一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.B.C.-8D.8
3．已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足，，則( )
A.B.C.D.
4．已知向量，，則( )
A.B.C.D.
5．的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A.B.C.14D.49
6．已知，，，則的值為( )
A.B.C.D.2
7．已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則( )
A.4B.C.5D.6
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，則( )
A.B.為奇函數(shù)
C.D.的周期為3
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題正確的是( )
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
10．已知點(diǎn)與圓是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則( )
A.的最大值為
B.過(guò)點(diǎn)B的直線被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為
C.
D.，的最小值為
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，下列說(shuō)法正確的是( )
A.不存在使得
B.若Q，M，N，P四點(diǎn)共面，則
C.若，點(diǎn)F在側(cè)面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為
D.若，由平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體和，某球能夠被整體放入或，則該球的表面積最大值為
三、填空題
12．定義在R上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為_(kāi)________.
13．在中，，，，D為上一點(diǎn)，為的角平分線，則_________.
14．斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T是橢圓上的一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)P，Q分別是，的重心，點(diǎn)R是的外心.記直線，，的斜率分別為，，，若，則橢圓C的離心率為_(kāi)________.
四、解答題
15．2023年秋季，支原體肺炎在我國(guó)各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？
（2）用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.
16．如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，,設(shè)平面平面.
（1）作出l（不要求寫(xiě)作法）；
（2）線段上是否存在一點(diǎn)E，使平面？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
17．設(shè)等差數(shù)列的公差為，令，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和.
（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．已知函數(shù)，m是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為l，l在x軸上的截距為，.
（1）若函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.
19．已知雙曲線是雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線.
（1）設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)，且交雙曲線C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之積為定值；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C有唯一的公共點(diǎn)M.
（i）已知直線l與雙曲線C的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)R，S，求證：；
（ii）過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸?y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.
參考答案
1．答案：B
解析：，，
則，
故選：B.
2．答案：A
解析：，則，
故選：A.
3．答案：C
解析：由題意知，，，.故選C.
4．答案：C
解析：，
因?yàn)?，所以兩向量垂直，則，
故選：C.
5．答案：D
解析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
則，，
則展開(kāi)式中的系數(shù)為，
故選：D.
6．答案：A
解析：，
，
，分子分母同時(shí)除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，即，
分子分母同時(shí)除以得：
即，，代入①得：
，解得.
故選：A.
7．答案：C
解析：由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為，即，解得，
因?yàn)椋話佄锞€C的方程為：，其焦點(diǎn)為，
又直線，所以直線l恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線C上，
聯(lián)立方程，兩式相減可得，，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上，
解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，
由拋物線的定義知，圓Q的半徑，
因?yàn)?，所以?br>解得，則，則.
故選：C.
8．答案：C
解析：令，得得或，
當(dāng)時(shí)，令得不合題意，故，所以A錯(cuò)誤；
令得，且的定義域?yàn)镽，故為偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；
令，得，所以，
所以，則，則，
所以的周期為6，所以D錯(cuò)誤；
令，得，因?yàn)椋?br>所以，所以，故C正確.
故選：C.
9．答案：AC
解析：對(duì)A，因?yàn)?，則兩邊同乘a得，兩邊同乘b得，
則，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)D，舉例，，則，而，
此時(shí)兩者相等，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：對(duì)A，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，
將原點(diǎn)代入圓的方程有，則原點(diǎn)在圓外，
則，則，故A正確；
對(duì)B，將代入圓方程得，則點(diǎn)B在圓內(nèi)，
設(shè)圓心到過(guò)點(diǎn)B的直線距離為d，則,
而被截的弦長(zhǎng)為，
則弦長(zhǎng)最短為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，作出在上投影向量，
則，因?yàn)椋?br>即，
則，故C正確；
對(duì)D，對(duì)，與共線，則的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，
易知直線的方程為，則點(diǎn)C到直線的距離，故D正確.
故選：ACD.
11．答案：ACD
解析：正方體中，由，故中，不可能是直角三角形的斜邊，
即不存在使得，A選項(xiàng)正確；
R，S分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，平面在正方體上的截面為正六邊形，
則Q，M，N，P四點(diǎn)共面，有，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，則Q為上靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
取上靠近的三等分點(diǎn)G，的中點(diǎn)H，連接，，，
則在正方形中，可得，
平面，平面，則有平面，
同理可由，證明平面，
，平面，，所以平面平面，
點(diǎn)F在側(cè)面內(nèi)，且平面，所以即為點(diǎn)F的軌跡，
，C選項(xiàng)正確；
若，則Q為的中點(diǎn)，平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體和，
平面在正方體上的截面為正六邊形，
某球能夠被整體放入或，該球的表面積最大時(shí)，是以為頂點(diǎn)，底面為正六邊形的正六棱錐的內(nèi)切球，
正六邊形的邊長(zhǎng)為，面積為，
正六棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)，每個(gè)側(cè)面面積為，棱錐的高為，
設(shè)該球的半徑為R，由體積法可得，
解得，所以該球的表面積為，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
則由得，
即，解得，則解集為，
故答案為：.
13．答案：
解析：由得，，
解得.
故答案為：.
14．答案：
解析：取，的中點(diǎn)C，D，依題意，點(diǎn)R是中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在，上，
設(shè)，，由兩式相減得，
直線斜率，直線斜率，則，
直線，的斜率分別為，，同理，，又，
因此，解得，
所以橢圓C的離心率.
故答案為：.
15．答案：（1）有關(guān)
（2）分布列見(jiàn)解析；
解析：（1）假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無(wú)關(guān).
則，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）由已知得，，，1，2，3，
，，
，，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
所以.
16．答案：（1）作圖見(jiàn)解析
（2）E為線段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
（3）
解析：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，Q畫(huà)直線，則直線即為所作直線l，如圖：
，平面，則平面，同理平面，又平面，平面，
因此平面平面，即平面平面，
所以直線即為所作直線.
（2）點(diǎn)E為的中點(diǎn)，使平面.
由，得，而，則，即A為的中點(diǎn)，
又E為的中點(diǎn)，于是，而平面，平面，
因此平面，所以線段的中點(diǎn)E，使平面.
（3）分別取，中點(diǎn)O，M，連接，，則，而，則有，
又，，，l，平面，于是平面，
即平面，而平面，則，由，O為中點(diǎn)，得，
以O(shè)為原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，
設(shè)向量為平面的法向量，則，取，得，
又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
即，，
，，，
又，，
，
，解得:或，
又，，.
（2）設(shè)數(shù)列公比為，
，，
，，又，
，
，，，
.
，①
，②
①②:，
，
.
18．答案：（1）答案見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，切線l方程為：，
令，得，由，得，
又，，，又由，得，
即，令，，
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，
而，則由，得，
所以的取值范圍是.
19．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
解析：（1）因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)，所以，
由消去x，得，，，
設(shè)，，則，，
直線的斜率，，
所以
.
即直線與的斜率之積為定值.
（2）因?yàn)橹本€與雙曲線C有唯一的公共點(diǎn)M，
所以直線l與雙曲線C相切.
由，消去x，得.
由題意得，，化簡(jiǎn)得.
記切點(diǎn)，則，，
代入直線l得，故.
（i）雙曲線的兩條漸近線方程為，
由，得，由得，
故，，
所以，所以.
（ii）過(guò)點(diǎn)M且與l垂直的直線方程為.
令，得，令，得，
所以.因?yàn)?，?br>所以，，
所以，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，，，?br>，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
有慢性疾病
沒(méi)有慢性疾病
未感染支原體肺炎
60
80
感染支原體肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P

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