一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知向量,滿足,,,則與的夾角為( )
A.B.C.D.
3．已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
4．杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞,火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題,全長8公里.從和合公園出發(fā),途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑.假設某段線路由甲、乙等6人傳遞,每人傳遞一棒,且甲不從乙手中接棒,乙不從甲手中接棒,則不同的傳遞方案共有( )
A.288種B.360種C.480種D.504種
5．設,是兩個不同的平面,a,b是兩條不同的直線,且,,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．若函數(shù),,的值域為,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知,,,則( )
A.B.C.D.
8．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足,則對所有這樣的函數(shù),由下列條件一定能得到的是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．在一次數(shù)學考試中,某班成績的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.圖中所有小長方形的面積之和等于1
B.中位數(shù)的估計值介于100和105之間
C.該班成績眾數(shù)的估計值為97.5
D.該班成績的極差一定等于40
10．已知等差數(shù)列中,,公差為,,記為數(shù)列的前n項和,則下列說法正確的是( )
A.
B.
C.若,則
D.若,則
11．已知圓和圓,則( )
A.圓的半徑為4
B.y軸為圓與的公切線
C.圓與公共弦所在的直線方程為
D.圓與上共有6個點到直線的距離為1
三、解答題
12．定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為,對于任意實數(shù)x,都有,且滿足,則( )
A.函數(shù)為奇函數(shù)
B.不等式的解集為
C.若方程有兩個根,,則
D.在處的切線方程為
13．設的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.
(1)若,求c的最小值；
(2)求的值.
14．如圖,多面體中,四邊形為正方形,平面平面,,,,,與交于點M.
(1)若N是中點,求證：；
(2)求直線和平面所成角的正弦值.
15．已知數(shù)列和,其中的前項和為,且,.
(1)分別求出數(shù)列和的通項公式；
(2)記,求證：.
16．設a,b為實數(shù),且,函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設,函數(shù),試問是否存在極小值點?若存在,求出的極小值點；若不存在,請說明理由.
17．為了了解高中學生課后自主學習數(shù)學時間（x分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（y分）的關(guān)系,某實驗小組做了調(diào)查,得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
表一
（1）請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出x,y的經(jīng)驗回歸方程,并由此預測每天課后自主學習數(shù)學時間為100分鐘時的數(shù)學成績：（參考數(shù)據(jù)：,,的方差為200）
（2）基于上述調(diào)查,某校提倡學生周末在校自主學習．經(jīng)過一學期的實施后,抽樣調(diào)查了220位學生．按照是否參與周末在校自主學習以及成績是否有進步統(tǒng)計,得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗,分析“周末在校自主學習與成績進步”是否有關(guān)．
表二
附：,,．
18．已知拋物線C：（）上一點M的縱坐標為3，點M到焦點距離為5.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點作直線交C于A，B兩點，過點A，B分別作C的切線與，與相交于點D，過點A作直線垂直于，過點B作直線垂直于，與相交于點E，、、、分別與x軸交于點P、Q、R、S.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方程.
四、填空題
19．的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.
20．與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球,稱為圓臺的內(nèi)切球,若圓臺的上下底面半徑為,,且,則它的內(nèi)切球的體積為__________.
21．已知等比數(shù)列滿足且,則的取值范圍是__________.
22．斜率為1的直線與雙曲線（,）交于兩點A,B,點C是曲線E上的一點,滿足,和的重心分別為P,Q,的外心為R,記直線,,的斜率為,,,若,則雙曲線E的離心率為__________.
參考答案
1．答案：C
解析：因為,又,
所以.
故選：C.
2．答案：B
解析：由得,
將,,代入可得,
所以,所以,
由于,所以,
故選：B.
3．答案：D
解析：由正六棱柱的性質(zhì)可得O為其外接球的球心（如圖）,,
由于底面為正六邊形,所以為等邊三角形,故,
所以,
所以為外接球的半徑,故外接球表面積為,
故選：D.
4．答案：C
解析：先安排甲乙以外的4個人,然后插空安排甲乙兩人,
所以不同的傳遞方案共有種.
故選：C.
5．答案：A
解析：由,,則,又,所以,故“”是“”的充分條件.
當滿足,,時,直線a,b可能平行,可能相交,也可能異面.
故“”不是“”的必要條件.
故選：A.
6．答案：D
解析：根據(jù)題意可知若,則可得；
顯然當時,可得,
由的值域為,利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得,
解得,即的取值范圍是.
故選：D.
7．答案：A
解析：因為,連接和,得割線方程,
因為在上是下凸函數(shù),
所以在上,割線在正切曲線上方,即,
所以當時,,
令,,
,
當時,因為,即,
所以在單調(diào)增,即,
因為,
所以,即,
故,即.
故選：A.
8．答案：C
解析：由題設,即,
所以是周期為的奇函數(shù),且是一條對稱軸,
當時,則,,不符合
當時,則且,不符合；
當時,則,,故；
當時,則且,不符合；
故選：C.
9．答案：ABC
解析：對于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知,圖中所有小長方形的面積之和等于1,即A正確；
對于B,易知組距為5,前兩組成績所占的頻率為,
前三組成績所占的頻率為,由中位數(shù)定義可得其估計值介于100和105之間,即B正確；
對于C,由圖可知頻率最高的成績區(qū)間,取中間值為代表可知班成績眾數(shù)的估計值為97.5,即C正確；
對于D,由圖可知成績最高區(qū)間為,最低區(qū)間為,但最高分和最低分不一定分別為130,90,所以其成績極差不一定為40,即D錯誤；
故選：ABC.
10．答案：BCD
解析：由為等差數(shù)列,,公差為,則,
,
,
當時,,則選項A不正確.
當n為偶數(shù)時,,
當n為奇數(shù)時,,
故,所以選項B正確.
,
,
當n為偶數(shù)時,,
當n為奇數(shù)時,,
所以,故選項C正確.
,
,
所以
,所以選項D正確.
故選：BCD.
11．答案：BD
解析：對于A項,由圓配方得：
知圓的半徑為2,故選項A錯誤；
對于B項,因圓心到y(tǒng)軸的距離為1,等于圓的半徑,故圓與y軸相切,
同理圓心到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑,圓與y軸相切,故y軸為圓
與的公切線,故選項B正確；
對于C項,只需要將與左右分別相減,
即得圓與的公共弦所在的直線方程為：故選項C錯誤；
對于D項,如圖,因直線同時經(jīng)過兩圓的圓心,依題意可作兩條
與該直線平行且距離為1的直線與,其中與和圓都相切,各有一個公共點,
與和圓都相交,各有兩個交點,故圓與上共有6個點到直線的距離為1,故選項D正確.
故選：BD.
12．答案：AC
解析：對于A,,,由可得,所以,且定義域為R,故為奇函數(shù),A正確,
由于,所以,c為常數(shù),則,
又在中,令,則,故,故,
所以,
對于B,可得,又,故,則,故B錯誤,
對于C,為單調(diào)遞增函數(shù),而為開口向上,且對稱軸為的二次函數(shù),且是的兩個交點,的兩個交點設為,,則,且,又為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以,C正確,
由得,所以在處的切線方程為,D錯誤,
故選：AC.
13．答案：(1)
(2)0
解析：(1)由余弦定理知,
方法1：,
所以,當時取等,此時為正三角形.
故c的最小值為.
方法2：,
所以,當時取等.
故c的最小值為.
(2)方法1：因為.
所以原式
.
方法2：因為,
原式
.
綜上所述：.
14．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)因為四邊形為正方形,
所以,
因為平面平面,平面平面,,
所以平面,
又因為平面,
所以,
連接,則,
在中,,
所以,
因為,,,平面,且,
從而平面,
又平面,
所以,
因為,,,平面,且,
所以平面,
又平面,
所以,
又因為,所以,
又N是中點,,所以,
因為,,,平面,且,
所以平面,
又因為平面,
所以.
(2)由(1)知,平面,且,
以A為坐標原點,分別以、、所在的直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,
則、、、,
則,,,
由得,,所以,
所以,,
設面的法向量為,由得,,取,則,
設直線和平面所成角為,
則,
所以直線和平面所成角的正弦值為.
15．答案：(1),
(2)證明見解析
解析：(1)當時,,所以,
時,①,
②,
①-②得,
即,,
所以是以首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,
所以.
(2),即③,
④,
④-③,得
,
因為,,所以.
16．答案：(1)答案見解析
(2)存在極小值點,且極小值點為
解析：(1),,,
當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當,且時,,單調(diào)遞減；
當時,,單調(diào)遞增.
綜上,當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)當時,,,
故.
令,,所以,
當時,,單調(diào)遞減；
當時,,單調(diào)遞增.
又,,,
故,使得.
當時,,,單調(diào)遞增；
當時,,,單調(diào)遞減；
當時,,,單調(diào)遞增,
故存在極小值點,且極小值點為.
17．答案：（1）,140.5分
（2）可以認為“周末自主學習與成績進步”有關(guān)
解析：（1）,
,又的方差為,
所以,
,故,當時,,
故預測每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時的數(shù)學成績?yōu)?40.5分.
（2）零假設為：學生周末在校自主學習與成績進步無關(guān).
根據(jù)數(shù)據(jù),計算得到：
,
因為,
所以依據(jù)獨立性檢驗,可以認為“周末自主學習與成績進步”有關(guān).
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)設，由題意可得，即，
解得或（舍去），所以拋物線C的方程為.
(2)如圖，
設經(jīng)過，兩點的直線方程為：（），
與拋物線方程聯(lián)立可得，
即，，
，.
，則，
，
過點A作C的切線方程為，
令，得，即.
同理，過點B作C的切線方程為，
令，得，即.
.
聯(lián)立兩直線方程，解得，即，
則D到直線的距離.
又過點A作直線垂直于，
直線的方程為，
令，得，即.
同理，直線的方程為，
令，得，即.
.
聯(lián)立兩直線方程，解得，
整理后可得，即，
則E到直線的距離.
由上可得，，
，，
，得，
直線的方程為即.
19．答案：
解析：由題意得：展開式的通項為：,
當時,即：,得：,
當時；即：,得：,
所以得：展開式中含項為：,所以的系數(shù)為：.
故答案為：.
20．答案：
解析：由題意,畫出圓臺的直觀圖,其中為圓臺的母線長,D,C分別為上、下底面的圓心,點O為內(nèi)切球的球心,點E為球O與圓臺側(cè)面相切的一個切點.
則由題意可得：,
.
因此可得：內(nèi)切球半徑,即得內(nèi)切球的體積為.
故答案為：.
21．答案：
解析：因為為等比數(shù)列,所以.
令,
則.
因為,,所以.
當時,,此時恒成立,在上單調(diào)遞增,
,所以一定有解,即,使得成立.
當時,,則,此時單調(diào)遞增；,則,此時單調(diào)遞減.
為使有解,則,
整理得,解得.
又,所以.
綜上,的取值范圍是.
故答案為：.
22．答案：
解析：若直線與雙曲線有兩個交點G,H,設G,H的中點為K,
聯(lián)立方程組,整理得,
可得,則,
又由在直線上,可得,
所以,所以,
即直線l與雙曲線相交線的中點與原點的連線的斜率與直線l的斜率之積為定值,
如圖所示,取,的中點M,N,
因為的重心P在中線上,的重心Q在中線上,
所以,,可得,
即,
又由,可得,可得,
因為,且的外心為點R,則R為線段的中點,
可得,因為,所以,
所以,所以,
所以.
故答案為：.
編號
1
2
3
4
5
學習時間x
30
40
50
60
70
數(shù)學成績y
65
78
85
99
108
沒有進步
有進步
合計
參與周末在校自主學習
35
130
165
未參與周末不在校自主學習
25
30
55
合計
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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