考生注意：
1．滿分150分，考試時間120分鐘.
2．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
3．本卷命題范圍：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 已知隨機變量的分布列如下：
則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知點分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形可能是菱形
B. 四邊形一定是正方形
C. 四邊形不可能是直角梯形
D. 平面不一定與平面垂直
6. 已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)的定義域為，且滿足是偶函數(shù)，，若，則（ ）
A 202B. 204C. 206D. 208
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象先向右平移個單位，再把圖象上所有的點橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），可得的圖象
10. 已知O為坐標原點，點F為拋物線的焦點，點，直線：交拋物線C于A，B兩點（不與P點重合），則以下說法正確的是（ ）
A. B. 存在實數(shù)，使得
C. 若，則D. 若直線PA與PB的傾斜角互補，則
11. 將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A. 可以取到中任意一個值
B.
C. 的值可以是任意小的正數(shù)
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 展開式中的系數(shù)為，則的值為______．
13. 等差數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則數(shù)列的前100項的和為______．
14. 已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若點在上（與不重合），且，求的值．
16. 如圖，在正四棱柱中，分別為的中點．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
17. 某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．
（1）當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；
（2）設(shè)函數(shù)，當時，求解析式，并求在區(qū)間的最小值．
18. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與雙曲線交于兩點，是雙曲線上一點（與不重合），直線的斜率分別為，且．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點，為的中點，為坐標原點，且，若直線與圓相切，求直線的方程．
19. 已知函數(shù)．
（1）判斷是否成立，并給出理由；
（2）①證明：當時，；
②證明：當時，．
廣東省2024屆高三“百日沖刺”聯(lián)合學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學試卷
考生注意：
1．滿分150分，考試時間120分鐘.
2．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
3．本卷命題范圍：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，且，
則.
故選：D
2. 已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，其對應點坐標為，
所以對應的點位于第一象限，
故選：A.
3. 已知隨機變量的分布列如下：
則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)、期望和方差公式，結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，
若，則，得，
故充分性滿足；
若，則，解得或.
當時，，此時，
當時，，此時，
則或，故必要性不滿足.
故選：A.
4. 設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點到直線的距離.
故選：B.
5. 已知點分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形可能是的菱形
B. 四邊形一定是正方形
C. 四邊形不可能是直角梯形
D. 平面不一定與平面垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)得到面，且四邊形有外接圓，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因為四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，可得點在底面上的投影都是四邊形的外心，
所以兩射影重合，即有面，且四邊形有外接圓，
對于選項A，當四邊形是的菱形時，此時四邊形沒有有外接圓，所以選項A錯誤，
對于選項B，當四邊形是矩形時，顯然滿足題意，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為直角梯形沒有外接圓，一定不合題意，所以選項C正確，
對于選項D，因為面，又面，所以平面，所以選項D錯誤，

故選：C.
6. 已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件解出，，根據(jù)焦半徑的取值范圍即可解出離心率范圍，再結(jié)合橢圓離心率，即可求解.
【詳解】因為，，所以有，
故，，因為，既有，
，解得，又因為橢圓離心率，所以.
故選：
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用余弦的二倍角及積化和差公式，得到，從而得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
得到，又，所以，
所以，
故選：B
8. 已知函數(shù)的定義域為，且滿足是偶函數(shù)，，若，則（ ）
A. 202B. 204C. 206D. 208
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，再根據(jù)條件得出，，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以①，即有②，
由①②得到，所以函數(shù)的周期為，
又是偶函數(shù)，所以，得到，即函數(shù)為偶函數(shù)，
又由，得到，，，
又，所以，故，
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象先向右平移個單位，再把圖象上所有的點橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），可得的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由圖像可知：，周期，從而利用周期公式可求出的值，再將點坐標代入解析式可求出的值，從而可得函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個分析判斷即可
【詳解】由圖像可知：，周期，∴；
由解得：
故函數(shù)
對于A：，故A正確；
對于B：故B正確；
對于C：當時，所以在上不單調(diào)．故C錯誤；
對于D：向右平移個單位得到，再把橫坐標伸長為原來的2倍，可得的圖象，故D正確．
故選：ABD
10. 已知O為坐標原點，點F為拋物線的焦點，點，直線：交拋物線C于A，B兩點（不與P點重合），則以下說法正確的是（ ）
A. B. 存在實數(shù)，使得
C. 若，則D. 若直線PA與PB的傾斜角互補，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過拋物線焦點，利用焦半徑公式可知可判斷A錯誤；聯(lián)立直線和拋物線方程利用向量數(shù)量積公式可知，恒成立，所以B錯誤；根據(jù)可知A，B兩點的縱坐標關(guān)系，解得其交點坐標代入直線方程可得，即C正確；由直線PA與PB的傾斜角互補，可知，利用韋達定理聯(lián)立方程即可求出，即D正確.
【詳解】由題意可知，拋物線焦點為，準線方程為，
直線恒過，如下圖所示：
設(shè)，作垂直于準線，垂足為，
根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，
但當時，此時與坐標原點重合，直線與拋物線僅有一個交點，因此，
所以，即A錯誤；
聯(lián)立直線和拋物線方程得；
所以，，
此時，所以，即，
所以不存在實數(shù)，使得，故B錯誤；
若AF＝2FB，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，
將點坐標代入直線方程可得，所以C正確；
若直線PA與PB的傾斜角互補，則，
即，整理得，
代入，解得或，
當時，直線過點，A與P點重合，不符合題意，所以；即D正確.
故選：CD
11. 將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A. 可以取到中任意一個值
B.
C. 的值可以是任意小的正數(shù)
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導數(shù)求最值.
【詳解】
過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，
由與圓柱下底面所成的角為，則，所以，
即，故B正確；
當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，
所以，故A錯誤；
令，所以，
所以，另，
解得兩根，
所以，
所以在時單調(diào)遞減，
所以，故D正確，C錯誤；
故選：BD．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查運用導數(shù)求最值的方法，難度較大，解決問題的關(guān)鍵在于先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導數(shù)求最值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 展開式中的系數(shù)為，則的值為______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項公式分析求解.
【詳解】因為的展開式的通項公式為，
可知展開式中含的項為，
則展開式中的系數(shù)為，解得.
故答案為：1.
13. 等差數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則數(shù)列的前100項的和為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的定義及前項和公式即可求解.
【詳解】因為等差數(shù)列通項公式為，
所以，，
所以
由，得數(shù)列是等差數(shù)列；
所以數(shù)列的前100項的和為
故答案為：.
14. 已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，設(shè)，，可得出，可設(shè)，可得出向量的坐標，設(shè)，可得出、所滿足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.
【詳解】因為，即，可得，
設(shè)，，則，則，
設(shè)，則，
因為，，則或，
因為，則或，
令，則或，
根據(jù)對稱性，可只考慮，
由，
記點、、，則，，
所以，，
當且僅當點為線段與圓的交點時，等號成立，
所以，
.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應用時可根據(jù)已知條件特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若點在上（與不重合），且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題設(shè)得到，進而可求得，，再利用，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由，得到，
又，
所以，又三角形為銳角三角形，所以，
得到，即.
【小問2詳解】
因為，又，所以，則，所以，
由（1）知，，則，，
則，
又，所以.

16. 如圖，在正四棱柱中，分別為的中點．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及矩形和正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的中位線定理即可求解；
（2）建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與二面角的夾角的關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
連接,則與交于點,
連接并延長，則與交于點,
在正四棱柱中，，
所以是矩形，
所以為的中點，
因為底面是正方形,
所以為的中點,則為的中位線，
所以.
【小問2詳解】
以為坐標原點,所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則
則
設(shè)平面的一個法向量為，則
,即，
取，則，所以.
設(shè)平面的一個法向量為，則
,即，
取，則，所以.
設(shè)平面與平面夾角為，則
故平面與平面夾角的余弦值為.
17. 某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．
（1）當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；
（2）設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布直方圖求得，進而可求容錯率；
（2）分、兩種情況，根據(jù)題意求，即可得的解析式，并根據(jù)解析式求最值.
【小問1詳解】
由題意可知：第一個圖中第一個矩形面積為，可知，
可得，解得，
所以錯檢率.
【小問2詳解】
當時，則，
，
可得；
當時，則，
，
可得；
所以，
當且僅當時，取到最小值.
18. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與雙曲線交于兩點，是雙曲線上一點（與不重合），直線的斜率分別為，且．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點，為的中點，為坐標原點，且，若直線與圓相切，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用點差法求得的關(guān)系，再利用雙曲線的定義即可得解；
（2）先利用直線與圓相切得到的關(guān)系，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程，推得，進而利用弦長公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)，
，
點在雙曲線上，
，兩式相減得，
整理得，所以，
，
由雙曲線的定義可知，||，解得，，
雙曲線的標準方程為.
【小問2詳解】
因為直線與圓相切，
所以點到直線的距離，
，
聯(lián)立，消去，得且，
則，即，
設(shè)，
，
，
為的中點，為坐標原點且，
，
將代入上式，，
解得或，
所以直線的方程為或.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
19. 已知函數(shù)．
（1）判斷是否成立，并給出理由；
（2）①證明：當時，；
②證明：當時，．
【答案】19. 成立，理由見解析
20. ①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造，二次求導得到其單調(diào)性，得到，得到答案；
（2）①變形后構(gòu)造，，只需證明，求導得到其單調(diào)性，由得到證明；
②由和得到，再分組求和得到答案.
【小問1詳解】
恒成立，理由如下：
令，
則，令，
則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
故，即恒成立；
【小問2詳解】
①時，單調(diào)遞增，故，
又，故要證，
只需證，
令，，
則只需證明，
，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，故，
所以當時，；
②由（1）知，，，
由于，
所以，
所以
【點睛】方法點睛：導函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.
1
2
1
2

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廣東省2024屆高三下學期百日沖刺聯(lián)合學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測（一模）數(shù)學試卷（Word版附解析）：

這是一份廣東省2024屆高三下學期百日沖刺聯(lián)合學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測（一模）數(shù)學試卷（Word版附解析），共26頁。試卷主要包含了本卷命題范圍等內(nèi)容，歡迎下載使用。

廣東省2024屆高三百日沖刺聯(lián)合學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(一模)數(shù)學試題（附參考答案）：

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