考生注意：
1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.
3．本卷命題范圍：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 已知隨機(jī)變量的分布列如下：
則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知點(diǎn)分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形可能是菱形
B. 四邊形一定是正方形
C. 四邊形不可能是直角梯形
D. 平面不一定與平面垂直
6. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足是偶函數(shù)，，若，則（ ）
A 202B. 204C. 206D. 208
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象先向右平移個(gè)單位，再把圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象
10. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 存在實(shí)數(shù)，使得
C. 若，則D. 若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則
11. 將圓柱的下底面圓置于球的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A. 可以取到中任意一個(gè)值
B.
C. 的值可以是任意小的正數(shù)
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 展開式中的系數(shù)為，則的值為______．
13. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為______．
14. 已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
15. 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上（與不重合），且，求的值．
16. 如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
17. 某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過(guò)大量后期出廠檢測(cè)發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯(cuò)檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏檢率時(shí)，求臨界值和錯(cuò)檢率；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求解析式，并求在區(qū)間的最小值．
18. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)（與不重合），直線的斜率分別為，且．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若直線與圓相切，求直線的方程．
19. 已知函數(shù)．
（1）判斷是否成立，并給出理由；
（2）①證明：當(dāng)時(shí)，；
②證明：當(dāng)時(shí)，．
廣東省2024屆高三“百日沖刺”聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)
數(shù)學(xué)試卷
考生注意：
1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.
3．本卷命題范圍：高考范圍.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，且?br>則.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，其?duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
故選：A.
3. 已知隨機(jī)變量的分布列如下：
則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、期望和方差公式，結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，
若，則，得，
故充分性滿足；
若，則，解得或.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
則或，故必要性不滿足.
故選：A.
4. 設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】令，得，代入曲線，
所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.
故選：B.
5. 已知點(diǎn)分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四邊形可能是的菱形
B. 四邊形一定是正方形
C. 四邊形不可能是直角梯形
D. 平面不一定與平面垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)得到面，且四邊形有外接圓，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樗睦忮F與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，可得點(diǎn)在底面上的投影都是四邊形的外心，
所以兩射影重合，即有面，且四邊形有外接圓，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形是的菱形時(shí)，此時(shí)四邊形沒有有外接圓，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，顯然滿足題意，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)橹苯翘菪螞]有外接圓，一定不合題意，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槊妫置?，所以平面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：C.
6. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件解出，，根據(jù)焦半徑的取值范圍即可解出離心率范圍，再結(jié)合橢圓離心率，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，所以有?br>故，，因?yàn)椋扔校?br>，解得，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.
故選：
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用余弦的二倍角及積化和差公式，得到，從而得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>得到，又，所以，
所以，
故選：B
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足是偶函數(shù)，，若，則（ ）
A. 202B. 204C. 206D. 208
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，再根據(jù)條件得出，，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以①，即有②?br>由①②得到，所以函數(shù)的周期為，
又是偶函數(shù)，所以，得到，即函數(shù)為偶函數(shù)，
又由，得到，，，
又，所以，故，
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象先向右平移個(gè)單位，再把圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由圖像可知：，周期，從而利用周期公式可求出的值，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出的值，從而可得函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】由圖像可知：，周期，∴；
由解得：
故函數(shù)
對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào)．故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得到，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，可得的圖象，故D正確．
故選：ABD
10. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 存在實(shí)數(shù)，使得
C. 若，則D. 若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，利用焦半徑公式可知可判斷A錯(cuò)誤；聯(lián)立直線和拋物線方程利用向量數(shù)量積公式可知，恒成立，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)可知A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，解得其交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，即C正確；由直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，可知，利用韋達(dá)定理聯(lián)立方程即可求出，即D正確.
【詳解】由題意可知，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
直線恒過(guò)，如下圖所示：
設(shè)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，
根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，
但當(dāng)時(shí)，此時(shí)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此，
所以，即A錯(cuò)誤；
聯(lián)立直線和拋物線方程得；
所以，，
此時(shí)，所以，即，
所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤；
若AF＝2FB，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，所以C正確；
若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則，
即，整理得，
代入，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，A與P點(diǎn)重合，不符合題意，所以；即D正確.
故選：CD
11. 將圓柱的下底面圓置于球的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（ ）
A. 可以取到中任意一個(gè)值
B.
C. 的值可以是任意小的正數(shù)
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】
過(guò)R作圓柱的軸截面，過(guò)O作交圓柱軸截面的邊于M，N，
由與圓柱下底面所成的角為，則，所以，
即，故B正確；
當(dāng)點(diǎn)P，Q均在球面上時(shí)，角取得最小值，此時(shí)，所以，
所以，故A錯(cuò)誤；
令，所以，
所以，另，
解得兩根，
所以，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，
所以，故D正確，C錯(cuò)誤；
故選：BD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，難度較大，解決問題的關(guān)鍵在于先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 展開式中的系數(shù)為，則的值為______．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析求解.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，
可知展開式中含的項(xiàng)為，
則展開式中的系數(shù)為，解得.
故答案為：1.
13. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列通項(xiàng)公式為，
所以，，
所以
由，得數(shù)列是等差數(shù)列；
所以數(shù)列的前100項(xiàng)的和為
故答案為：.
14. 已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，設(shè)，，可得出，可設(shè)，可得出向量的坐標(biāo)，設(shè)，可得出、所滿足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?，可得?br>設(shè)，，則，則，
設(shè)，則，
因?yàn)?，，則或，
因?yàn)?，則或，
令，則或，
根據(jù)對(duì)稱性，可只考慮，
由，
記點(diǎn)、、，則，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
15. 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上（與不重合），且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題設(shè)得到，進(jìn)而可求得，，再利用，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由，得到，
又，
所以，又三角形為銳角三角形，所以，
得到，即.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，所以，則，所以，
由（1）知，，則，，
則，
又，所以.

16. 如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及矩形和正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的中位線定理即可求解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與二面角的夾角的關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
連接,則與交于點(diǎn),
連接并延長(zhǎng)，則與交于點(diǎn),
在正四棱柱中，，
所以是矩形，
所以為的中點(diǎn)，
因?yàn)榈酌媸钦叫?
所以為的中點(diǎn),則為的中位線，
所以.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
,即，
取，則，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
,即，
取，則，所以.
設(shè)平面與平面夾角為，則
故平面與平面夾角的余弦值為.
17. 某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過(guò)大量后期出廠檢測(cè)發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯(cuò)檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏檢率時(shí)，求臨界值和錯(cuò)檢率；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布直方圖求得，進(jìn)而可求容錯(cuò)率；
（2）分、兩種情況，根據(jù)題意求，即可得的解析式，并根據(jù)解析式求最值.
【小問1詳解】
由題意可知：第一個(gè)圖中第一個(gè)矩形面積為，可知，
可得，解得，
所以錯(cuò)檢率.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，則，
，
可得；
當(dāng)時(shí)，則，
，
可得；
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.
18. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)（與不重合），直線的斜率分別為，且．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若直線與圓相切，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用點(diǎn)差法求得的關(guān)系，再利用雙曲線的定義即可得解；
（2）先利用直線與圓相切得到的關(guān)系，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程，推得，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)，
，
點(diǎn)在雙曲線上，
，兩式相減得，
整理得，所以，
，
由雙曲線的定義可知，||，解得，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以點(diǎn)到直線的距離，
，
聯(lián)立，消去，得且，
則，即，
設(shè)，
，
，
為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，
，
將代入上式，，
解得或，
所以直線的方程為或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 已知函數(shù)．
（1）判斷是否成立，并給出理由；
（2）①證明：當(dāng)時(shí)，；
②證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】19. 成立，理由見解析
20. ①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造，二次求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到答案；
（2）①變形后構(gòu)造，，只需證明，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，由得到證明；
②由和得到，再分組求和得到答案.
【小問1詳解】
恒成立，理由如下：
令，
則，令，
則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
故，即恒成立；
【小問2詳解】
①時(shí)，單調(diào)遞增，故，
又，故要證，
只需證，
令，，
則只需證明，
，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，故，
所以當(dāng)時(shí)，；
②由（1）知，，，
由于，
所以，
所以
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.
1
2
1
2

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