1．答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡的相應位置上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1. 已知直線的方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關系是（ ）
A. B. C. 與相交但不垂直 D. 或
2. 已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. 華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，國際上以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
B.
C. D.
4. 《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若下圖中所示的角為（），且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（ ）

A. B. C. D.
5. 已知一臺搟面機共有4對減薄率均在20%的軋輥（如圖），所有軋輥周長均為160mm，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出，若某個軋輥有缺陷，每滾動一周會在面帶上壓出一個疵點（整個過程中面帶寬度不變，且不考慮損耗），已知標號3的軋輥有缺陷，那么在搟面機最終輸出的面帶上，相鄰兩個疵點的間距為（ ）
A. 800mmB. 400mmC. 200mmD. 100mm
6. 已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知函數(shù)沒有極值點，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
8. 設定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù) B. 函數(shù)的圖象關于點對稱
C. 點（其中）是函數(shù)的對稱中心 D.
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。）
9. 下列命題中真命題是（ ）
A. 設一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則
B. 將4個人分到三個不同的崗位工作，每個崗位至少1人，有36種不同的方法
C. 一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158
D. 已知隨機變量的分布列為，則
10. 如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：
①新橋與河岸垂直；
②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；
③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.
經(jīng)測量，點分別位于點正北方向?正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標系，下列結論中，正確的是（ ）
A. 新橋的長為 B. 圓心可以在點處
C. 圓心到點的距離至多為 D. 當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大
11. 已知函數(shù)，下列結論正確是（ ）
A. 值域是B. 是周期函數(shù)
C. 圖像關于直線對稱D. 在上單調(diào)遞增
12. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，為的中點．，過作平面的垂線，垂足為，連，，設，的交點為，在中過作直線交，于，兩點，，，過作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為，下列說法正確的是（ ）

A. B.
C. D. 的最小值為
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分。）
13. 已知一個圓柱底面半徑為2，高為3，上底面的同心圓半徑為1，以這個圓面為上底面，圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去，剩余的幾何體表面積等于______________
14. 若，則的最大值為________________．
15. 設是面積為1的等腰直角三角形，是斜邊的中點，點在所在的平面內(nèi)，記與的面積分別為，，且．當，且時，_________；記，則實數(shù)的取值范圍為_____
16. 已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為.若和為橢圓上在軸上方的兩點，且，則直線的斜率為______．
解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（10分）17. 已知數(shù)列的前項和為．
（1）求通項公式；
（2）設，求數(shù)列的前項的和．
（12分）18. 在四棱錐中，已知，，，，，是線段上的點．
（1）求證：底面；
（2）是否存在點使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（12分）19.有如下圖所示的四邊形.
（1）在中，三內(nèi)角為,求當為何值時，取得最大值，并求出這個最大值；
（2）若為（1）中所得值，,記.
（?。┣笥煤拇鷶?shù)式表示；
（ⅱ）求的面積的最小值
（12分）20. 某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.
（1）求一學生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
（2）求每位學生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學期望.
（12分）21. 已知橢圓的離心率為，短軸長為，過點斜率存在且不為0的直線與橢圓有兩個不同的交點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓左右頂點為，設中點為，直線交直線于點是否為定值？若是請求出定值，若不是請說明理由．
（12分）22. 已知函數(shù)．
（1）若時，，求實數(shù)的取值范圍；
（2）設，證明：．
高三數(shù)學答案
1—8 DAADCBBC 9.ABC 10.AC 11.BC 12.ABD
13. 14. 15.① ②. 16.
17.（1）當時，，
當時，，則，
則數(shù)列為為首項，公比為2的等比數(shù)列，故；
（2）因為，
故數(shù)列的前項的和為：
.
（1）在中，，
所以．在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因為，，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，在中：，則，所以，，因為，、平面，
所以面．
（2）因為平面，以點A為坐標原點，
、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則有、、、、，
設，其中，
則，
設為面的法向量，則有，
取，則，所以，平面的一個法向量為，
設與平面所成的角為，
由題意可得，
可得，因為，所以．因此，存在點使得與平面所成角的余弦值為，且．得，又因為，所以的最大值7．
19.（1），；（2）（?。唬áⅲ?
【詳解】（1） ，
當時，取得最大值.
（2）（i）由（1）可得，可得
四邊形內(nèi)角和得，
在中，.
（ii）在中，，
，
當時，取最小值.
20.【小問1詳解】記“一學生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，
所以.
【小問2詳解】由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得的分布列為
所以.
21.【小問1詳解】由題意：，解得：，
故所求橢圓的標準方程為：．
【小問2詳解】如圖：因為直線斜率不為0，設其方程為：，
代入橢圓方程：，得：，整理得：．
設，則顯然，則，
，則直線方程為，
令，得，則，則，，，
，
又代入得
所以為定值．
22.【小問1詳解】
根據(jù)題意可得，
當時，可得在上恒成立，
當時，由可得，
易知需滿足，解得，
又，
令，，
當時，上恒成立，即在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即可得恒成立；
當時，，令，
則，所以在上恒成立，
即在上單調(diào)遞減，
又因為，，
由零點存在定理可得，使得；
當時，，即，所以在上單調(diào)遞增；
時，，即，所以上單調(diào)遞減；
（i）若時，，所以當時，，
又，即，使得；
當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，
又因為，所以要使在上恒成立，只需，
解得，又,
所以可得；
（ii）當時，，又在上單調(diào)遞增，所以一定使得時，；
即，所以在上單調(diào)遞減,
即可得，
這與在上恒成立矛盾，不合題意；
綜上可得
【小問2詳解】
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，即，
所以；
即不等式右側恒成立；
由（1）可得得：當時，對于，恒成立，
即，當且僅當時，等號成立；
取，易知，
可得，
所以,
綜上可得：.
0
1
2
3

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