(shù)樹(shù)苗，已知購(gòu)買(mǎi)的桃樹(shù)和梨樹(shù)的樹(shù)苗分別花費(fèi)了210元和180元，且已知購(gòu)買(mǎi)的桃樹(shù)樹(shù)苗單價(jià)比梨樹(shù)的樹(shù)苗單價(jià)多5元，問(wèn)桃樹(shù)的單價(jià)是多少？
【答案】35元
【解析】
【分析】設(shè)桃樹(shù)樹(shù)苗的單價(jià)為x元，則梨樹(shù)的單價(jià)為(x-5)元，以購(gòu)買(mǎi)了相同數(shù)量的桃樹(shù)、梨樹(shù)為等量關(guān)系，列出方程求解，再檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：設(shè)桃樹(shù)樹(shù)苗的單價(jià)為x元，則梨樹(shù)的單價(jià)為(x-5)元，
根據(jù)題意，得，
，
解這個(gè)方程，得x=35，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是所列方程的根，且符合題意，
答：桃樹(shù)樹(shù)苗的單價(jià)為35元．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出先等量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵．
27. 閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．
在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：
方法一：；
方法二：．
以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．
（1）直接寫(xiě)出化簡(jiǎn)結(jié)果：＝ ，＝ ；
（2）請(qǐng)參照以上化簡(jiǎn)的方法，用兩種方法化簡(jiǎn)：；
（3）計(jì)算：．
【答案】（1）；
（2）見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法進(jìn)行運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)所給的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（3）把各個(gè)式子進(jìn)行分母有理化，從而進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：①；
②；
故答案為：；；
【小問(wèn)2詳解】
解：方法一：；
方法二：；
【小問(wèn)3詳解】
解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，理解分母有理化是解題的關(guān)鍵．
28. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是對(duì)角線OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸下方一點(diǎn)，構(gòu)造矩形．

（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；
（4）若將條件“構(gòu)造矩形”改為“構(gòu)造菱形”，其它條件不變，線段是否存在最小值，如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）存在，最小值為
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可求出長(zhǎng)度，根據(jù)即可求出的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，在中利用勾股定理建立等量關(guān)系即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn) 作于點(diǎn)，于點(diǎn)，可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；
（4）連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由可得．設(shè)，根據(jù)勾股定理建立與的函數(shù)關(guān)系式即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，，
∴
∴
∴
∴
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴
設(shè)，
在中：
解得：
【小問(wèn)3詳解】
解：過(guò)點(diǎn) 作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖所示：

∵四邊形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：
【小問(wèn)4詳解】
解：存在，理由如下：
連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

∵四邊形是菱形
∴
∵
∴四邊形是矩形
∴
∵
設(shè)
則
∴
∴
∴
故當(dāng)時(shí)，有最小值
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、正方形及菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等．綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)與嚴(yán)密的邏輯推理．

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