一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為,,M是雙曲線上一點(diǎn)且,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.B.C.D.
3．若圓錐的軸截面為等邊三角形,且面積為,則圓錐的體積為( )
A.B.C.D.
4．“”是“直線與直線平行”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．已知,,實(shí)數(shù)a,,,b成等差數(shù)列,a,,,b成等比數(shù)列,則的最小值為( )
A.2B.4C.6D.8
6．已知木盒中有圍棋棋子15枚(形狀大小完全相同,其中黑色10枚,白色5枚),小明有放回地從盒中取兩次,每次取出1枚棋子,則這兩枚棋子恰好不同色的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知數(shù)列滿足,,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則k的最小值是( )
A.16B.17C.18D.19
8．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸;反之,拋物線內(nèi)部平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn),一條光線沿AF射出,經(jīng)過拋物線C上的點(diǎn)B(異于點(diǎn)A)反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn),若,則拋物線C的方程為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù)若,則實(shí)數(shù)a的值可以是( )
A.1B.-1C.5D.-5
10．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，，則( )
A.數(shù)列的公差小于0
B.
C.的最小值是
D.使成立的n的最小值是4045
11．已知函數(shù),則( )
A.
B.是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸
C.函數(shù)在上單調(diào)遞減
D.若,則
12．“太極圖”是中國(guó)傳統(tǒng)文化之一,其形狀如對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起,也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形,其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓.則下列命題正確的是( )
A.黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界所在圓的方程為
B.直線與白色部分有公共點(diǎn)
C.點(diǎn)是黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點(diǎn),則的最大值為4
D.過點(diǎn)作互相垂直的直線,,其中與圓交于點(diǎn)A,C,與圓交于點(diǎn)B,D,則四邊形ABCD面積的最大值是22
三、填空題
13．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限.
14．在數(shù)列中,,,則________.
15．已知橢圓C的方程為,其左、右頂點(diǎn)分別為A,B,一條垂直于x軸的直線l交橢圓C于E,F兩點(diǎn),直線AE與直線BF相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡方程為________.
16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
四、解答題
17．已知直線l經(jīng)過直線和的交點(diǎn),且與直線垂直.
(1)求直線l的方程;
(2)若圓C過點(diǎn),且圓心C在y軸的負(fù)半軸上,直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
18．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,,點(diǎn)D在邊BC上,,求AD的長(zhǎng).
20．如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD為矩形,,為正三角形,平面平面ABCD,E,F分別是棱DC,BM的中點(diǎn).
(1)求證:平面MAD;
(2)求平面MEF與平面AEF的夾角的余弦值.
21．在數(shù)列中,,,
（1）證明：是等比數(shù)列;
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和,,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A,B不在x軸上)，的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P在橢圓C上，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：由,得或,則.故選B,
2．答案：D
解析：設(shè)雙曲線C的方程為,半焦距為c,則,,故,,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選D.
3．答案：C
解析：設(shè)底面半徑為r,由圓錐的軸截面是等邊三角形且面積為,得,解得,圓錐的高,所以圓錐的體積為.故選C.
4．答案：C
解析：若，則兩條直線分別為，，
顯然兩條直線相互平行，充分性成立；
若直線與直線平行，
則，且，
所以，必要性成立.
故選：C.
5．答案：B
解析：由題意得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為4,故選B.
6．答案：A
解析：從盒中隨機(jī)取出1枚棋子,“是黑棋子”記為事件A,“是白棋子”記為事件B,則,,兩枚棋子恰好不同色包含:第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子.這兩個(gè)事件是互斥事件.第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子相互獨(dú)立,概率為;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子也相互獨(dú)立,概率為.所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是.故選A.
7．答案：B
解析：因?yàn)?所以數(shù)列是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為,公差為3,則,即,所以,因此.由,得,解得,又,所以k的最小值為17.故選B.
8．答案：A
解析：因?yàn)檫^焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸,所以由反射光線經(jīng)過點(diǎn),得,所以.又,所以直線,與拋物線聯(lián)立,得,解得,所以點(diǎn),所以,所以,即,解得,所以拋物線C的方程為.故選A.
9．答案：BC
解析：當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),,解得,又,所以舍掉.綜上所述,或.故選BC.
10．答案：BD
解析：由，得，整理可得，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，公差大于0，A錯(cuò)誤；又，所以，即，所以，，的最小值是，所以B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以使成立的n的最小值是4045，D正確.故選BD.
11．答案：BCD
解析：,因?yàn)?所以,故A錯(cuò)誤;令,則,所以是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,故B正確;令,則,又,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故C正確;由,得,所以,故D正確.故選BCD.
12．答案：ABD
解析：對(duì)于A,黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界所在圓的圓心為,半徑為2,所以圓的方程為,故A正確;對(duì)于B,白色部分包含左側(cè)小半圓和右側(cè)大半圓,直線的斜率大于0,且過點(diǎn),所以直線與右側(cè)大半圓無公共點(diǎn),左側(cè)小半圓的方程為,圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為.所以左側(cè)小半圓與直線有公共點(diǎn),故B正確;對(duì)于C,黑色陰影部分小半圓的方程為,設(shè),由題意知直線與圓有公共點(diǎn),此時(shí),解得,又黑色陰影部分小半圓在y軸右側(cè),故,故C錯(cuò)誤;設(shè)原點(diǎn)O到直線,的距離分別為,,則,,且,四邊形ABCD的面積為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以四邊形ABCD面積的最大值是22,故D正確.故選ABD.
13．答案：四
解析：因?yàn)?所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第四象限.
14．答案：2022
解析：因?yàn)?所以,所以,所以是常數(shù)列,又,所以.
15．答案：
解析：由題意知,,設(shè)直線l為,,,,由A,E,M三點(diǎn)共線及B,F,M三點(diǎn)共線,得,,兩式相乘化簡(jiǎn),得,又,所以,即,又,即,所以點(diǎn)M的軌跡方程為.
16．答案：
解析：當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,即,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以,所以,因?yàn)閷?duì)任意恒成立,所以對(duì)任意恒成立,所以,又當(dāng)時(shí),取得最小值,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知，得解得兩直線交點(diǎn)為,設(shè)直線l的斜率為k,因?yàn)橹本€l與垂直,所以,解得,所以直線l的方程為,即.
(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則由題意,得,解得或(舍去),
所以,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,,,
因?yàn)?,成等比數(shù)列,所以,即,
解得(舍去)或,
所以.
(2)由(1)可知,
所以
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),
由正弦定理可得,
即,所以,
因?yàn)?故,又,故.
(2)在中,因?yàn)?
所以,
即,
解得.
20．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)證明:取MA的中點(diǎn)G,連接FG,DG,因?yàn)辄c(diǎn)F是棱BM的中點(diǎn),所以,,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,E是棱DC的中點(diǎn),所以,,所以,,所以四邊形DEFG為平行四邊形,所以,又平面,平面MAD,所以平面MAD.
(2)取AD,BC的中點(diǎn)分別為O,,連接,,因?yàn)闉檎切?所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面MAD,所以平面ABCD,又平面ABCD,所以.因?yàn)镺,分別為AD,BC的中點(diǎn),四邊形ABCD為矩形,所以.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,,.設(shè)平面MEF的一個(gè)法向量為,則即令,則,設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為,則即令,則,設(shè)平面MEF與平面AEF的夾角為,所以,
即平面MEF與平面AEF的夾角的余弦值為.
21．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：因?yàn)?所以,
又,所以,所以.所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知,因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,滿足上式,
所以,.所以.
,①
由①,得,②
①②相減得所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由的周長(zhǎng)為，得，即，
又離心率，，，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由(1)知的坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，則；
②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為且，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，
，，
，
設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，
解得，，，
，又，的取值范圍是，
綜上所述，的取值范圍是.

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